2024-2025学年北京市石景山区高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市石景山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题.1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以.故选：D.2.已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（）A.∃x∈R+，lnx≤0 B.∀x∈R+，lnx＜0C.∃x∈R+，lnx＜0 D.∀x∈R+，lnx≤0【答案】A【解析】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定为：∃x∈R+，lnx≤0.故选：A.3.某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题得应抽取男运动员的人数为.故选：B.4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x>1可得成立，反之不成立，所以“x>1”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.函数，的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定义域为或，故排除AB，又，则，故排除C.故选：D.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数在上为减函数，所以，即，因为函数在0，+∞上为增函数，所以，即，所以.故选：C.7.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是.故选：A．8.函数的零点所在的区间是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数和函数在上都单调递增，所以函数为增函数，又，，，，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.故选：C.9.已知函数，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.10.阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，所以，即与最接近的是.故选：B.二、填空题.11.已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为______.【答案】【解析】由题意可设f(x)=xα(α∈R)，函数，即，.12.某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲8.17.98.07.98.1乙7.98.08.18.57.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．【答案】【解析】甲的得分平均值为，.乙的得分平均值为，，所以.13.若，则的最小值是_____．【答案】3【解析】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.14.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______．【答案】【解析】令，则，因为是定义在上的奇函数，所以.15.函数满足，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③【解析】在等式中，令，可得，在等式中，令中，可得，故①错误；在等式中，令，可得，在等式中，令中，可得，所以，故②正确；因为，则，所以，又因为，上述两个等式相加可得，故③正确.三、解答题.16.已知集合，或.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.解：（1）由集合，或.，，解得.的取值范围是，.（2），，或，即或.的取值范围是，，.17.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率．解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．（1）将一颗骰子先后抛掷2次，向上的点数有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件，其中两数之和为5的基本事件有：（1，4），（4，1），（2.3），（3、2），共4种，所以两数之和为5的为.（2）由（1）知，两数中至少有一个奇数的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），共27个基本事件，所以两数中至少有一个奇数的概率为.18.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求证：在是减函数．解：（1）由题意知：，解得，所以的定义域为.（2）由（1）知的定义域为，.，所以是偶函数.（3）对于，且，，因为，所以，所以，即，所以，即，，所以函数在单调递减.19.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率；（3）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，，试估计，的大小关系．（只需写出结论）解：（1）高一年级知识竞赛的达标率为.（2）高一年级成绩为的有名，记为，，，，高二年级成绩为的有2名，记为，．选取2名学生的所有可能为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；其中2名学生来自同一年级的有，，，，，，，共7种．设2名学生来自同一年级为事件，所以.（3）.20.已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）记的最小值为，求的解析式.解：（1）设，因为，则，则，，当时，，，∴时，，即当时，.（2）由（1）知，，其图象的对称轴为．①当时，在上单调递增，所以；②当时，，③当时，在上单调递减，所以.综上，.北京市石景山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题.1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以.故选：D.2.已知命题p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题为（）A.∃x∈R+，lnx≤0 B.∀x∈R+，lnx＜0C.∃x∈R+，lnx＜0 D.∀x∈R+，lnx≤0【答案】A【解析】因为特称命题的否定是全称命题，故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定为：∃x∈R+，lnx≤0.故选：A.3.某田径队有运动员人，其中男运动员人，女运动员人．为了解该田径队运动员的睡眠情况，采用分层抽样的方法获得一个容量为的样本，那么应抽取男运动员的人数为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题得应抽取男运动员的人数为.故选：B.4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x>1可得成立，反之不成立，所以“x>1”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.函数，的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定义域为或，故排除AB，又，则，故排除C.故选：D.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数在上为减函数，所以，即，因为函数在0，+∞上为增函数，所以，即，所以.故选：C.7.某袋中有编号为的个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】甲先从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有4种可能的结果，如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：16个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个，甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是.故选：A．8.函数的零点所在的区间是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数和函数在上都单调递增，所以函数为增函数，又，，，，由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.故选：C.9.已知函数，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，.故选：B.10.阿拉伯数字、十进制和对数是数学计算方面的重要发明，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，对估算“天文数字”具有独特的优势.下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，所以，即与最接近的是.故选：B.二、填空题.11.已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式为______.【答案】【解析】由题意可设f(x)=xα(α∈R)，函数，即，.12.某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲8.17.98.07.98.1乙7.98.08.18.57.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为，则：______（填“>”，“=”或“<”）．【答案】【解析】甲的得分平均值为，.乙的得分平均值为，，所以.13.若，则的最小值是_____．【答案】3【解析】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.14.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，_______．【答案】【解析】令，则，因为是定义在上的奇函数，所以.15.函数满足，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③【解析】在等式中，令，可得，在等式中，令中，可得，故①错误；在等式中，令，可得，在等式中，令中，可得，所以，故②正确；因为，则，所以，又因为，上述两个等式相加可得，故③正确.三、解答题.16.已知集合，或.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.解：（1）由集合，或.，，解得.的取值范围是，.（2），，或，即或.的取值范围是，，.17.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率．解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．（1）将一颗骰子先后抛掷2次，向上的点数有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件，其中两数之和为5的基本事件有：（1，4），（4，1），（2.3），（3、2），共4种，所以两数之和为5的为.（2）由（1）知，两数中至少有一个奇数的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），共27个基本事件，所以两数中至少有一个奇数的概率为.18.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求证：在是减函数．解：（1）由题意知：，解得，所以的定义域为.（2）由（1）知的定义域为，.，所以是偶函数.（3）对于，且，，因为，所以，所以，即，所以，即，，所以函数在单调递减.19.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自同一年级的概率；（3）记高一、高二