四川省内江市威远中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

威远中学校届高二下期5月月考数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分分，考试时间分钟.第Ⅰ卷（选择题共分）选择题：本大题共85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列满足，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B.2.展开式的常数项为（）A.20B.90C.40D.120【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项．故选：A．3.设等比数列前项和为，若，则（）第1页/共18页A.B.3C.1D.【答案】B【解析】【分析】设公比为，推导出，即可求出的值.【详解】设公比为，当时，不符合题意；当时，又，所以，解得.故选：B4.已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递增，所以，对任意恒成立，所以对任意恒成立，因为，，所以，即实数的取值范围是.故选：B.第2页/共18页5.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除BD，根据时函数值的正负可排除A求解.【详解】由于的定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，此时可排除BD,当时，，此时排除A，故选：C6.已知3123456.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（）A.120B.60C.48D.36【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可解题.【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种，再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种.故选：C第3页/共18页，数列满足，则（）A.23B.22C.24D.25【答案】D【解析】【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可.【详解】由于，而，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解.8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，先构造函数，比较，再构造函数，通过与的大小，最后构造函数与的大小关系，从而得出结果.【详解】令，则，所以在上单调递减，所以，也即，令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，故当时有，第4页/共18页所以，令，则，因为，当时，，所以，函数在上单调递减，所以，也即，所以，故，故选：B.二多选题（本题共3个小题，每题6分，有多个选项，共分）9.2025年某影院在春节档引入了5部电影，包含3部喜剧电影、2部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》票房超150亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这5部电影，这5部电影当天全部放映，则下列选项正确的是（）A.《哪吒之魔童闹海》不排在第1场，共有96种排法B.60种排法C.两部动画片相邻放映，共有48种排法D.3部喜剧电影不相邻，共有24种排法【答案】ABC【解析】【分析】由特殊元素优先法即可判断A，由倍缩法即可判断B，由捆绑法即可判断C，由插空法即可判断D.【详解】对于A4部电影全排列，则有种排法，故A正确；对于B，5部电影全排列有种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定，则有种排法，故B正确；对于C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列，则有种排法，故C正确；第5页/共18页则有种排法；故选：ABC10.已知数列前项和为，下列说法正确的是（）A.若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15B.若是等比数列，（C.若是等比数列，则D.若，则数列为递增等差数列【答案】BD【解析】【分析】由等差数列，等比数列的性质与前项和公式逐项判断即可.【详解】若是等差数列，，所以，则，所以使的最大正整数的值为30.故A错误；若是等比数列，，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，故B正确；若是等比数列，则，故C错误；若，所以，所以，所以，第6页/共18页即，所以，所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确；故选：BD.定义在上的函数，其导函数为，且满足，若，且，则下列不等式一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对于AB：由题意可知在上单调递增，根据单调性分析判断；对于CD：令，分析可知在上单调递增，可得，进而分析判断即可.【详解】A选项：因为，可知在上单调递增，且，则，所以，A正确；B选项：因为，且，则，即，因为在上单调递增，所以，B正确；C选项：令，则，可知在上单调递增，因为，所以，即，第7页/共18页所以，C错误；D选项：由C可知，且，则，令当单调递增，所以，所以，所以，所以，D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题共分）三填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分，请把答案填在答题卡相应位置上.12.一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________.【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，列举出所有可能的排列结果可.【详解】相同数字不相邻的情况：三个3之间的两个位置只有两个2，有323231，132323；三个3之间的两个位置只有一个1和一个2，有232313，323132，231323，313232；三个31和一个22312323321323323123，323213，所以相同数字不相邻的个数为10个.故答案为：1013.已知等比数列的前项和为，且，则__________.【答案】21第8页/共18页【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值.【详解】因为为等比数列，其前项和为，所以为等比数列，故为等比数列，故，故，故答案为：2114.“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧，已知函数，，若，则的最小值为__________【答案】1【解析】在上单调递增，则，所以，令，设，利用导数求其最小值即可.【详解】依题意：，即，则，设，则在恒成立，所以函数在上单调递增，则，，第9页/共18页令，显然在上单调递增，,设，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，.故答案为：1.四、解答题（本大题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数（1）求曲线在处的切线的方程；（2）求函数的极值；【答案】（1）（2）的极小值为，极大值为【解析】1）求出、即可；（2）利用导数求出的单调性，然后可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以所以曲线在处的切线的方程为，即【小问2详解】因为所以当时，当时所以在、上单调递增，在上单调递减所以极小值为，极大值为16.已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项.第10页/共18页（1）求的通项公式；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】1（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可求解.【小问1详解】，，又，.【小问2详解】原式.17.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）求函数的最小值；（2）若，且在上恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】第11页/共18页1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最小值；（2得出，的最大值.小问1详解】因为，所以.当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以.【小问2详解】令，则，由得出；由得出，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，则，令，，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故，故的最大值为.18.已知函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，证明：；（3）函数有两个零点、，求证：．【答案】（1）答案见解析第12页/共18页【解析】1的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；（2造函数，利用导数求函数的最小值，即可证得结论成立；（3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为函数的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】函数的定义域为，，当时，对任意的，，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为；当时，由可得，由可得或，此时函数的减区间为，增区间为、；当时，对任意的，，此时函数的增区间为；当时，由可得，由可得或，第13页/共18页此时，函数的减区间为，增区间为、.综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为、；当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为、.【小问2详解】当时，，即证，令，即证，即证，因为，则函数在上单调递增，当时，；当时，，所以函数的值域为，令，其中，则，由可得，由可得，所以函数的减区间为，增区间为，则，故，即，故原不等式得证.【小问3详解】，因为函数有两个零点、，不妨设，则，所以，，整理可得，即，第14页/共18页要证，即证，即证，令，即证，令，其中，则，所以函数在上为增函数，则，即，即，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.在数列“次生数列”，其中表示数列中最小的项.（1中各项均不相等，只有4项，的所有“次生数列”；（2）若满足，且为等比数列，的“次生数列”为.（i）求的值；（ii）求的前项和.【答案】（1）或或；第15页/共18页【解析】1有3或或.（2i）根据为等比数列，求出公比，求出，从而根据次生数列的定义得到，，得到的值；（ii）当为偶数时，，故，错位相减法求和，再求出当为奇数时，，检验时，也符合上式，从而得到答案.【小问1详解】因为，，中各项均不相等，所以，若，此时“次生数列”为，若，此时“次生数列”为，若，此时“次生数列”为，所以“次生数列”的定义可知有3个，分别为或或.【小问2