高中数列性质题目及答案

高中数列性质题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，则公差\(d\)为（）A.1B.2C.3D.42.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=2\)，\(a_{4}=8\)，则公比\(q\)为（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.43.等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{1}=1\)，\(S_{3}=9\)，则\(a_{3}\)为（）A.3B.4C.5D.64.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}a_{5}=16\)，则\(a_{4}\)的值为（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.85.数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}=a_{n}+3\)，\(a_{1}=2\)，则\(a_{5}\)为（）A.14B.16C.18D.206.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}+a_{5}=10\)，\(a_{4}=7\)，则\(a_{n}\)的通项公式为（）A.\(a_{n}=2n-1\)B.\(a_{n}=3n-2\)C.\(a_{n}=4n-3\)D.\(a_{n}=n+3\)7.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}a_{6}=16\)，则\(a_{4}\)的值为（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.88.数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}\)，则\(a_{5}\)的值为（）A.9B.11C.13D.159.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{3}+a_{7}=10\)，则\(a_{5}\)的值为（）A.5B.6C.7D.810.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=8\)，则\(a_{2}\)的值为（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.6二、多项选择题（每题2分，共10题）1.等差数列\(\{a_{n}\}\)的性质正确的有（）A.若\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\)B.\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等差数列C.公差\(d\gt0\)时，数列递增D.\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)2.等比数列\(\{a_{n}\}\)的性质正确的有（）A.若\(m+n=p+q\)，则\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)B.\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比数列（\(q\neq-1\)）C.公比\(q\gt1\)时，数列递增D.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)3.以下关于数列的说法正确的是（）A.常数列既是等差数列也是等比数列B.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{m}+(n-m)d\)C.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{m}q^{n-m}\)D.数列的通项公式唯一4.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{7}=13\)，则（）A.公差\(d=2\)B.\(a_{1}=1\)C.\(a_{5}=9\)D.\(S_{5}=25\)5.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=4\)，\(a_{4}=16\)，则（）A.公比\(q=2\)B.\(a_{1}=2\)C.\(a_{3}=8\)D.\(S_{3}=14\)6.下列数列是等差数列的有（）A.\(1,3,5,7,\cdots\)B.\(2,4,8,16,\cdots\)C.\(5,5,5,5,\cdots\)D.\(1,-1,1,-1,\cdots\)7.下列数列是等比数列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(3,3,3,3,\cdots\)D.\(1,2,4,7,\cdots\)8.等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=An^{2}+Bn\)，则（）A.\(a_{1}=A+B\)B.\(d=2A\)C.\(S_{2}=4A+2B\)D.\(a_{n}=2An+B-A\)9.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=256\)，\(q=2\)，则（）A.\(n=9\)B.\(S_{n}=511\)C.\(a_{5}=16\)D.\(a_{3}=4\)10.数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=2\)，\(a_{1}=1\)，则（）A.\(a_{n}=2n-1\)B.\(S_{n}=n^{2}\)C.\(a_{5}=9\)D.数列是等差数列三、判断题（每题2分，共10题）1.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\gt0\)，\(d\lt0\)，则数列递减。（）2.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(q=-1\)，则\(S_{n}=0\)（\(n\)为偶数）。（）3.常数列\(a_{n}=c\)（\(c\neq0\)）既是等差数列也是等比数列。（）4.等差数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式一定是关于\(n\)的一次函数。（）5.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{1}\gt0\)，\(q\gt1\)，则数列递增。（）6.数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+n\)，则\(a_{n}=2n\)。（）7.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{m}\)，\(a_{m+k}\)，\(a_{m+2k}\)（\(k\)为常数）成等差数列。（）8.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{m}\)，\(a_{m+k}\)，\(a_{m+2k}\)（\(k\)为常数）成等比数列。（）9.若数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}=(-1)^{n}\)，则\(S_{100}=0\)。（）10.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(S_{n}\)是前\(n\)项和，若\(S_{n}=S_{m}\)（\(n\neqm\)），则\(S_{n+m}=0\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{n}\)与\(S_{n}\)。答案：\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1\)；\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d=2n+\frac{3n(n-1)}{2}=\frac{3n^{2}+n}{2}\)。2.等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(q=2\)，求\(a_{n}\)与\(S_{n}\)。答案：\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2^{n-1}\)；\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1\)。3.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}-n\)，求\(a_{n}\)。答案：当\(n=1\)时，\(a_{1}=S_{1}=0\)；当\(n\geq2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}-n-[(n-1)^{2}-(n-1)]=2n-2\)，\(n=1\)时也满足，所以\(a_{n}=2n-2\)。4.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}+a_{7}=10\)，\(a_{5}=6\)，求公差\(d\)。答案：因为\(a_{3}+a_{7}=2a_{5}\)（等差数列性质），已知\(a_{3}+a_{7}=10\)，\(a_{5}=6\)，矛盾，本题无解。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论等差数列和等比数列在实际生活中的应用场景。答案：等差数列在生活中如每月固定增加的水电费、逐年等额递增的工资等。等比数列如定期复利的存款利息、细胞分裂数量等。它们都能帮助分析有规律变化的数量关系，进行预测和决策。2.探讨如何根据数列的前几项判断它是等差数列还是等比数列。答案：若相邻两项的差相等，即\(a_{n+1}-a_{n}\)为常数，则是等差数列；若相邻两项的比相等，即\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)为常数，则是等比数列。但要注意前几项的规律不一定能代表整个数列，需进一步验证。3.分析数列的通项公式与前\(n\)项和公式之间的联系。答案：由通项公式\(a_{n}\)可通过\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\)求前\(n\)项和公式；已知\(S_{n}\)，当\(n=1\)时，\(a_{1}=S_{1}\)，\(n\geq2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\)，可求通项公式。二者相互关联，能全面描述数列性质。4.说一说在学习数列性质过程中遇到的困难及解决方法。答案：困难如性质易混淆，应用时找不到思路。解决方法是对比记忆等差数列和等比数列性质，多做不同类型练习题，总结解题规律，遇到难题分析已知条件与性质的联系，