高三数学一轮复习专讲专练4.2平面向量基本原理及坐标表示

[知识能否忆起]一、平面对量基本定理及坐标表达1．平面对量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表达这一平面内全部向量的一组．不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e22．平面对量的坐标表达(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相似的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一种向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy终点A(x，y)二、平面对量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝

，|

|＝

.(x2－x1，y2－y1)三、向量平行的坐标表达成比例成比例 [小题能否全取]答案：AA．(4,6) B．(－4，－6)C．(－2，－2) D．(2,2)2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于 ()A．(－2，－1) B．(2,1)C．(3，－1) D．(－3,1)解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，因此a＋b＝(－2，－1)．答案：A答案：A1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就能够作为平面的一组基底，对基底的选用不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表达，且在基底拟定后，这样的表达是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要分辨点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全同样，但意义完全不同，向量坐标中现有方向的信息也有大小的信息．平面对量基本定理及其应用用向量基本定理解决问题的普通思路是：先选择一组基底，再用该基底表达向量，也就是运用已知向量表达未知向量，其实质就是运用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．答案：(1)A(2)B平面对量的坐标运算①求3a＋b－3c；②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.[答案]

(1)D1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相似．此时注意方程(组)思想的应用．[注意]向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．[例3](2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c则λ＝ ()平面对量共线的坐标表达[答案]B在本例条件下，问与否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行是同向还是反向？解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．a∥b的充要条件有两种体现方式(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.两种充要条件的体现形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表达的，并且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．