【高中数学中导数的应用分析案例1800字】

高中数学中导数的应用分析案例导数的定义导数定义由华东师范大学数学系《数学分析》[6]中给出,如下：设函数在点的某邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作.令,,则可记为所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比被叫做函数关于自变量的平均变化率,导数则为在处关于的变化率.导数的概念通过继续沿用瞬时变化率来被引出,可在北京师范大学出版的A版教材中《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》[7]中看出,导数的物理意义用运动的瞬时速率来表述,导数的几何意义用曲线切线的斜率来表述.导数的四则运算证明：(1)(2)同理(3)的证明方法与上述(1)(2)方法异曲同工,此处不再详谈证明过程.导数的四则运算与导数的定义紧密相关,如果记不住导数的定义,很难证明运算法则,除此之外,基本初等函数的求导公式可在《选修2-2》中查找,迫于紧张的学习进度,学生常常死记硬背,忽略淡忘了导数的定义,这种急于求成只顾片面的思想不利于后面的导数的应用的学习.导数在高等数学中的数学方法导数在不等式证明中的放缩法放缩法是在保持某种条件不变的情况下,向特定方向进行不等变形（可放大可缩小）的数学方法.在不等式的证明中,放缩法俨然是一个不可多得的简化问题的工具.这类型考题一般被视为高考中的压轴题目,考察的是学生敏锐的洞察力和逻辑思维本领.例1：证明成立.证明：分别证明,成立.=1\*GB3①.令.求导数,得,所以,在内单调递减,即,证毕.=2\*GB3②欲证,令.对求导,有,,,所以,单调递增.又因为,所以,单调递增,即,证毕.令.当时,；当时,.令,,所以,在内单调递减,即.综上,,.即.【总结】放缩问题之所以难是因为要确定放缩哪一个函数,放缩到什么程度以及放缩方向,一般情况下学生能找到放缩的对象,也可以确定放缩方向,但是放缩到什么程度是学生最难掌握的,因为很有可能失之毫厘差之千里.以下给出几个最常见的放缩不等式可供学生做题时参考.,,,,,,,,.导数在隐零点问题中的数形结合法数与形之间的一一的对应关系即数形结合,指将抽象的数量关系、数学语言、与直观的位置关系、几何图形联系起来,通过抽象思维与形象思维的贯通,借助“以形助数”或是“以数解形”,将繁杂问题简明化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的效果.例2：已知函数,为的导函数.设,若在区间存在唯一极大值点,求的取值范围（A）.A.B.C.D.【解析】因为,,所以.由得.画出函数和的图像,如图1.图1要使在区间内存在唯一极大值点,两函数的图像在上要有唯一交点.设交点横坐标是,当曲线经过点时是极限位置,它在轴上的截距是,因此.显然,当时,,；当时,,.因此是函数在区间上的唯一极大值点.故的取值范围是,选A.【总结】此题是在原函数的基础上加入了待定系数,在逆向解题方法下,需要证明的结果被设置成条件,求的取值范围.数形结合方式是求解复杂函数最省事的办法,函数图像被画出后,函数就会直观简单很多.例如本题,画图象求交点,解题思路就会变得流畅,解题过程变得简便快速.导数在函数问题中的一分为二法“一分为二”在函数中是指将复杂的函数构造成简单的两个函数,它与数形结合、分类讨论法给解决函数问题带来了极大便利.下面通过一道应用了“一分为二”与分类讨论法的例题来展开阐述.例3：设,证明：当,时,恒成立(为自然对数的底数).【解析】本题若是直接构造函数,其导函数也极其复杂,无法确定在上的符号.若切换思路解题,把不等式“一分为二”成两个函数和,分别研究两个函数值的符号即可.解：原不等式等价于.令,求导数,得.当,时,,,所以.因此在上单调递增,即.再令.求导,得.所以,在上单调递减,即.于是恒成立,也就是说,恒成立.导数在数列求和中的函数法把数列当作一种特殊的函数,将函数的解题模式用于研究数列问题的方法被称作数列求和中的函数法.《普通高中数学课程标准》（2017版）指出,学生采用函数法研究分析数列问题的优势在于可以感受数列与函数的差异还有共性,感悟数学的整体性.例4：已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,.（=1\*ROMANI）求和的通项公式；（=2\*ROMANII）求数列的前项和.【解析】（II）主要考察型数列的求和问题,数列被当作函数,采用函数的求导性质解题.【步骤】由得,,.由得,,即,.（II）.令,且.求导数,得.所以