2025年九年级中考数学三轮冲刺练习：四边形中的相似三角形压轴题练习（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习四边形中的相似三角形压轴题练习

1.如图，C为NA03的边。4上一点，0c=6,N为边上异于点。的一动点，尸是线

段CN上一点，过点尸分别作尸。〃04交于点0,PM〃0B交0A于点M.

(1)若NAOB=60°,0M=4,。。=1,求CP的长；(提示：过点尸作PE_L0A)

(2)当点N在边。2上运动时，四边形0Mp。始终保持为菱形，

11

①证明：而一嬴是定值；

②设菱形0MPQ的面积为Si,△NOC的面积为S2,求磬的取值范围.

2.如图，在正方形ABC。中，点G是对角线上一点，CG的延长线交A2于点E,交D4的

延长线于点F连接AG.

(1)求证：AG=CG；

(2)求证：ZiAEGsG；

(3)若GE・GP=9,求AG的长.

3.如图，在矩形ABC。中，AC为矩形ABC。对角线，OG_L4C于点G,延长。G的延长

线交A3于点E,已知AD=6,CD=8.

(1)求AE的长；

(2)NAC£»的角平分线CP交于点凡求tan/DCP的值；

(3)若。1、02分别是△ADG、△OCG的内心，求。1、。2两点间的距离.

4.如图1,折叠矩形纸片ABC。，具体操作：①点E为边上一点(不与点A,。重合)，

把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为尸点；②过点E对折NOER折痕EG

所在的直线交。C于点G,。点的对称点为X点.

(1)求证：△ABE's△OEG.

(2)若AB=6,BC=10.

①点E在移动的过程中，求。G的最大值；

②如图2,若点C恰在直线所上，连接求线段的长.

5.矩形ABCD的边CD上有一动点E,连接AE,把△ADE沿着AE翻折，使点D落在边

8C上的F点处(如图).

I、AFEF

(1)求证：——=—•

CDCF

(2)若矩形ABC。的边AO=5,AB=4,求OE的长.

E产EC

(3)若&AEF=SZ\ABF+S^CEF,试判断一的值与一的值的大小关系，并证明你的判断.

AF2AB

6.在矩形ABC。中，E为。C边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点。恰好落在BC边上

的点?

(1)求证：△ABFsAFCE；

(2)若42=2g，4。=4,求EC的长；

(3)若AE-DE=2EC,记/54尸=。，AFAE—^>,求tana+tan0的值.

7.矩形42C。中，AB=8,4。=12,将矩形折叠，使点A落在点尸处，折痕为。E.

(1)如图1,若点P恰好在边BC上.

①求证：AEBPs^pCD；

②求AE的长；

(2)如图2,若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点R求2尸的长.

8.如图，正方形A8C。的对角线AC、BD交于点、O,NC2D的平分线BG交AC于E,交

CD=^F,5.DGA.BG.

(1)求证：BF=2DG；

(2)若BE=陋,求8尸的长.

9.如图，正方形ABC。的边长为1.对角线AC、8。相交于点。，尸是BC延长线上的一

点，AP交BD于点E,交CD于点、H,0P交CD于点、F,且跖与AC平行.

(1)求证：EFLBD.

(2)求证：四边形ACP。为平行四边形.

(3)求。尸的长度.

10.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫

做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直

接在横线上填写“真”或"假”).

①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题)

②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题)

③两个大小不同的正方形相似.(命题)

(2)如图1,在四边形A8CD和四边形481C1O1中，ZABC=ZA1B1C1,ZBCD=Z

ABBCCD

B1C1D1,----=——=-----.求证：四边形ABC。与四边形A121C1D1相似.

A1B1BiJC1D1

(3)如图2,四边形ABC。中，AB//CD,AC与8。相交于点。，过点。作斯〃分

别交AD,BC于点、E,尸.记四边形的面积为Si,四边形EPC。的面积为S2,若

四边形ABFE与四边形EFCD相似，求善的值.

11.如图，平行四边形A8C。中，点P为延长线上点，连接。尸交AC于点M、交A8

于点N,已知ZM=OC,ZACD=45°.

(1)求证：四边形ABC。为正方形；

(2)连接若N为AB的中点，求tan/3Mp的值；

(3)若MN=2,PN=6,求。M的长.

12.如图，边长为1的正方形的对角线AC、2D相交于点。有直角NMPN,使直

角顶点尸与点。重合，直角边RW、PN分别与04、重合，然后逆时针旋转NMPN,

旋转角为。(0°<0<90°),PM、PN分别交A3、BC于E、歹两点，连接E尸交02于

点G.

(1)求四边形尸的面积；

(2)求证：OG'BD^EF2；

(3)在旋转过程中，当ABE尸与△COP的面积之和最大时，求AE的长.

13.如图，在菱形ABCD和菱形BEPG中，点A、B、E在同一直线上，G在8C上移动，P

是线段。产的中点，连接尸G,PC.

(1)求的大小；

(2)证明：DB//PG-,

(3)若/8斯=60°,求尸G：PC的值.

14.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次，使点A与点C

重合，再展开，折痕所交4。边于点E,交8C边于点R分别连接AF和CE；过点E

作EG_LA。交AC于点G.

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)求证：2AF2=AC«AG；

(3)若AE=a,在AAB尸中，AB>BF,AAB尸的面积为b,且6=瑞，求tan/OEG.

15.在团ABC。中，AC为对角线，点G在AB的延长线上，连接CG,点歹在CG上，线段

AF交BC于点E,若刚=PC,如图1.

(1)已知/CAO=/G,求证：AC2=CE-BC；

(2)如图2,已知A凡LBC,垂足为点E.

①若/GCB=/D4C,求证：AE=FE；

②若AB=遥,AD=4,tanZABC=2,求8G的长.

ADAD

Si图2

16.在矩形ABC。中，点E在AB边上，CE=CD,过点2作8尸〃CE交。E的延长线于点

F,连接AF.

(1)如图1,求证：AAFB丝ACBE；

(2)如图2,连接BD交CE于点G,若CG=BF.

(z)求证：AF//DG；

AF

⑴求防的值.

17.如图，在菱形A8CD中，AB=6,/B=60：点、E,尸分别是AB,AD上的动点，满

足连接CE,CF,EF,EF与AC交于点G.

(1)求NECF的度数；

(2)填空：

^AFAE

+—=,

CDAC--------

AFFG

CDEC

(3)记aAEG的面积为Si,ZVI/G的面积为S2,△AEC的面积为S3,△AR?的面积为

S4.

①若CF2=3AF・FD,求包的值；

②试判断心+f的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

FD

18.在四边形ABC。中，点E为的中点，分别连接CE,DE.

(1)如图1,若NADE=/BEC.

(i)求证：AE2=AD*BC；

(n)求证：OE平分NAOC；

(2)如图2,若NZMB+NB=90°，/DEC=90°,A£)=3,BC=1,求CD的长.

E

图2

19.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)如1,在正方形A2CD中，E,尸分别是A3、上两点，连接DE,CF,若AE=

DF,求证：AAED丝ADFC；

(2)在(1)的条件下，求证：DE1CF；

(3)如图2,在矩形ABCD中，过点C作CE_L8O交AD于点E,^tan^DCE=求

rp

77?的值；

BD

（4）如图3,在四边形ABC。中，NA=NB=90°,E为AB上一点,连接。E,过点C

作。E的垂线交瓦）的延长线于点G,交AO的延长线于况且AB=5,AD=3,CP=6,

求。E的长.

图1图2图3

参考答案

1.【解答】解：（1）如图1,过点尸作尸£，。4于点E.

'."PQ//OA,PM//OB,

，四边形OMPQ为平行四边形，

；.PM=O0=1,NPME=NAOB=60°,

：.PE=PM-sin60°=芋ME=当

3

・・・CE=OC-OM-ME=p

由勾股定理得CP=y/PE2+EC2=V3；

(2)①证明：设。ON=y,

•・•四边形OMP。为菱形，

OQ=QP=OM=x,NQ=y-x,

'JPQ//OA,

:.ANQPs^NOC,

.QPNQ

oc~ON'

111

6y-6x=xy,两边都除以6xy得——一二一,

fxy6

1

6

②如图2,过点尸作尸石，。4于点区过点N作即，。4于点R

1

则Si=OM・PE,S2=^OC*NF,

.S]x-PE

**S2-3NF'

,:PM〃OB,

：.ACPM^ACNO.

.PEPMCM6-x

••NF~NO~CO~6

.,0<x<6,

・・0〈江<5.

/本/；

)ME

2.【解答】⑴证明：。是正方形ABC。的对角线,

；./ADB=NCDB=45°,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD=CDf

在△AOG和△COG中,

AD=CD

Z.ADG=Z-CDG

DG=DG

•••△AOG也△COG(SAS),

：.AG=CG；

(2)证明：•・•四边形ABC。是正方形，

:・AD〃CB,

：.ZFCB=ZF,

由(1)可知△A0G之△CDG,

；・/DAG=/DCG,

：.ZDAB-ZDAG=ZDCB-ZDCG,即ZBCF=ZBAGf

：.ZEAG=ZF,

又NEG4=NAGR

・•・AAEG^AFAG；

(3)解：由(2)得AAEGs△必G,

GEGA°

・•・一=—,n即GA2=GE・G尸=9,

AGFG

・・・G4=3或GA=-3(舍去)，

故AG的长为3.

3•【解答】解：(1)•・,四边形A5CD是矩形，

：.ZB=BAD=90°,AB=CD=8,AD=BC=6,

.*.ZDAG+ZBAC=90°,

VZ)G±AC,

：.ZDAG+ZADE=90°,

：.ZBAC=/ADE,

tanZBAC=tanZADE,

BCAE幡6AE

—=--,即：—二—,

ABAD86

•\AE=2；

(2)如图1,过点尸作尸AC于点〃，

・.・。/平分/47。，FDLCD,FHLCA,

：・FD=FH,

VZAZ)C=90°,

：.AC=y/AD2+CD2=V62+82=10,

SAACF+SADCF=SAACD,

：.^AC'FH+^CD'FD=^AD-CD,

图1

111

A-X10XFD+4X8XFD=5X6X8,

222

..FD=3，

FDo1

tanZDCF=历=普=于

(3)过点Oi作OWLAC于点N,过点。2作SMLAC于点作OiK,02M于点K,

则N01NMK是矩形，

VZ)G-AC=AZ)*CZ),

.AD-CD6x824

9

4尸24418

••・AG=Z)G・tanNAOE=Z)Gx卷=寺x看=菅，

-1ODO

CG=AC-AG=10-号=菅，

•••01、。2分别是RtZVIOG、Rt^OCG的内心，设。01的半径为r1,。。2的半径为⑵

1R742224c

.AG+DG-AD号+亏一66CG+DG-CD丁+号-88

"n~22~5'2-2一5'„

862B।

6814-----

：・01K=MN=ri+n=耳+E=-g-,OiK—n-n555

：/OIKO2=90°,E

：.O\Oi=J。/+02K2=J(野+(|)2=2叵

FD

图2

4.【解答】解：(1)如图1中，

由折叠可知，ZAEB=ZFEB,/DEG=NHEG,A

"：ZAEB+ZFEB+ZDEG+ZHEG=180°,

ZAEB+ZDEG^90°,

:四边形ABC。是矩形，

/A=ZD=ZAEB+ZABE^90°,

NABE=ZDEG,B

：.△ABES/VDEG.

(2)①设AE=x,

AABEs^DEG,

AEAB

•••_—_，

DGDE

xx6

•,DG~DG~10-x，

.-.£)G=%(1°~X)=-1(x-5)2+磊

1

、＜0(0X10),

；.x=5时，£>G有最大值，最大值为二.

6

②如图2中，连接

由折叠可知NAEB=NFEB,AE=EF,AB=BF=6,ZBFE=ZA=90°,

9：AD//BC,

：.NAEB=NEBC,

：.ZFEB=NEBC,

：.CE=CB=10,

•・•点C在直线所上，

：.ZBFC=90°,CF=W-EF=10-AE,

：.CF=VBC2-BF2=V102-62=8,

：.AE=EF=CE-CF=10-8=2,

.x(10-x)_2x(10-2)_8

••DCj=g=6=3?

：.EG=y/DE2+DG2=J82+(1)2=5^2,

由折叠可知，EG垂直平分线段OH,

DE-DG8x1

：.DH=2x—±=1Vio.

EG

5.【解答】(1)证明：•••△ADE沿着AE翻折，使点。落在边3C上的尸点处,

AAED^AAFE,

：.ZCFE+ZBFA=90°,

ZAFE=ZD=90°,

在矩形A5CD中，ZB=ZC=90°,

：.ZBFA+ZBAF=90°,

：.ZCFE=ZBAF,

：.AABF^AFCE,

.AF_AB

••—,

EFCF

'：AB=CD,

.AFEF

；

「CD-CF

(2)解：设&)=%,

VCZ)=AB=4,

CE=4-x,FE=x,

X".'AF=AD=5,AB1+BF1=AF1,

：.BF=yjAF2-AB2=7s2—42=3,

:.CF=5-3=2,

VCF2+CE1=EF2,

22+(4-x)2=/,

••X—7T，

：.DE=5；

(3)答：相等.

证明：,•*S/^AEF=SAABF+SAEFC,

5aA£F=

•,0梯形CEAB'

111

过尸作AB的平行线交AE于G,则一FG-BC=-x-(AB+CE)BC,

222

1

AFG=1(AB+CE),

过E作即_LAB于H,交FG于M.

'：FG//AB//CE,

i

:・FM=《(BH+CE),

FM+GM=](BH+AH+CE),

GM=|AH,

AG,歹分别为AE、2C中点.

在RtZXABP中，BF=*BC=%F.

：.ZBAF^3Q°,

ZBAF^ZCFE^ZEAF^3Q°,

,：/ABF=NAFE=ZFC£=90°,

：.LABFs/\AEF,/\AFE^AFCE,

.AFAEEFCE

"AB—AF'AF—EF'

：.AF2=AEAB,EF2=AECE,

.EF2AECE

"AF2-AE-AB'

.EF2CE

AF2—AB'

6.【解答】(1)证明：•.•四边形ABC。是矩形，

.•./B=NC=NO=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC^90°,ZEFC+ZCEF^9Q°,

NAFB=NFEC,

：.△ABFsAFCE.

(2)设EC=x,

由翻折可知，AD=A尸=4,

：.BF=<AF2-AB2="16—12=2,

:.CF=BC-BF=2,

'：△ABFs—CE,

.ABBF

••=,

CFEC

2遮2

2x

"竽，

•巾—遗

••口L—3,

(3)VAABF^AFCE,

.AF_AB

•EF~CF

.，BFEFBF,CFBF+CFBC

・tana+tano0=诙+而=通+通=^-=丽'

设AB=CZ)=a,BC=AD=bfDE=x,

AE=DE+2CE=x+2(a-x)=2a-x,

'：AD=AF=b,DE=EF=x,ZB=ZC=ZD=90°,

:・BF=Vb2—a2,CF=-Jx2—(a—x)2=V2ax—a2,

VAD2+DE2=AE2,

，庐+/=(2〃-x)2,

••ci-ax—4b，

AABF^AFCE,

.ABBF

CF-EC

.ay/b2-a2

7x2-(a-x)2a-x

a1-ax—Vh2—a2,V2ax—a2,

.".-Z?2=V/72—a2*Ja2—^b2,

整理得，16/-2442b2+»4=0,

・•・(4/-3户)2=0,

.b2V3

••—―,

a3

・・.tana+ta蚌器=竽.

7.【解答】解：(1)①•・•四边形A3CD是矩形,

ZB=ZC=ZBAD=90°,

:./BPE+/BEP=9b。,

由折叠知，ZDPE=ZBAD=90°,

：.ZBPE+ZCPD=90°,

：.ZBEP=ZCPD,

VZB=ZC=90°,

:•△EBPS&PCD；

②,・•四边形ABCD是矩形，

：.ZB=ZC=90°,CD=AB=S,BC=AD=12,

由折叠知，PE=AE,DP=AD=12,

在RtADPC中，CP=<DP2-CD2=4V5,

:.BP=BC-CP=12-4V5,

在RtZXPBE中，PE1-BE2=BP2,

J.AE2-(8-A£)2=(12-4V5)2,

；.AE=18-6V5；

(2)如图，过点P作G8〃BC交AB于G,交,CD于H.

则四边形AGEffi)是矩形，

设EG=x,则2G=4-尤，

VZA=ZEPD=90°,NEGP=NDHP=90°,

:.NEPG+/DPH=9Q°,/DPH+/PDH=90°,

:.NEPG=/PDH,

:.△EGPs/\PHD,

.EGPGEP41

"PH—DH―PO—12―3’

:.PH=3EG=3x,DH=AG=4+尤，

在RtZkPHD中，PH1+DH1=PD1,

：.(3尤)2+(4+x)2=122,

解得户学(负值已经舍弃)，

：164

.BG=4-了=百'

在RtAEGP中，GP=y/EP2-EG2=菅，

■:GH//BC,

:•△EGPsAEBF,

.EGGP

••—,

EBBF

1612

•・•工_—三,

4BF

:.BF=3.

8.【解答】(1)证明：延长。G、5C交于点H,

•:BG平分NCBD,

.'.Z1=Z2,

VDGXBG,

：.ZBGD=ZBGH=90°,

又,：BG=BG,

:・ABGD义ABGH(ASA),

:.BD=BH,

:・DH=2DG,

•・•四边形A5CD是正方形，

:・BC=DC,ZBCF=ZDCH=90°,

又•：/BGD=9b°,N3=N4,

・・・N2=N5,

:•△BCF"ADCH(A5A),

；.BF=DH,

：.BF=2DG；

(2)•・,四边形ABC。是正方形,

ZACB=ZBDC=45°,

；.NBCE=NBDF,

又・・・N1=N2,

:•△BECS^BFD,

tBEBCBC_1

••BF-BD_y[2BC~V2?

•；BE=V3,

：.BF=V6.

9.【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是正方形,

：.AC±BD,

U：EF//AC,

：.EF±BD；

(2)证明：

'JEF//AC,

.PEEFDEEF

PA~OADO~OC

•・,四边形ABC。是正方形，

：.AD//CPf04=OC,

PEDE

PA~DO'

PEDE

即--=---，

AEOE

J.AO//DP,

9：AD//CP,

・・・四边形ACPD为平行四边形；

(3)解：由勾股定理得：AC=BD=Vl2+I2=V2,

・・•四边形ACPD为平行四边形，

：.CP=AD=BCf

AD1

PB~2

AD//BP,

DEAD1

BE~BP~2

：.DE=』BD=孝，0E=OD-DE=孝-孝=青

9：D0=^BD=:，

'：ZDEF=ZDOC=90°-ZEDF=45°,

：.ZDFE=^5°,

：.EF=DE=等

在RtAOEF中,由勾股定理得：0F=V0£2+EF2=J(^)2+(导尸=孚.

10•【解答】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题,角不一定相等.

②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题,边不一定成比例.

③两个大小不同的正方形相似.是真命题.

故答案为假，假，真.

(2)证明：如图1中,连接8。，BiDi.

BCCD

ZBCD^ZBiCiDi,且・

BiGC1D1

△BCD^ABiCiDi,

NCDB=/C\DTBI,ZCiBiDi=ZCBD,

ABBCCD

口1。1

BDAB

ArBr图1

ZABC=ZA1B1C1,

ZABD=ZAiBiDi,

ADAB

-------,ZA=ZAi,ZADB=ZAiDiBi,

ABBCCDAD

-------=---------=---------,ZADC=ZAiDiCi,ZA=ZAi,ZABC=ZA1B1C1,

A-yB-yB]C\------------------A-yD-y

ZBCD=ZBiCiDif

：.四边形ABC。与四边形4B1C1O1相似.

(3)如图2中，

'/四边形AB7方与四边形EFCD相似.

.空EF

"AE~AB"

•;EF=OE+OF,

.DEOE+OF

"AE-AB'

'：EF//AB//CD,

.DEOEDEOCOF

99AD~AB"AD~AC~AB"

.DEDEOEOF

AD+AD~AB+AB"

.2DEEFDE

**AD~AB~AE

'：AD=DE+AE,

.21

99DE+AE~AE

：.2AE=DE+AEf

：.AE=DE,

：.四边形ABT方与四边形EFCD相似比为1

11.【解答】(1)证明：•.,四边形A8CD是平行四边形，DA=DC,

四边形ABC。是菱形，

,;DA=DC,

：.ZACD^ZCAD=45°,

AZADC=90°,

四边形ABC。为正方形；

(2)解：作3E_LP£>,如图所示：

则/,

设正方形ABC。的边长为a,

:四边形ABC。是正方形，

：.AD//BC,AB//CD,AB^AD^a,/PBN=/DAB=/BCD=90°,

■:N为AB的中点，

:.AN=BN=1AB=),

2PBN=乙DAB

在△BPN和4人/中，<BN=AN，

，BNP=乙AND

:•△BPN"AADN(ASA),

:.BP=AD=a,PN=DN='AD?+AN2=Ja2+(1a)2=^a,PC=BP+BC=2a,

:.PD=2DN=小a,

'：AD//BC,

：.AADMsACPM,

#DMAD1

"PM~PC~2

：.PM=|尸。=竽a,

•；/PEB=NPCD=9Q°,/P=NP,

：./\PBE^/\PDC,

.BEPEPBBEPEa

,,CD—PC—PD'*a-2a-逐a'

解得：BE=^-a,PE=Wa,

.EM=PM-PE=

t^nXBMP==4；

(3)解：MN=2,PN=6,

.'.MP=8,

'：AB//CD,

：.AM：MC=MN：MD,

'JAD//BC,

B

：.AM：MC=DM：MP,

：.MN：MD=DM：MP,

：.MD2=MN9MP=2X8=16,

：.MD=4.

12.【解答】解：(1)・・,四边形ABC。是正方形，

：・OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,

AZBOF+ZCOF=9Q°,

VZEOF=90°,

ZBOF+ZCOE=90°,

ZBOE=ZCOF,

在△80S和△CO尸中，

NBOE=乙COF

OB=0C，

/OBE=(OCF

••・△BOEmACOF(ASA),

:.S四边形。砂尸正方形ABCZ)=xlX1=

(2)证明：•；/EOG=NBOE,NOEG=NOBE=45°,

.••△OEGS^OBE,

：.OE：OB=OG：OE,

OG・OB=OR

VOB=^BD,OE=*EF,

：.OG・BD=EF^

(3)如图，过点。作

：BC=1,

11

OH=^BC=

设AE=x,则BE=CF=1-x,BF=x,

1iiiii1o9

:・SABEF+S/\COF=耳BE・BF+fCF・OH=7yx(1-x)+不(1-x)x=-77(x—彳)2+

LZZLZZ4DZ

1

,**〃=—2VO，

1

当x=五时，S4BEF+SKOF最大；

1

即在旋转过程中，当ABE尸与△COF的面积之和最大时，AE=i

13.【解答】解：(1)在菱形ABC。和菱形2EFG中，

11

ZDBC=专/ABC,ZFBG=*/EBG,

VZABC+ZEBG=180°,

；.NDBF=/DBC+/FBG=90°；

(2)如图，

延长GP交DC于点、H,

•・•尸是线段。尸的中点，

:・FP=DP,

由题意可知OC〃GR

：.ZGFP=ZHDP,

♦：/GPF=/HPD,

:.AGFP名AHDP(ASA),

:・GP=HP,GF=HD,

•・•四边形ABC。是菱形，

:・CD=CB,

：.CG=CH,

CHCD

•••—_—_ii,

CGCB

•:/HCG=/DCB,

AACHG^ACDB,

：.ZCGP=ZCBD,

：.DB//PG；

(3)VCG=CH,

•••△CHG是等腰三角形，

.-.PG±PC,(三线合一)

又•：NABC=/BEF=60°,

1

：.ZGCP=^BCD=60°,

・••丝=w.

PC

14.【解答】（1）证明：当顶点A与。重合时，折痕所垂直平分AC,

：.OA=OC,ZAOE=ZCOF=9Q°

•・•在矩形ABC。中，AD//BC,

：./EAO=NFCO,

在△AOE与△COF中，

AAOE=乙COF

OA=OC,

^EAO=(FCO

：.AAOE^△COFCASA),

：.OE=OF,

・・・四边形A尸CE是菱形.

(2)证明：9：EGLAD

：.ZAEG=90°,

VZAOE=90°,

・•・ZAEG=ZAOE,

,?NEAO=NEAG,

：.AAOE^AAEG,

.AEAO

••二r

AGAE

：.AE2=AO-AG,即2AF2=AC-AG；

(3)解：：四边形AFCE是菱形，

'.AF—AE—a,

在RtZkABb中，AB2+BF2=AF2,

：.AB2+BF1=a2,

：.(AB+BF)2-2AB^BF=a2@,

,•.△AB尸的面积为4

1

：.-AB・BF=b,

2

・・・A5・3尸=2Z?②，

由①、②得：(A3+B/)2=〃2+44

'：AB+BF>0,

.\AB+BF==曲+4b=〃，

7

设。E=x,则CD=(-a-x\贝1J

176a2

-x(-4-x)=b=

2525

解得％1=部X2=(舍去)，

4

CD=可〃，

VZEAG+ZEGA=ZOEG+ZEGA=90°,

・•・/EAG=/OEG,

CD卷a1

「・tanNOEGutanN_EAG=7齐=—0-=可.

ADa+^a2

15•【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是平行四边形，

ZABC=ZD,AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

'：ZCAD=ZG,

：.NACB=NG,

VZABC=ZCh-ZBCG,NACG=NACB+NBCG,

：.ZABC=ZACGf

VM=FC,

ZCAF=ZACG,

：.ZABC=ZCAFf

'：NACB=NECA,

：.AACB^AECA,

.ACBC

••—,

ECAC

：.Ad=CE^BC；

(2)①证明：u：ZGCB=ZDAC,由(1)得NCAO=NAC3,

：.ZGCB=ZACB,

VAFXBC,

：.ZFEC=ZAEC=90°,

•；CE=CE,

：.AFEC^AAEC(ASA),

：.AE=FE；

②解：过点尸作尸AC于点H,延长AD与GC的延长线交于点K,如下图所示：

・・・四边形ABCD为平行四边形，

：.AB=CD=V5,BC=AD=4,AB//CD,BC//AD,

AFAD”

XVAEXBC,在RtaABE中，tan^ABC=轻=2,7:二二

.,.AE—2BE,

由勾股定理得AE2+B£2=AB2,

即(2BE)2+8产=(遮)2,G

；.BE=1,图2

:.AE=2BE=2,

:.CE=BC-BE=3,

在RtZ\ACE中，由勾股定理得力C=7AE2+CE2=V13,

"JFA^FC,FHLAC,

：.AH=CH=孚，

11

VSAFi4C=专AC-FH=^AF-CE,

•・F"k=7n'

在RtAAF/7中，由勾股定理得AF2-FH2=AH2,

即叱一尊2,

：.AF=(负值舍去)，

：.FE=AF-AE=^,

CE//AK,

丁•△CEFs△必尸，

.EFCE

••二,

AFAK

5

.工—二

**—-AK

4

39

：.AK=

E'

•:CD"NG,

:AKDCsAKAG,

.KDCD

••二,

AKAG

39ar-

T-4V5

--AG

4

.,_3975

••A4rG-23，

.BG=AG-AB=^^.

16.【解答】(1)证明：・・•四边形ABC。是矩形,

：.AB//CD,AB=CDf

：.ZCDE=ZBEF,

,:BF〃CE,

：.ZCED=ZBFE,NABF=/CEB,

•：CE=CD,

；・/CDE=NCED,AB=CE,

：.ZBEF=NBFE,

：・BF=BE,

在AA尸3和△CBE1中，

FB=BE

乙ABF=乙CEB,

AB=CE

：.AAFB^ACBE(SAS)；

(2)(z)证明：连接GR如图2,

*；CG=BF,CG//BF,

・・・四边形BCGF为平行四边形，

:・GF=BC,GF//BC,

・・•四边形A5CD是矩形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.AD=GF,AD//GF,

图2

・・・四边形ADG厂为平行四边形，

：.AF//DG；

(防)解：•;BF=BE,CG=BF,

：.CG=BF=BE,

'：AB=CE,

；・EG=AE,

设CG=BF=BE=y,EG=AE=x,贝UAB=x+y,

■:AF//DG,

:・NBAF=NEBG,

又,:NABF=NBEG,

：.△ABFs^BEG,

・ABBF

••二,

BEEG

即日d—+y=一y,

yx

解得％=与1丫,

又TA尸〃。3,

LAFEsABDE,

tAFAExV5-1

,,DB~BE~y~2*

17.【解答】解：(1)在菱形ABC。中，'：AB=BC=CD=AD,且N5=NZ)=60°

.,.△ABC,△ADC都是等边三角形，

：.AC=CD,ZCAE=60°=ZD=ZACD.

'：AE=DF,

：.AAEC^ADFC(SAS),

ZACE=ZDCF,

：.ZECF=60°；

(2)由(1)AABC,△ADC都是等边三角形，

：.AB=AC=ADf

•；AE=DE,

^AFAEAFDFAD

①+=+==1,

CDACACACAC

②由(1)知△AEC之△£＞尸C,

：.CE=CF,

u：ZECF=60°,

•••△CE/是等边三角形，

：.ZCFE=60°=ZCAF,

■:NFCG=NACF,

.,.△CFG^ACAF,

.AF_AC

••—,

FGCF

•■.竺二出,

ACCF

'：AC=CD,CF=CE,

AFFG

••一，

CDCE

AFFG

———=0；

CDEC

③・.・NEAG=NCFG=60°,NAGE=NCGF,

：.AAGE^AFGC,

AGFG

—,

AECF

AGEG

同理,

AF~CE'

AGAGFGEGEF

--+=