2025年中考数学总复习《全等三角形解答题》专项检测卷（带答案）

2025年中考数学总复习《全等三角形解答题》专项检测卷（附带

答案）

学校:姓名：班级：考号：

1.定义：若一个凸四边形的对角线相等，那么我们把这个凸四边形叫作“等线四边形”.

图1图2备用图

（1）以下四边形中，是“等线四边形”的为.（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形.

（2）如图1,在正方形ABCD中，M,N分别为AB,BC上的点，且AM=3N,连接MN,

DN.求证：四边形AMVD为“等线四边形”.

（3汝口图2,在RtAABC中，ZC=90°,AC=2BC=4.

①请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）；

②在①的条件下，P为直线上一点，若以点A、B、C,尸为顶点的四边形是“等线四边

形”，直接写出这个“等线四边形”的面积.

2.在VABC中，ZACS=c（O°<eV9O。），点。是A3边的中点，过点。作过

点C作CELCB,CE与DE交于点E,连接"，应'交于点G.

（2）如图2,当a/90。时,点产是CD上一点（不与C,D重合），连接EF,且EF=EC,

连接AF,若NCEB=NCDB,求证：AF=CB；

⑶在（2）的条件下，若AS=4,DE=20当8,F两点之间距离最短时，直接写出VABC

的面积.

3.已知在等腰三角形ABC中，AB=AC.

⑴如图1,Zfi4c=60。，D,E分别是BC,AC上的点，S.AE=CD.求证：AD=BE;

(2)如图2,N54c=90。，点。是BC上的点，过点8作于点E.若CA=CD,BE=3,

求AD的长；

(3)如图3,/R4c=80。，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD.当AD+5E的值最

小时，求此时ZADC的度数.

4.【问题探究】

(1)如图1,在菱形ABCD中，NA=60。，点£、尸分别在边皿CD上，连接BE、BF、EF,

NEBF=60°,将AABE绕点8顺时针旋转得到ACBG,连接FG,求证：EF=GF；

图1图2

【问题拓展】

(2)如图2,在正方形至8中，AB=20m,在四边形EBFG中，EG=EB=BF=FG,

EGVEB,连接3G,3G交AD边于点M,BF交边CD于点N,连接MN,求与⑷®的周长.

5.如图，在正方形ABC。中，将边DC绕点。顺时针旋转a(0。＜戊＜90。)得到线段OP,

点C的对应点为点尸，连接AP,BP,CP.

图1图2图3

(1)如图1,①当&=30。时，求—APC的度数；

②当a为锐角时，NAPC的度数为；

(2)如图2,当N3PC=90。时，猜想3P与CP的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点A作，CP交其延长线于点Q,连接2。.已知CP=65

求BQ的长.

6.【思考探究】

(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形ABCD中，E是边A8上一点，

连接CE,D7FCE于点RGD1DF,AGLDG,AG=C「.求证：四边形ABC。是正方形.

【实践探究】

(2)小慧受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2在正方形A38中，E是边

上一点，连接CEDFLCE于点F,A"，CE交CE的延长线于点“，ZXJLDF于点。，

并交延长线于点G.猜想线段加，AH,CF的数量关系，并说明理由.

【拓展迁移】

(3)小贤深入研究小慧提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形4?。

中，E是边AB上一点，连接CE,AHLCE交CE延长线于点点Af在C”上，且=

连接A",BH,若8"=拒，请直接写出的长度.

7.如图，在矩形ABCD中，NT)3C的平分线交CD于点尸，过点D作DEL3P交3尸的延

长线于点E,DE与8C的延长线交于点R且二二=切.

⑴如图1,当m=6时，£>尸与8P的数量关系为.

(2)如图2,连接与8。相交于点G,求证：AAGD^ABGE.

(3)如图3,当机=1时，其他条件不变，请完成如下问题：

①AE,CE的位置关系为；

②若BC=2,求CP的长.

8.如图，在VABC中，ZABC=90°,ZACB=a(0°<<z<45°).将线段C4绕点C顺时针

旋转90。得到线段C。，过点。作。EL3C,垂足为E.

⑴如图1,求证：CE=AB-

(2)如图2,ZAC£>的平分线与48的延长线相交于点?连接。尸并延长与CB的延长线相交

于点尸.请判断三角形尸CD的形状，并说明理由.

⑶如图3,在(2)的条件下，将△3EP沿AF折叠.在a变化过程中，当点P落在点E的

位置时，若CO等于15如，求的面积.

9.如图1,在正方形ABCD中，AB=4,80是对角线.先将平移得到△&W,使

得点K落到对角线8。上(点K不与8、。重合)，且BK=kDK,KM与BC交于点G,KN

与CZ)交于点H.再将△KMV绕点K顺时针旋转，记旋转角为I(。°</<45。).

图1图2备用图

(1)问题发现

当左=1时，线段KG与K8的数量关系是,四边形KGCH的面积是；

(2)拓展探究

当左片1时，线段KG与KH的数量关系是什么？请仅就图2的情形给出证明(用含左的式子

表示)；

(3)问题解决

当左=3时，△XMV绕点K顺时针旋转至8、M、C三点在同一条直线上(即点M与G重

合)时，求四边形KGCH的面积.

10.已知：正方形ABC。中，点P为线段BC上一个动点，过点8作BHLAP交边C。于H.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AP=BH；

(2)如图2,把线段3〃沿54向上平移到"N位置,连接8£),分别交A3、AP,BD、

0c于点Af、E、F、N

①若E为AP中点，AB=6,BP=2,求跖的长;

②如图3,在EN上截取EQ=AE,连接C0,G为C。中点,连接DG,DE.若OG=3,

求DE的长.

11.如图，在等腰AABC中，CA=CB,ZACB^a,AADE是直角三角形，/ZME=90。,

ZADE=；/ACB,连接3。，BE,点尸是8。的中点，连接CF.

E

（1）如图①，当a=90。，点。在边AC上时，线段8E与线段C尸的数量关系是二

（2汝口图②，当夕=90。,点。不在边AC上时，（1）中线段座与线段CP的数量关系是否成

立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由;

（3）如图③，当a（0＜。＜90。）为任意角度时，直接写出线段座与线段CB的数量关系（用

含a的式子表示）.

12.综合与探究

问题情景：如图1,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是对角线上的点，且CE=CD,

过点E作EF2AD于点尸，过点。作CE的平行线，与斯的延长线交于点G.

猜想证明：（1）判断四边形CEGD的形状，并说明理由；

深入探究：（2）将图］中AGED沿射线30平移，得到△G'E'D（点G,E,D的对应点为G',

E',a）.

①如图2,当点E在线段OE上的某一位置时，将△G'E'D沿G'E所在直线翻折，得到

AGEM,设线段G®,ME，分别与线段AD交与点旦N.猜想线段与巫，之间的数

量关系，并说明理由；

②当点E'在射线80上的某一位置时，重复①中操作，设直线GE,分别与直线AD交

于点打，N,连接G'N.请直接写出是直角三角形时，线段ND的长.

13.如图，在边长为6正方形中，E为BC边上一动点（点E不与8,C重合），连

接AE,以AE为直角边作等腰直角三角形△AEF,ZAEF=90°

图1图2图3

(1)如图1,若BE=2,求AF的长;

⑵如图2,连接AC和CF,设Akf2

=m,以下结论：©m<2■,②m=2；③〃z>2.你

AB2

认为哪个正确？并证明;

(3)如图3,等腰直角三角形△AEF的斜边AF与边相交于点G,若点E是8C的中点,

求DG的长.

14.在等边VABC中，ADJ.BC,垂足为D,点E是线段AO上一点，连接CE,将CE绕

点C顺时针旋转120。到CF,连接EF交AC于点G.

备用图

(1)如图1,若FE的延长线恰好过点且AE=4,求48的长度;

(2)如图2,在AD上取一点X,使A8=AG,在A8的延长线上取一点K,连接KH,且满

足NK+NAG尸=150。，求证：AE+AK=6BC;

⑶如图3,AB=16,点M为平面内任意一点，连接8M、DM,将ABDM沿所在直线

翻折至VABC所在平面内，得到ABMW,连接CN,点T是线段CN中点，将线段TC绕点

T逆时针旋转90。到75,点P为线段中点，连接SCSP,直线SP与直线AB交于点。

当SP取最大值时，请直接写出此时V3PQ的面积.

15.如图1,在正方形ABCD中，AB=4,点P,。分别在边AB,AD上，AP=AQ=(/＜4).将

/尸4。绕点A逆时针旋转夕(0＜，＜360),连接3尸，DQ,3尸所在直线交直线。Q于点

连接CM.

2M

P、

图1图2图3

（1）3P与。。的数量关系是，位置关系是；

⑵如图2,当0<6<90时，求证：BM+DM=®CM;

（3）如图3,若点。与M重合于A8左侧，且BP=38Q,求，的值;

⑷若"20，当点M为。。中点时，直接写出tan/ABP的值.

参考答案

1.⑴②④；

⑵见解析;

⑶①见解析；②10或4折

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等

三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键.

（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可求解；

（2）连接DM、AN,由四边形ABCD是正方形，得=ZDAB=ZABC=9Q°,然

后证明ADAM丝“WN（SAS）即可；

（3）①根据作垂线的方法即可求解；

②分当CP=AB时和当AC=P5=4时两种情况分析求解即可.

【详解】（1）解：①平行四边形的对角线互相平分，不符合题意;

②矩形的对角线相等，符合题意；

③菱形的对角线互相垂直，不符合题意；

④正方形对角线相等，符合题意；

故选：②④，

（2）证明：如图1,连接DM、AN,

图1

,四边形ABC。是正方形，

AAD=AB,ZDAB=ZABC=90°,

又,；AM=BN,

：.AZMMRABN(SAS),

DM=AN,

四边形AMND是“等线四边形”；

图2

图1

垂直平分AC,

AZPDC=ZACB=90°,AD=DC=BC=2,

：.RtAACB^RtAPDC(HL),

ZABC=/PCD,

ZBAC+ZPCD=90°,

ZAEC=90°,

AB=VAC2+BC2=V42+22=2石，

“等线四边形”的面积为」ABCP=1x2岔x26=10；

22

如图2,当AC=PB=4时，设交AC交于点G,过P作尸X，3c交于BC延长线于点

ZCGP=NGCH=/H=90°,

，四边形GP”C是矩形，

:.PH=GC=2,GP=CH,

BH=^PB2~PH2=742-22=2A/3，

GP=CH=2y[3-2,

，“等线四边形”的面积为^ACxGP+^ACxBC

=|x4x（2^-2）+1x4x2=4>/3,

综上可知：“等线四边形”的面积为10或46.

2.⑴见解析

（2）见解析

（3）273+2

【分析】（1）根据NACB=NECB=90°,得点E在边AC上，证明R33CE丝RtABDE（HL）,

得BC=BD,根据AD=BD,即得

（2）过点B作BHLCD于点H,连接4E,取AE中点O,连接OFOB,BF,根据线段

垂直平分线性质得AE=BE,得ZEAB=ZEBA,在&ECG和4DBG中，证明NEBA=ZECF,

由EF=EC可得ZAEB=ZFEC,得ZAEF=ZBEC,得AAEF4力EC（SAS）,即得AF=CB；

(3)过点B作出/LCD于点H,连接AE,取AE中点。，连接OROB,BF,根据线段

npl

垂直平分线性质得AE=BE,BD=2,求出tanNABE===石，可得AABE是等边三角

形，得AE=6E=A8=4，得。4=2,OB±AE,OB=2。。尸=2,当点f在03上时，BF

取得最小值，得AF=EF,由△AEF四△5£C,得BC=EC=2^，得NCDB=NCEB=45。,

得，由勾股定理得=而，得即得

BH=DH=A/2CHCD=y[6+^2,SAABC=2SABCD=20+2.

【详解】(1)证明：・・,CE，CB,

・•・NECB=90。,

当a=90。时，ZACB=NECB=90。,

・••点E在边AC上，

•:DE±AB,

；・/EDB=90。,

VEC=ED,EB=EB,

^BDEHL^,

:.BC=BD,

•・•点。是A5边的中点，即AD=BD,

:.AD=BC；

(2)证明：连接A石，

VDEJ.AB,AD=BD,

***AE=BE,

:.ZEAB=NEBA,

・・•在△ECG和△DBG中，/CEB=/CDB,/BGD=/CGE,

；・/EBA=/ECF,

•；EF=EC,

：.NECF=NEFC,

：.小EAB和AEFC中，ZAEB=180。—2ZEBA=180。—2ZECF=ZFEC,

：.ZAEF+Z.BEF=ZBEC+ZBEF,

・•・ZAEF=ZBEC,

.AAEF冬ABEC(SAS),

:.AF=CB；

c

(3)解：过点8作于点巴连接AE,取A石中点0,连接OROB,BF,

■:DEJ_AB,AD=BD,

••AE=BE,S^ABC=2s/CD，

VAB=4,

BD=-AB=2,

2

•/DE=2y/3,

DE[-

tan/ABE==J3,

BD

：.ZABE=6Q0,

「・△AB石是等边三角形，

***AE=BE=AB=4，

：.OA=-AE=2,OB1AE,

2

OB=7AB2-CM2=2百，

由(2)知，AAEF'BEC,

:.ZAFE=/BCE=90。,AF=BC,CE=EF,

0F=-AE^2,

2

...当点歹在OB上时，3尸取得最小值，

，此时AF=EF,

又,:AAEFaBEC,ZBCE=90°,

BC=EC=-BE=2-/2,NCBE=NCEB=45°,

2

：.NCDB=NCEB=45°,

BH=DH=—BD=sf2,

2

CH=^BC1-BH2=76，

，CD=CH+DH=^+y/2,

S^ABC==2x5CD-BH=+2,

故ar取得最小值时，VABC的面积为2有+2.

【点睛】本题考查了三角形综合.熟练掌握线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质,

全等三角形判定和性质，三角形内角和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，

是解题的关键.

3.(1)见解析

⑵6

(3)105°

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形

的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键.

(1)证明△ABE四△C4&SAS),即可得到答案；

(2)过点C作CWJLAD于点贝UNAMC=90°.证明△ABE丝4M(AAS),即可得

到=即可得到答案；

(3)在BC下方，过点C作ZBCP=80。，且CP=,连接£＞尸.证明△ABE之△CPD(SAS),

则=当A,D,P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小.进一

步求出答案即可.

【详解】(1)证明：QZBAC=60。，AB=AC,

.[△ABC为等边三角形，

:.ZBAC=ZC=6O°.

在AABE和ACAD中,

AB=CA

<ZBAE=ZC,

AE=CD

...AAB石/△C4Z)(SAS),

:.AD=BE.

(2)解：如图1,过点。作。/，仞于点河，则NAMC=90。.

\AM=DM=-AD.

2

・・・NBAC=90。，ZAMC=90°,

/.ZBAE+ZZMC=90°,ZDAC+ZACM=90°,

.\ZBAE=ZACM.

BELAD,

:.ZAEB=90°=ZAMC.

在A4BE■和VCW中，

ZBAE=ZACM,

<ZAEB=ZAMC,

AB=CA,

/.△ABE^ACW(AAS),

:.BE=AM=-AD.

2

♦:BE=3,

.AD=6.

(3)解：如图2,在BC下方，过点C作々CP=80。，且CP=AB,连接OP.

A

AE=CD

<ZBAE=ZPCD=80°,

AB=CP

..△ABE丝△CPD(SAS),

:.BE=PD.

.,.当A,D,尸三点共线时，AD+PD的值最小，即AE)+班;的值最小.

■.■AB=AC,ZBAC=80°,

.-.ZACB=50°,

ZACP^130°.

•：AB=AC=CP,

Z.CAP=ZAPC,

ZCAP=1(180°-ZACP)=1x(180°-130°)=25°,

ZADC=180°-ZACB-ZC4P=180°-50°-25°=105°.

4.(1)见解析；(2)40m

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质，熟练掌握全等三角

形的性质与判定及正方形、菱形的性质是解题的关键.

(1)由题意易得AB=3C,ZASC=120°,BE=BG,然后可得N£SR=NG3尸=60。，则

可知ABEF^ABGF(SAS),进而问题可求证；

(2)延长ZM,交BE于点H,由题意易得四边形£BPG是正方形，然后可得AAB//2ACBN,

进而可得"MH'BMNaAS),然后问题可求解.

【详解】解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形,

AD//BC,AB=CB,

;ZA=6Q°,

.\ZABC=120°

;将AABE绕点B顺时针旋转得到△CBG,

^ABE=^CBG,

BE=BG,ZABE=ZCBG,

,/ZESF=60°,

ZABE+ACBF=ZABC-ZEBF=,即NCBF+NCBG=60。,

ZGBF=ZEBF=60°,

在A和户和△BG厂中，

BE=BG

<ZEBF=ZGBF,

BF=BF

:.ABEF'BGFS网,

EF=GF；

(2)•,-EG=EB=BF=FG,

四边形EBRS是菱形，

•/EGLEB,

四边形EBFG是正方形，

ZEBF=90。,/EBG=NFBG=45°.

延长DA,交BE于点、H,如图，

在正方形ABC。中，AB=CB=AD=CD,ZABC=ZBAD=ZBAH=90°,

ZEBA+ZABF=ZCBF+ZABF=90°,

:.ZEBA=NCBF,

.•.△BAH^ABOV(ASA),

:.BH=BN,AH=CN.

•・•/EBG=/FBG=45°,BM=BM,

:.ABHM^BNM(SAS),

:.HM=NM,

△MND的周长=班+£^+加

=HM+DM+DN

=HD+DN

=AD+CN+DN

=AD+CD

=2AD

=40m.

5.⑴①135°②135°

Q)CP=2BP,理由见解析

(3)3A/6

【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练

掌握相关知识是解题的关键.

(1)①由题易得AB=AP=AD,从而根据等边对等角求解即可；

②由/尸DC=。得NPD4=90。-。,根据等腰三角形的性质和三角形定理可求出/DPC和

/DPC,即可得出结论；

(2)过点。作£史，。尸于点E.证AOCE丝ACBNAAS),所以BP=CE,再由等腰三角形

性质可得CP=2CE,进而得解；

(3)连接BE,设C。与48交于点证明△APQ和ABPE是等腰直角三角形，证明

△APB学ABEC(AAS)得AP=BE=3m,由勾股定理得BQ=^PB2+PQp=376.

【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形，

ADC=AD,ZADC=90°,

由旋转得：DP=DC,

：.AD=DP=DC,

.・・ZDAP=ZDPA,ZDPC=DCP,

ZADC+NDAP+ZAPD+NDPC+NDCP=360。,

：.2(ZAPD-hZCPD)+90°=360°,

・・・2(ZAPD+ZCPD)=270°,

・・・ZAPD+ZCP£>=135°,

：.ZAPC=135°；

②;四边形ABC。是正方形,

ADC=AD,ZADC=90°,

•:/PDC=a,且。为锐角

・•・ZPDA=90°-a,

由旋转得：DP=DC,

：.AD=DP=DC,

ZDAP=/DPA=----------------L—型一°芍

2=4丫

ZAPr>+ZCPD=45°+—+90°-—=135°,

22

/APC=135°,

故答案为：135。；

(2)解：CP=2BP,理由如下：

过点。作DEJ_CP于点E.如图,

ZDEC=ZCPB=90°,

,/四边形ABCD是正方形,

：.DC=CB,Z.DCB=9G°,

又NPCB+/PCD=90°,Z.PCD+NCDE=90°,

ZPCB=NEDC,

・・・ADCE^ACBP(AAS),

:.CE=BP,

・.・DP=DC,DE1CP,

；・PE=CE,

CP=2CE,

:.CP=2BP；

(3)解：如图，连接班，设C0与AB交于点H,

由(1)知NAPC=135。，

・・・ZAPQ=180°-135°=45°,

・.・AQ_LCQ,即ZAQP=90°,

：.ZQAP=45°=ZAPQ,

：.AQ=PQf

9：PE=CE,且CP=2BP,

・・・BP=PE=-CP=3^/3f

2

-ZBPC=90°,

：・BE=NBP?+PE2=3«，NPEB=/EBC+/ECB=45。，

在AAQH和中，ZAQH+ZQAH+ZAHQ=180°,ZCBH+ZCHB-^-ZHCB=180°,

,.・ZAQH=ZCBH,ZAHQ=ZCHB,

:.ZPAH=ZEBC,

•・•ZBPC=90°,

：.ZBPQ=90°,

又ZAPQ=45。，

・・.ZAPB=ZAPQ+NBPQ=135°,

VZPEB=45°,

/BEC=135。,

：.ZAPB=ABEC,

又AB=BC,

：.AAPB^ABEC（AAS）,

AP=BE=3底,

/.PQ=J^AP=3币

：.PB=PQ=3>j3,

BQ=y]PB2+PQ2=376.

6.（1）见解析；（2）FH=AH+CF,理由见解析；（3）2

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，

熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键

（I）根据矩形的性质得到NADC=90。，得到NADG=NCDR,根据全等三角形的性质得到

AD=CD,于是得到四边形9CD是正方形；

（2）根据矩形的判定定理得到四边形班DG是矩形，求得NG=ZDFC=90。，根据正方形的

性质得到AD=CE>,ZADC=90°,求得NAOG=NCDP,根据全等三角形的性质得到

AG=CF,OG="\根据正方形的判定定理得到矩形丽G是正方形，于是得到

HG=HF=AH+AG=AH+CF；

（3）连接AC,根据正方形的性质得到/54C=45。，根据等腰直角三角形的性质得到

ZHAM=45°,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：,•・四边形ABCD是矩形，

:.ZADC=90°,

-.GD±DF,

：.ZFDG=90°,

:.ZADG=/CDF,

又；AG=CF,ZG=ZDFC=90°,

△ADgCD厂（AAS）,

/.AD=CD,

二•四边形ABCD是正方形；

(2)解：HF=AH+CF,理由如下：

・・・0尸，C£于点尸，AHLCE于点”，方交AH于点G,

.•.四边形*DG是矩形，

:.ZG=ZDFC=90°,

・・,四边形ABC。是正方形，

:.AD=CDfZAZ)C=90°,

:.ZADG=/CDF,

AADG^ACDF(AAS),

:.AG=CF,DG=DF,

矩形加DG是正方形,

,.HG=HF=AH+AG=AH+CF；

:.FH=AH+CF；

(3)解：连接AC,如图,

四边形ABC。是正方形,

AHLCE,AH=HM，

是等腰直角三角形,

ZHAM=45°f

ZHAB=ZMAC,

AHAB也

BHAH42

BH=0

CM=2.

7.(1)DF=^BP

（2）见解析

（3）®AE±CE；②20-2

【分析】（1）根据题意和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）可得

&BPC3FC,从而可得塔=第=根=退，求解即可；

DrnC

（2）根据角平分线性质和矩形性质，可知ABED丝ABERASA）,从而得知DE=EF,根据

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CE=DE,从而可证VADEABCE（SAS）,

得到NZME=/DBE,根据两角分别相等的两个三角形相似即可证得结论；

（3）①利用角相等的关系，证明/AEC=90。，从而得到结论；

②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，得到CP=CF,再利用线段关系,

求出CP的长度.

【详解】（1）解：（1）DF=>/3BP

ABCD是矩形

■■■ZBCP=ZDCF=90°

又•；DEIBP

:.NDEP=NBCP=90°

ZCPB=ZDPE

：.NCBP=NCDF

：.ABPC^DFC

DF

BPBC

DF=由BP

(2)证明：是/OBC的平分线

;.ZDBE=ZFBE

在ABED^BEF中

ZDBE=ZFBE

<BE=BE

/BED=ZBEF

.△BED均BEF(ASA)

：.DE=EF

，在RLOCF中，CE=-DF=DE

一2

.\ZEDC=ZECD

ZADC+ZEDC=ZBCD+ZECD

^ZADE=ZBCE

,・,四边形ABC。是矩形

:.AD=BC

在AADEOBCE中

AD=BC

</ADE=ZBCE

BC=CE

.△ADE%BCE（SAS）

:.ZDAE=ZCBE

:.ZDAE=ZDBE

又,.,ZAGD=/BGE

:.AAGD^BGE

（3）①证明：AE1CE

同（2）可得，AADEmABCE

.\ZBEC=ZAED

•//BED=ZAED+ZAEB=90°

，/AEB+/BEC=90°,BPZAEC=90°

，AE-LCE

nr

②解：vtanZDBC=—=m=\

BC

NDBC=45°

\'BC=2

:.BD=^2BC=2y[2

・・・NCPB=ZDPE,ZBCP=ZDEP=90°

:.ZCBP=ZCDF

在中，

ZCBP=ZCDF

<BC=CD

/BCP=/DCF

/.△BCP^A£>CF(ASA)

:.CP=CF

•；ABED^ABEF

BF=BD=2也

：.CP=CF=BF-BC=2yf2-2

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直

角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形.解题的关键是熟知相关性质定

理并灵活运用.

8.(1)见解析

(2)△PCD是等腰三角形，理由见解析

(3)843.75

【分析】(1)证明AABC丝△CED(AAS),即可得证；

(2)可知/A=90°-tz,证明AACF沿ADCF,贝UZCDF=ZA=90°-«,可得/BCD=90°-a,

则乙BCD=NCDb,故PC=PD,即可得出结论；

(3设CE=x,DE=CB=y,则3E=CB-CE=y—x,由翻折得PB=BE=y—无，故

PE=2y-2x,因此PC=2y-%=P，在Rt△P£史中，由勾股定理得求出：y=3%，在RtZkCDE

中，由勾股定理，求出f的值，根据面积公式进行计算即可得出结果.

【详解】(1)证明：由旋转的性质得，C4=CD,ZACD=90。，

ZBCD+ZACB=90。

VDE1BC,

ZDEC=90°,

AZBCD+ZD=90°,

・•・ZACB=ZD,

ZABC=90°,

：.ZB=ZDEC,

：.△ABC^AC£D（AAS）；

CE=AB；

(2)三角形PCD为等腰三角形；理由如下：

VZz4BC=90°,ZACB=a

：.ZA=90°-a,

•・・。/平分NACD,

/.ZACF=Z.DCF,

■:CA=CD,CF=CF,

：.△ACF^APCF(SAS),

・•・ZCDF=ZA=90°-a,

9：ZACD=90°,ZACB=a,

：.ZBCD=90°-a,

：・/BCD=/CDF,

：.PC=PD,

・・・三角形PCD为等腰三角形；

(3)解：如图3：由(1)可知ZiABC2

图3

:.DE=CB,

设CE=x,DE=CB=y,

：.BE=CB-CE=y-x,

由翻折得PE=23E=2(y—x),

/.PC-PE+CE-2^y-x^+x-2y-x-PD,

在RtAPDE中，由勾股定理得：(2y-x)2=(2y-2x)2+y2,

整理得：3/—4孙+y2=o,

/.(3x-y)(x-y)=0,

・•・y=3x或y=x,

当V=x时，a=45°,不合题意，舍去，

y=3x,

PC=2y—x=5x,DE=y=3x,

在RtZkCDE中，由勾股定理得：X2+(3X)2=(15A/5)2,

.225

..x2=-----,

2

11,

=PCDE=X15x843-75

/.SAPCD22=-

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理

解三角形，正确添加辅助线是解题的关键.

9.(1)KG=KH；4

Q)KG=kKH,证明见解析

(3)3+—

3

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，相似三

角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转和平移的性质等等，正

确作出辅助线是解题的关键。

(1)过点K分别作8C,CD的垂线，垂足分别为E、F,可证明△班K,△。雁都是等腰直

角三角形，得至"BE=KE,DF=KF,再由题意可得BK=OK,则可证明

△3EK丝△。相(AAS)得到跳;=DF,即KE=KF,证明四边形CEKF是正方形，得到

NEKF=90°,KE=CE=BE,由平移和旋转的性质可得NMKN=NA=90。，据此证明

△KEG当LKFH,则KG=K8,SAKEG=SAKFH,则可证明

S四边形KGCH=S/\KEG+S四边形KES=^AKFH+S四边形理。8=S四边形cEM，据此求解即可；

(2)过点K,作KEL3C于E,作K/J_Cr)于忆导角证明NEKG=NF/田,解直角三角

形得到KE=Y2K3,KF=—KD,证明△KEGS^KEH,

22

可得警=镖=左，则KG=kKH；

KUKr

(3)由(2)可得：KH=[KM==,KE=—KB=3,KF=—KD=\,利用勾股定理

3322

求出ME=币,FH=,根据S四边形XMCH=S矩形KECF+S4E—^KFH计算求解即可.

3KM

【详解】(1)解：如图所示，过点K分别作3C,CD的垂线，垂足分别为E、F,

：.ZKEG=ZKEC=ZKFD=ZKFC=90°,

•・•四边形ABCO是正方形，

ZA=ZC=90°fNKBE=NKDF=45。,

ABEK,△D/K都是等腰直角三角形，

ABE=KE,DF=KF,

VBK=kDK,且左=1,

:.BK=DK,

・・・^BEK^DFK(AAS),

：・BE=DF,

KE=KF,

■:ZKEC=/C=ZKFC=90°,

・・・四边形CEKF是矩形，

;KE=KF,

・・・四边形CEKF是正方形，

；・NEKF=90。,KE=CE=BE,

由平移和旋转的性质可得/MKN=NA=90°,

・•・ZEKG=ZFKH=90°-ZEKH,

:.AKEG^AKFH,

***KG=KH,SAXEG=SAKFH,

•・S四边形KGCH-S^KEG+S四边形-^/XKFH+S四边形一S四边形。£长产，

•・・BC=AB=4,

：.KE=CE=BE=-BC=2,

2

，S四边形KGC”=S四边形CEKF=CE•KE=2x2=4.

(2)解：KG=kKH,证明如下：

如图所示，过点K,作KE_L5C于作K尸，CD于尸

:.ZKEB=ZKFD=90°,

•・•四边形ABCD是正方形，

・•.BD=①AB=4啦,ZDBC=ZBDC=45°,ZC=90°f

:.ZEKF=360°-90°-90°-90°=90°,

由平移和旋转的性质可得ZMKN=ZA=90°,

:"MKN-ZEKH=ZEKF-ZEKH

:"EKG=/FKH

:△KEGSAKFH

KE

在RMBEK中，sin45=——,

KB

.\KE=—KB,

2

同理：KF=—KD,

2

.KEKB

..----=-----=k1,

KFKD

KGKE7

二.---=---=k,

KHKF

:.KG=kKH；

(3)解：•:BK=kDK,且左=3,

:.BK=)BD=3&DK=-BD=y/2,

44

如图3,由(2)可得：KH=\KM=^~,KE=—KB=3,KF=—KD=\

3322

二在RtA/QWE中，ME=^KM2-KE2=A/42-32=77-

T，

在Rt^KHT中，FH=^KH2-KF2=

、3币币s

△=3-1------------------=3-1----------.

^KFH263

10.⑴见解析

(2)@710;②3夜

【分析】（1）根据正方形性质证明△ABP丝△3CH,得出=即可；

（2）①先证明在;垂直平分AP,再根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得EP=/C,

然后根据等边对等角和等量代换求得ZAFP=90°,根据直角三角形斜边中线的性质证出

FE=\AP,再根据勾股定理求出AP,则可得出结果；

2

②连接EG并延长到“，使得EG=GH,连接CH,DH,证明△CGH^^QG石（SAS）,得出

CH=EQ,ZCHG=ZGEQ9证明△"^^△CDH（SAS）,得出DH=DE,ZCDH=ZADE,

证明△。硝是等腰直角三角形，得出〃G=EG,证明△OEG也是等腰直角三角形，得出

DG=EG=3,根据勾股定理求出Q£=JOG2+EG2=3&.

【详解】（1）证明：・・•四边形ABC。为正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZBCD=90°,

*：BHLAP,

：.N5G4=90。，

・•・ZABG+ZBAG=90°,

「ZABG+NCBH=90°,

:./BAG=/CBH,

：.AABXABCH,

：・AP=BH；

(2)解：如图，连接E4,FP,FC,

AD

・・,正方形ABC。是轴对称图形，尸为对角线BO上一点,

BPC

:.FA=FC,ZFAB=ZFCP,

・・•把线段①7沿B4向上平移到肱V位置，BH1AP,

：.MN±AP,

•・•E为AP的中点，

FE垂直平分"，

:.FA=FP,

:.FP=FC,

："FPC=/FCP,

\'ZFAB=ZFCPf

;.ZFAB=NFPC,

ZFPC+ZFPB=1SO°

:.AFAB+AFPB=1W,

:.AABC+ZAFP=l^0,

:.ZAFP=9Q°,

:.FE=-AP

29

VAB=6,BP=2,

•*-AP=>]AB2^BP2=A/62+22=2710，

.・.EF=；AP=回;

②连接EG并延长到H,使得EG=G"，连接CH,DH,如图所示:

・・,点G为。。的中点，

：.CG=QG,

又「ZCGH=ZEGQ,

・・・△CGH%QGE(SAS),

CH=EQ,ZCHG=ZGEQ,

.・.CH//EQ,

：.ZDCH=ZQNC,

丁四边形ABCD是正方形，

AAB//CD,ZBA£>=90°,

.・.ZAME=ZCNQf

•.・ZMAE+ZDAE=90°,

又,：MNLAP,

：.AAME+AMAE=90°,

ZDAE=ZAME,

：.ZDAE=ZDCH,

・.・AE=EQ,

:.AE=CH,

由正方形的性质可知，AD=CD,

：.AADE^ACDH(SAS),

ADH=DE,ZCDH=ZADE,

ZCDH+ZCDE=ZCDE+ZADE=ZADC=9Q°,

gpZEDH=90°,

.1.ADEH是等腰直角三角形，

HG=EG,

：.DG±EH,

△DEG也是等腰直角三角形，

DG=EG=3,

DE=-JDG1+EG2=3亚•

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平

分线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关图形的判定和性质.

11.(1)BE=2CF

(2)成立，证明见解析

(3)BE=EffiF?]

【分析】(1)证出3D=2CF,证明ABAEgABAD(SAS),由全等三角形的性质得出鹿=

则可得出结论；

(2)延长2C至点G,使得CG=3C,连接DG,AG,证明△ACBZAACGCSAS),由全

等三角形的性质得出，助C=/G4c=45。，AB^AG,证明ABAE丝AG4ZXSAS),由全等

三角形的性质得出3E=OG,由三角形中位线定理得出PC=gr>G,则可得出结论；

(3)延长至点G,使得CG=3C,连接DG,AG,证明AEADSABAG,由相似三角

kARARFAF

形的性质得出黑=粤，证明ABAEsAGm,由相似三角形的性质得出盥=啜，由(2)

ADAGDGAD

可知DG=2CF,则可得出结论.

【详解】(1)解:•.♦当a=90°,即NACB=90。,

・「ZADE=-ZACB,

2

：.ZADE=ZAED=45°,

***AE=ADf

,：CB=CAf

・・・/B4C=45。，

,：ZDAE=9Q0,

.^BAE=^BAD=45°f

在ABA石和△B4。中,

AE=AD

</BAE=ABAD,

AB=AB

：.ABAE^ABAD(SAS),

:.BE=BD,

•・•/是5。的中点，^ACB=90°,

：.BD=2CF,

：.BE=2CF；

故答案为：BE=2CF；

(2)结论：成立.

证明：延长至点G,使得CG=BC,连接。G,AG,

VAC=AC,/ACB=/ACG=90。，

/.△ACB^AACG(SAS),

：.^BAC=^GAC=45°,AB=AGf

9：CB=CA,ZACB=90°

・・・/B4C=45。，

：.ZBAC=ZGAC=^5°,ZBAG=ZBAC+ZGAC=90°,

：.ZEAD=ZBAG=9G0,

：.ZEAD-ZBAD=ZBAG-ZBAD,即/B4E=/G4。,

V^EAD=9Q°,ZADE=-ZACB=45°,

2

：.ZAED=NADE=45°,

AE=AD,

'：AB=AG,

：.△B4岸△GA/XSAS),

:・BE=DG,

VBF=FD,BC=CG,

・・・W是△BDG的中位线，

FC=-DG,