七年级数学专项训练：尺规作图+解析

尺规作图专题训练

1、尺规作图是啥？

尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图。其中直尺必须没有刻度，只

能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度，只能用来作圆

和圆弧.因此，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器

等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的.

2、五种基础的尺规作图题型（掌握基础才能挑战复杂题型）

基本作图①：作一条线段等于已知线段。

己知：如图，线段a.

求作：线段AB,使AB=a.

作法：

1）作射线AP；

2）在射线AP上截取AB=a.

则线段AB就是所求作的图形。

基本作图②：作一个角等于已知角。

已知：如图（1）.ZNOM.

求作：某个角等于/NOM。

作法：

如图（2）,

1）作射线PQ；

2）在图（1）上，以0为圆心，任意长为半径作弧，交0M于点A,交ON于点B；

3）以P为圆心，0A的长为半径作弧，交PQ丁点C；

4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧广点D；

5）过点D作射线PR.

则NCPD就是所要求作的角.

1

基本作图③：作已知线段的垂直平分线。

已知：线段AB

求作：线段AB的垂直平分线。

作法：

1）以A为圆心，取比线段IAB长的长度为半径，

2

在线段AB的上方和下方作弧。

2）以B为圆心，取与1）等长的半径，在线段AB

的上方和下方作弧，与I）作的弧分别交于点C

和点D。

3）过点C和点D作直线CD。

则直线CD就是所要求作的垂直平分线.

基本作图④：作已知角的角平分线

已知:如图，ZAOB,

求作：射线0P,使NAOP=NBOP

（即OP平分NAOB）.

作法：

1）以O为圆心，任意长度为半径画弧,

分别交OA,OB于点M,点N。

2）分别以M,N为圆心，大于」MN的相同线段为半径画弧,

2

两弧交/AOB内于P：

3）作射线0P。

则射线0P就是NA0B的角平分线。

基本作图⑤：过一点作已知直线的垂线。

已知：如图，直线/，点P在直线/外。

求作：直线PC垂直直线I.

作法：

1）在直线/的另一侧取点K,以P为

圆心，PK为半径画弧交直线/于

点A和点B,

2）分别以A、B圆心，大于‘AB为

2

半径画弧交于C

3）作直线PC。

则直线PC就是直线/的垂线。

2

解答题（共10小题）

1.作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

己知：（如图）线段a和Na,

求作：△4BC,使/8=/C=a,/A=Na,.

a

2.已知NA4C,点D是/C边上一点.

（1）利用尺规在/C的右侧以点。为顶点作/COP,使NCDP=/CAB；

（不写作法，保留作图痕迹）

（2）写出射线。尸与的位置关系.

3.如图，以点3为顶点，射线3c为一边，利用尺规作NE3C,使得

（1）用尺规作出/匹C.（不写作法，保留作图痕迹，要写结论）

（2）£2与4D一定平行吗？简要说明理由.

3

4.如图，已知△/2C,ZBAC=90°,

（1）尺规作图：作。的平分线交NC于。点（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若NC=30°,求证：DC=DB.

5.如图，已知△NBC中，点尸在3C上.

（1）试用直尺和圆规在线段/C上找一点。，使NCPD=NB4P.（不写作法，但需保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下若PD平分/4PC,求证：NBAP=NPBA.

6.如图，AE//BF,4C平分/B4E,交BF于C.

（1）尺规作图：过点8作NC的垂线，交/C于。，交AE于D,（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明.

7.如图，已知在△N8C中，AB=AC.

（1）试用直尺和圆规在/C上找一点。，使40=3。（不写作法，但需保留作图痕迹）.

（2）在（1）中，连接3D,若BD=BC,求的度数.

4

8.如图，某大学有/、2、C三栋教学楼，/、2在校内的主干道上，C在校内支路的末端.为了方便教学

和管理，现计划修建一栋办公楼尸，使办公室到公路/8、5c的距离相等，且到5、。两栋教学楼的距

离也相等，请在图中作出办公楼尸的位置(要求：尺规作图，不写已知、求作、作法和结论，保留作图

痕迹，在所作图中标出产的位置).

9.已知：NAOB及AC〃OB.

(1)用三角板作图，过点/作垂足为点E,此时线段的长为点/到线段。2的距离.

(2)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)

以点。为顶点，线段04为一边，在N/03外作一个角使它等于贝IJ04是/。02

的若/。。=30。，则/。08=

10.已知/A4C,点。是/C边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程.

(1)用尺规作图在NC的右侧以点D为顶点作/C£>P=/CAB；

(2)射线。尸与48的位置关系为,理由是；

(3)画出表示点D到的距离的线段和表示点B到/C的距离的线段.

5

尺规作图专题训练

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

1.

【分析】可做/N=/a,然后在//的两边上分别截取连接即可.

【解答】解：

【点评】本题考查作图-基本作图，用到的知识点为：边角边可判定两三角形全等；注意先画一个角等

于已知角.

2.

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用平行线的判定方法判断即可.

理由：•:/CDP=/C4B,

J.DP//AB（同位角相等，两直线平行）.

【点评】本题考查作图-基本作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于

中考常考题型.

3.

【分析】分两种情况：①根据同位角相等两直线平行，过。点作的平行线即可.②当所作的角在

6

3c下方.

【解答】解：（1）如图，即为所求.

（2）与40不一定平行.

①当所作的角在8C上方时平行.：/班。=/，，

J.EB//AD.

当所作的角在BC下方，所作的角对称时EB与AD就不平行.

【点评】此题主要考查学生对平行线的判定和尺规作图相关知识的理解和掌握，此题难度不大，属于基

础题.

4.

【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线8。；

（2）想办法证明NC=/CAD即可；

【解答】（1）解：射线即为所求；

(2)VZ^=90°,ZC=30°,

AZABC^90°-30°=60°,

:BD平分/4BC,

：.ZCBD=1-ZABC=3QO,

2

：.ZC^ZCBD=30°,

：.DC=DB.

7

【点评】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图,

属于中考常考题型.

5.

【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角），作/CPD=/B4P,从而得到。点；

（2）利用角平分线的定义得到/。尸。=//尸。，加上/CPD=N34P,则/4PD=/B4P,然后利用三

角形外角性质可证明/BAP=NPBA.

【解答】（1）解：如图，点。为所作；

(2)证明：平分N4PC,

：.ZCPD=ZAPD,

,：ZCPD=ZBAP.

：.ZAPD^ZBAP,

'：ZAPC=ZPBA+ZBAP,

即/APD+/CPD=ZPBA+ZBAP

：.ZBAP+ZBAP=ZPBA+ZBAP,

：./BAP=NPBA.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形

的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

6.

【分析】（1）利用基本作图作2。，/。即可；

（2）先利用平行线的性质得再根据角平分线的定义和等量代换得到=

则A4=BC,然后根据等腰三角形的判定方法由/。平分NB4D得到48=/。，所以48=40

=BC.

【解答】解：（1）如图，30为所作；

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AD

(2)AB=AD=BC.证明如下:

,:AE〃BF,

：.NEAC=NBCA,

AC平分/BAE,

：.ZEAC=ZBAC,

：./BCA=/BAC,

:・BA=BC,

'：BDLAO,力。平分NB/。，

:・AB=AD,

：・AB=AD=BC.

【点评】本题考查了作图-基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的

判定与性质.

7.

【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质得出符合题意的图形；

（2）直接利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：（1）如图所示：

(2)设N4=x,

9：AD=BD,

/DBA=NA=x,

在△/瓦)中

ZBDC=ZA+ZDBA=2x,

又*：BD=BC,

：.ZC=NBDC=2x,

又・：AB=AC,

9

・,.NABC=/C=2x,

在A/BC中

ZA+ZABC+ZC=1SO°,

.*•x+2x+2x=180°,

【点评】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分

线的性质是解题关键.

8.

【分析】作出//2C的平分线，再作出的垂直平分线，交点即是P点位置.

【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及垂直平分线的作法，利用角平分线的性质以及垂直平分线

的性质解题是解题关键.

9.

【分析】（1）根据要求画出图形即