专题08圆的基本概念（5知识点8大题型3大拓展训练过关测）

专题08圆的基本概念（5知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测）内容导航——预习三步曲第一步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练题型强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练第二步：记串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：圆的定义1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。【即时训练】1．（2324九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦【答案】D【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可．【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误；B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误；C、弦不一定是直径，故选项错误；D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确；故选D．2．（2425九年级下·浙江温州·阶段练习）下列说法：①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦，其中正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】根据圆有关定义：等弧是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，圆上任意两点的连线段是弦等知识分别判断得出答案即可．【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，由等圆的定义可知，半径相等的两个圆也周长相等，所以为等圆，故此选项正确，符合题意；②过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，不符合题意；③长度相等的弧是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，不符合题意；④圆上任意两点的连线段是弦，半径只有一个端点在圆上，所以半径不是弦，此项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．3．（2324九年级上·浙江杭州·期中）下列说法中正确的有（填序号）．①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆．【答案】①③④【分析】根据圆的基本定义判断即可．【详解】解：①直径是圆中最大的弦，故正确；②同圆或等圆中，长度相等的两条弧一定是等弧，故错误；③半径相等的两个圆是等圆，故正确；④面积相等的两个圆半径相等，则两个圆是等圆，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了圆的基本定义的掌握，正确理解圆的基本定义是解题的关键．知识点2：弦、弧、圆心角1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．6．顶点在圆心的角叫做圆心角．名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤【即时训练】4．（2324九年级上·浙江衢州·期末）已知的半径3，则中最长的弦长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可．【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3，∴最长的弦为6，故选：B．5．（2324九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（

）A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧C．直径是弦 D．弦是直径【答案】C【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可．【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误；B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误；C、直径是弦，选项正确；D、弦不一定是直径，选项错误；故选C．6．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，图中的直径有，非直径的弦有；图中以为端点的弧中，优弧有，劣弧有．【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．【点睛】本题考查了圆的认识，关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．知识点3：点和圆的位置关系点和圆的位置关系点到圆心的距离与半径的关系图示文字语言符号语言点在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内点在圆上圆内各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上点在圆外圆内各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。（2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。【即时训练】7．（2425九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（

）A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定【答案】C比较与的大小即可得出结论．点在圆内．故答案为：C．【答案】【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理．根据题意画出图形，利用勾股定理即可解答．

故答案为：．【答案】见解析【详解】解：连接．C在上；则A在的外部；知识点4：过已知点作圆条件类别过一点作圆过两点作圆过不在同一条直线上的三点作圆理论依据经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个圆形结论不在同一条直线上的三个点确定一个圆定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．【即时训练】A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断【答案】B【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B．【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)【答案】A故选A．【点睛】本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．12．（2425九年级上·浙江温州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．知识点5：三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.【即时训练】【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答．【详解】解：如图，

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心．【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，【题型1圆的基本概念辨析】1．下列语句中正确的是（）A．直径是经过圆心的直线 B．经过圆心的线段是半径C．半圆是弧 D．以直径为弦的弓形是半圆【答案】C【分析】本题考查了圆的相关概念，掌握直径、半径、半圆和弧、弓形的定义是解题关键．由直径是线段不是直线，可判断A选项；根据经过圆心的线段两个端点不一定在圆和圆心上，可判断B选项；根据半圆是直径所对的弧，弓形是由弦及其所对的弧组成，可判断C、D选项．【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，选项错误；B、经过圆心的线段不一定是半径，选项错误；C、半圆是弧，选项正确；D、以直径为弦的弓形不是半圆，选项错误；故选：C．2．下列条件中，能确定一个圆的是（

）【答案】C【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆；B、只确定圆的半径，不可以确定圆；C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆；D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆；故选：C．3．早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中“定长”指的是．【答案】半径【分析】本题考查了圆的认识．根据圆的集合定义直接回答即可．【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径．故答案为：半径．4．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是（填写所有正确选项的序号）．①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦．【答案】②③【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可．【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③．故答案为：②③．5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有．（填序号）【答案】①③④【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误；②半圆是弧，说法正确；③过圆心的弦是直径，故原说法错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误．故答案为：①③④．【题型2圆中弦的相关概念】6．下列命题是真命题的是（

）A．长度相等的弧是等弧B．圆中最长的弦是经过圆心的弦C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧D．平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。根据圆的概念和性质分析即可．【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意；C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意；故选：B．7．已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（

）【答案】A【分析】本题考查了圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最大的弦为直径，即可求解．【详解】解：的半径为，是的弦，故选：A．【答案】即弦所对的圆心角是故答案为：．【答案】7【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．∴这样的弦共有7条．∴这样的点P共有7个．故答案为：7．，从而得到答案．【详解】解：连接．【题型3圆的周长和面积】A．地球 B．火星 C．一样多 D．无法确定【答案】C故选：C．

【答案】D【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，

故选：．【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键．13．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍【答案】B【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，故选B．【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．【答案】2π故答案为：．【答案】【详解】解：因为两个同心圆组成的圆环面积是16，故答案为：．【题型4点和圆的位置关系】A．点在外 B．点在上C．点在内 D．无法确定【答案】B∴以为圆心，长为半径画圆，则点在上，故选：B．A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】D先根据两点间的距离公式分别计算出、的长，再由点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外求出r的范围，进而求解即可．∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，故选D．【详解】解：如图，连结，，以点为圆心作圆，如果、、至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，【答案】或在圆外点在圆内或者圆外，此时点在圆外；故答案为：或，点在圆外．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是明确点到圆的距离的最近与最远与半径的关系．【答案】点在上，点在内，点在外【分析】本题考查了平面内两点之间的距离、点与圆的位置关系，先根据平面内两点之间的距离公式求出、、的长度，再与半径进行比较，即可得出答案．∴点在上，点在内，点在外．【题型5三角形的外接圆】A．点 B．点 C．点 D．点【答案】C【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键．故选：．作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（

）D．若连接，则点在线段的垂直平分线上【答案】D【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可．【详解】解：连接，由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点，∴点在线段的垂直平分线上，∴A错误，D正确，故选：D．23．三角形的外心是（

）A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】A【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．故选：A．【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．25．下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．方法1：利用矩形判定和性质证明．方法2：利用圆的性质证明．【答案】证明过程见详解【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解．【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明．∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，∴点D也是的中点，方法二：利用圆的性质证明．【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键．【题型6求三角形外心坐标与半径】【答案】D【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可．观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．【答案】D作图得：故选：D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可．故选：C．【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解．【详解】解：如图所示，∴在上，且为的中点30．已知：如图，△ABC．

(1)求作：△ABC的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若△ABC是直角三角形，则其外接圆的圆心在；(3)若△ABC是边长为6的等边三角形，其外接圆的圆心O到BC边的距离为，求其外接圆的面积．【答案】(1)见解析(2)斜边中点(3)【分析】（1）作AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径画圆即可；（2）根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；（3）连接OB，利用勾股定理求出半径即可．【详解】（1）解：如图所示，圆O即是△ABC的外接圆．（2）解：如图，直角三角形ABC，作斜边AB上的中线CD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，CD=AD=BD，即D为直角三角形ABC的外接圆圆心，故答案为：斜边中点．（3）解：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，OD⊥BC于D，OD=，连接OB，∵OD⊥BC，【点睛】本题考查了三角形外接圆、垂径定理和圆的面积计算，解题关键是熟练掌握三角形外接圆的作法，能够熟练运用垂径定理求出半径长．【题型7确定圆的条件】31．下列说法中正确的是（）A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆C．经过三个定点，只能作一个圆D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆【答案】D【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可．【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意；B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意；D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意；故选：D．32．下列命题中，真命题的个数是（

）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④．【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题；②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题．∴真命题只有1个，故选：D．33．如图，在每个小正方形边长为1的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是．【答案】故答案为：．【答案】不能【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可．故答案为：不能．35．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为时，过P，A，B三点不能作出一个圆．【答案】(−1,3)【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x4联立，两直线的交点坐标即为所求．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(0,2)，点B(2,0)，∴y=−x+2.∴当P的坐标为(−1,3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.故答案为(−1,3).【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质.【题型8尺规作图确定圆心】36．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（

）.A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定【答案】C【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系.【详解】如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O，∴点M在圆上，故选C.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，根据垂径定理，确定圆的圆心，是初中圆这一部分常见的作图，需要引起注意.37．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为．【答案】(－1，0)【点睛】本题考查了不共线三点确定一个圆，求圆心的坐标，掌握确定圆的条件是解题的关键．38．如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．39．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标．【答案】（2，0）【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）．【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M，由中垂线性质有AM=BM=CM，∵AM=BM=CM，∴点M为圆心，由平面直角坐标系可知，圆心M的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标．(1)点的坐标为．（2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可；【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键．【拓展训练一计算圆的半径问题】【答案】B【详解】解：如图，连接，故选：B．【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径．故选：C．A． B．2 C． D．【答案】C∵点C在内连接，故选：C．【分析】本题主要考查了正方形的性质、圆的基本知识、折叠的性质以及勾股定理等知识，分情况讨论是解题关键．设的半径为r，分经过的中点、经过的中点以及经过的中点三种情况，分别求解即可．【详解】解：设的半径为r，如下图，①如图1，当经过的中点，即经过的中点，③如图3，当经过的中点，连接，【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键．分三种情况讨论，设的半径为r，分别根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设的半径为r，当经过的中点，即经过的中点．当经过的中点，即经过的中点，设的中点为M，【拓展训练二尺规作圆综合】(1)圆心的坐标为______；(2)求的半径；(2)(3)点在内，理由见解析【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识．（1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标；（2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解；（3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系．【详解】（1）解：圆心D如图所示；（3）解：点在内．理由如下：点在内．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.（2）(3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查作图一轴对称变换、中心对称变换，确定圆心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的点、、，然后顺次连接即可；（2）分别作出点、、关于y轴对称的点、、，然后顺次连接即可；（3）根据题意分别作出弦，的垂直平分线，交于点O，即为所求．（3）如图所示，点O即为所求圆的圆心．49．请解答下列各题：（1）如图1，如图，所在的直线垂直平分线，利用这样的工具，最少使用几次就可以找到圆形工件的圆心；（2）如图2，有一块破碎的圆形残片，请你用直尺和圆规找出它的圆心．（保留作图痕迹）．【答案】（1）两次；（2）详见解析．【分析】（1）由垂径定理可得，CD所在直线是直径的位置，再根据两个直径的交点即为圆心即可解答；（2）连接AC、BC，分别作它们的垂直平分线其交点即为圆心．【详解】解：（1）如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故：两次；（2）在上任作一点，如图所示：1．分别连接，．2．分别作，的垂直平分线交于点，则点即为所求．【点睛】本题主要考查垂径定理的推论，掌握弦的垂直平分线经过圆心且平分这条弦所对的弧成为解答本题的关键．50．如图，在的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，圆过格点，，请作出圆心；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN、BM，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；【详解】（1）如图3，连接AN、BM交点O即为圆心∴AN、BM是直径，∴直径交点O就是圆心．（2）如图4，连接BC、AD、BD∵AB=CD，

【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．【拓展训练三圆的最值问题（隐圆）】A．10 B．9 C．8 D．【答案】B【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离.如图，连接点在以为圆心，以为半径的圆上运动，如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，故选：B.【答案】A∴点在上，故选：A．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了抛物线的性质，圆与直线，中位线的判定和性质，掌握中位线的判定和性质，圆与直线的关系是关键．如图所示，连接，∵点是中点，点是中点，故选：B．∴点的运动路线为以为直径的圆，∵点关于直线的对称点，【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键．【详解】解：∵点E是边的中点，∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上，A．点在内 B．点在上C．点在外 D．点在上或外【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．∴点与的位置关系是点在上，故选：B．2．（2425九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案．【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，圆的半径是．故选：B．A． B． C． D．【答案】B故选：B．【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积正方形的面积，代入计算即可．半径的长为，∵阴影部分面积=圆的面积正方形的面积，