1.1-1.2讲二次函数的定义与图像讲义浙教版数学九年级上册

二次函数的定义与图像知识点一、二次函数的定义【知识梳理】1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的函数是二次函数.若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例题精讲】例1．下列函数关系式中，是的二次函数是（）A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④例4．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（）A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2A． B．1 C． D．1或0【巩固练习】知识点二、二次函数解析式【知识梳理】1.二次函数解析式的表示方法要点：2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点：【例题精讲】例1．已知二次函数的图象经过点（1，5），（0，4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A．y=6x2+3x+4 B．y=2x2+3x4C．y=x2+2x4 D．y=2x2+3x4A． B． C． D．知识点三、特殊二次函数的图象【知识梳理】一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h四、二次函数的平移1.平移步骤：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【例题精讲】例1．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（）A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0例3．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）A． B． C． D．例5．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）例6．k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上 B．直线y＝﹣x上 C．x轴上 D．y轴上例7．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为(

)A．y=2x2+5 B．y=2x25 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x5）2例9．顶点为(6，0)，开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是()A．y=(x6)2 B．y=(x+6)2 C．y=(x6)2 D．y=(x+6)2例10．对于y＝ax2(a≠0)的图象，下列叙述正确的是()A．a越大开口越大，a越小开口越小B．a越大开口越小，a越小开口越大C．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大D．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象【知识梳理】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象1.顶点式化成一般式2.一般式化成顶点式二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，函数图象开口方向向上向下对称轴顶点坐标项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b24acb24ac=0与x轴有唯一交点b24ac＞0与x轴有两个交点b24ac＜0与x轴没有交点【例题精讲】A．0 B．1 C．2 D．3A．直线x=2 B．直线x=4C．直线x=1