2026版三维设计一轮高中总复习数学题库-微专题12　“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题

“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能.一、以代数方案破解离心率问题【例1】（1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以｜F1F2｜A.（22，1） B.［22，C.（12，1） D.［12，（2）设双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线的离心率e答案：（1）A（2）（62，2）∪（2解析：（1）因为以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b＜c，即b2＜c2，a2－c2＜c2，a2＜2c2，所以e2＞12，即e＞22，又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围为（22，1）（2）由C与l相交于两个不同的点，知方程组x2a2－y2=1，x＋y=1有两个不同的实数解，消去y并整理得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，所以1－a2≠0，4a4+8a2（1－a2）>0，解得0＜a＜2且a≠1，双曲线的离心率e＝a2+1a＝1a点评利用代数方案破解圆锥曲线中的离心率问题就是利用代数法求出椭圆、双曲线标准方程中的参数a（b）的值或范围，进而求得离心率的值或范围.二、以几何方案破解离心率问题技法1从定义入手，建立参数a，b，c的关系【例2】（1）设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，｜PF1｜·｜PF2｜＝9A.43 B.5C.94 D.（2）P是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P到原点O的距离为焦距的一半，且｜PF1｜－｜PF2｜＝A.64 B.10C.32 D.答案：（1）B（2）B解析：（1）因为P是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一点，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，又｜PF1｜＋｜PF2｜＝3b，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－（｜PF1｜－｜PF2｜）2＝9b2－4a2，所以4｜PF1｜·｜PF2｜＝9b2－4a2，又因为｜PF1｜·｜PF2｜＝94ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9（ba）2－9（ba）－4＝0，解得ba＝－13（舍去）或ba＝43.所以e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1（2）因为P是椭圆上一点，F1，F2分别为左、右焦点，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，而｜PF1｜－｜PF2｜＝a，则｜PF1｜＝32a，｜PF2｜＝12a.又因为点P到原点O的距离为焦距的一半，即｜PO｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，故△PF1F2为直角三角形，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，即（32a）2＋（12a）2＝（2c）2，解得c2a2＝58点评本例以曲线上一点到两焦点的距离之和（差）等于某值给出，使我们自然联想到椭圆、双曲线的定义，再结合其他条件建立参数a，b，c之间的关系式，进而求得离心率的值或范围.技法2从点的坐标入手，建立参数a，b，c的关系【例3】（1）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点F（－c，0）关于直线bx＋cy＝0的对称点PA.24 B.3C.33 D.（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，答案：（1）D（2）3解析：（1）设焦点F（－c，0）关于直线bx＋cy＝0的对称点为P（m，n），则nm＋c·（－bc）＝－1，b·m－c2＋c·n2=0，∴nm＋c＝cb，bm－bc＋nc=0，∴m＝b2c－c3b2＋c2＝（a2－2c2）ca2＝（1－2e2）c，n＝c2b（2）C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为y＝±bax，联立渐近线方程与抛物线方程得交点的坐标A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），又由于C2：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，p2），△OAB的垂心为C2的焦点，故有AF⊥OB，则kAF点评从与参数a，b，c相关的点入手，利用图形中点、线所具有的平行、垂直、对称、相等、共线等几何特征，结合圆锥曲线的顶点、焦点、渐近线等相关量，建立与参数a，b，c相关的关系式，进而求得离心率的值或范围.技法3从几何图形的特征入手，建立a，b，c的关系【例4】（1）已知F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，若△POF为等边三角形（2）过双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆4x2＋4y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为答案：（1）3－1（2）10解析：（1）根据题意，取点P为第一象限的点，过点P作OF的垂线，垂足为H，如图所示，因为△OPF为等边三角形，又F（c，0），故可得｜OH｜＝cos60°×c＝c2，｜PH｜＝sin60°×c＝32c，则点P的坐标为（c2，32c），代入椭圆方程可得c24a2＋3c24b2＝1，又b2＝a2－c2，整理得e2＋3e21－e2＝4，即e2＝4（2）设双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F1，因为E为PF的中点，O为FF1的中点，所以OE为△FPF1的中位线，有｜PF1｜＝2｜OE｜，又PF与圆相切于点E，圆的半径为a2，所以有｜PF1｜＝a，又｜PF｜－｜PF1｜＝2a，所以｜PF｜＝3a，在Rt△OEF中，｜OE｜2＋｜EF｜2＝｜OF｜2，即（a2）2＋（3a2）2＝c2，点评从圆锥曲线中某些图形的几何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圆、圆的切线等），建立关于a，b，c的关系式，进而求得离心率的值或范围.三、以解三角形方案破解离心率问题【例5】设F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，A.5 B.2C.3 D.2解析：C因为点F2（c，0）到渐近线y＝bax的距离｜PF2｜＝｜bca－0｜1+（ba）2＝b（b＞0），而｜OF2｜＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得｜OP｜＝c2－b2＝a，所以｜PF1｜＝6｜OP｜＝6a.在Rt△OPF2中，cos∠PF2O＝｜PF2｜｜OF2｜＝bc，在△F1F2P中，cos∠PF2O＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2-|PF1｜22｜PF2｜点评把圆锥曲线的离心率问题与解三角形完美的结合，通过正、余弦定理及圆锥曲线的定义、几何性质，寻找与参数a，b，c相关的齐次关系式，进而求得离心率的值或范围.1.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，｜AF1｜＝3｜BF1｜，且∠F1AF2＝60°，A.716 B.7C.916 D.解析：B由椭圆的对称性，得｜AF2｜＝｜BF1｜.设｜AF2｜＝m，则｜AF1｜＝3m.由椭圆的定义，知｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即m＋3m＝2a，解得m＝a2，故｜AF1｜＝3a2，｜AF2｜＝a2.在△AF1F2中，由余弦定理，得｜F1F2｜2＝｜AF1｜2＋｜AF2｜2－2｜AF1｜｜AF2｜cos∠F1AF2，即4c2＝9a24＋a24－2×3a2×a2×12＝7a242.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P，使sin答案：（1，1＋2）解析：在△PF1F2中，由正弦定理可得sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝｜PF2｜｜PF1｜，又sin∠PF1F2sin∠PF2F1＝ac，得｜PF2｜｜PF1｜＝ac，｜PF1｜＝ca｜PF2｜，因为双曲线中ca＞1，所以｜PF1｜＞｜PF2｜，故点P在双曲线的右支上.由定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，ca｜PF2｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF2｜＝2a2c－a，由双曲线的几何性质可知｜PF2｜＝1.若直线x＝a与双曲线x24－y2＝1有两个交点，则a的值可以是（A.4 B.2C.1 D.－2解析：A因为在双曲线x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2，故只有A2.已知椭圆C1：x24＋y23＝1与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）A.π6，－π6 B.πC.π6，5π6 D.解析：D由题意得，4－32·a2＋b2a＝1⇒b2＝3a2⇒b＝3a，因此双曲线C2的两条渐近线方程为y＝±bax⇒y＝±3x，所以双曲线3.点P为椭圆x24＋y23＝1上位于第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则△PMOA.32 B.C.3 D.3解析：A设P（x，y）（x＞0，y＞0），因为x24＋y23＝1≥2x24·y23＝xy3，即xy≤3，所以S△PMO＝12xy≤32（当且仅当3x4.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x－2y＝0，A，B分别是C的左、右顶点，M是C上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若1≤k1≤2，则A.18，14C.－14,-解析：A依题意，ba＝12，则双曲线的方程为x24b2－y2b2＝1，则A（－2b，0），B（2b，0），设M（x0，y0），则x024b2－y02b2＝1，所以k1k2＝y0x0+2b·y05.（多选）设F1，F2为双曲线C：x2－y2b2＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：3x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，则A.b＝3B.弦PQ长的最小值为6C.存在点P，使得｜PF1｜＝3D.点P到直线m：3x－y＋2＝0距离的最小值为1解析：AB由题知，a＝1，渐近线3x－y＝0⇒y＝3x⇒ba＝3⇒b＝3，c＝2，故A正确；｜PQ｜为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，｜PQ｜min＝2b2a＝2×3＝6，故B正确；根据双曲线定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a⇒｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝a＋c＝1＋2＝3，∴当P为双曲线右顶点（1，0）时，｜PF1｜取最小值3，但此时F2P与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；∵直线m和双曲线的渐近线l平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.6.直线y＝x＋1与双曲线x22－y23＝1相交于A，B两点，则｜AB答案：46解析：由y＝x+1，x22－y23=1，得x2－4x－8＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），7.已知双曲线C：x24－y2b2＝1（b＞0），以C的右焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，答案：（1，132解析：由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝b2x，即bx－2y＝0，又该圆的圆心为（c，0），故圆心到渐近线的距离为bcb2+4，则由题意可得bcb2+4＜3，即b2c2＜9（b2＋4），又b2＝c2－a2＝c2－4，则（c2－4）c2＜9c2，解得c2＜13，即c＜13，则e＝ca＝c2＜132，又e8.已知双曲线C：x24－y2＝1，P为双曲线C（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求｜PA｜的最小值.解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点.该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0，x＋2y＝0，∴点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是｜x1－它们的乘积是｜x1－2y1｜故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.（2）设点P的坐标为（x，y），则｜PA｜2＝（x－3）2＋y2＝（x－3）2＋x24－1＝54∵｜x｜≥2，∴当x＝125时，｜PA｜2取最小值4∴｜PA｜的最小值为259.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线y＝3x交双曲线左、右两支于A，B两点，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股A.3＋1 B.3C.2 D.5解析：A如图所示，由题意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝3c，由双曲线的定义可得，3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝310.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A（5A.1 B.2C.62 D.解析：C因为双曲线C的离心率为103，所以ca＝103，①.因为双曲线上同侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝10－3，②.由①②可得c＝10，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为x29－y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线x29－y2＝1上的任意一点，则｜AP｜＝（x－5）2＋y2＝（x－5）2＋x29－1＝10x11.已知双曲线C：x24－y28＝1，O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x＝233的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆x2＋y2＝1上的一点，则A.22＋32C.3 D.3解析：A根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为y＝2x，F（23，0），因此点A的坐标是（23，223），点D是线段OF的中点，则直线AD的方程为y＝－22（x－3），点B是圆x2＋y2＝1上的一点，点B到直线AD距离的最大值dmax也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即d＋1，dmax＝d＋1＝|-26｜1+8＋1＝263＋1＝26+33，则（S△ABD）max＝12×｜AD｜12.（多选）已知双曲线C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝3x，且过点（1，32），椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，A.双曲线C1的离心率为2B.双曲线C1的实轴长为1C.点B的横坐标的取值范围为（－2，－1）D.点B的横坐标的取值范围为（－3，－1）解析：AD双曲线C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝3x，则可设双曲线C1的方程为x2－y23＝λ（λ＞0），∵过点（1，32），∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴双曲线C1的方程为4x2－43y2＝1，即x214－y234＝1，可知双曲线C1的离心率e＝ca＝2，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由14＋34＝1，可知椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦点F1（－1，0），F2（1，0），不妨设A（1，y1）（y1＞0），代入x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋y12b2＝1，∴y1＝b2a，直线AB的方程为y＝b22a（x＋1），联立y＝b22a（x+1),x2a2＋y2b2=1，消去y并整理得（a2＋3）x2＋2（a2－1）x－13.已知双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜答案：5解析：因为点P在双曲线的右支上，所以由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.因为｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以4｜PF2｜－｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝23a.根据点P在双曲线的右支上，可得｜PF2｜＝23a≥c－a，所以53a≥c，即e≤53，即双曲线的离心率14.（2022·新高考Ⅰ卷21题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ＝22，求△PAQ的面积.解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得4a2－1a化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故双曲线C的方程为x22－y2由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0，故x1＋x2＝－4kb2k2－1，xkAP＋kAQ＝y1－1x1－2＋y化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0，故2k（2b2+2）2k2－1＋（b－1－2k整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0，又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1.故直线l的斜率为－1.（2）不妨设直线PA的倾斜角为θ0<θ＜π2，由题意知∠PAQ＝所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝2tanθtan2解得tanθ＝2或tanθ＝－22（舍去由y1－1x1－所以｜AP｜＝3｜x1－2｜＝43同理得x2＝10+423，所以｜AQ｜＝3｜x2－2｜＝因为tan∠PAQ＝22，所以sin∠PAQ＝22故S△PAQ＝12｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝12×43（2－115.（多选）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设∠F1MF2＝A.线段F1M长度的最小值为a＋cB.线段F2M长度的最小值为bC.若θ＝π2时，△OMF2（O为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为3＋D.若θ＝π6