2025年高考数学模拟检测卷-函数与导数应用试题

2025年高考数学模拟检测卷-函数与导数应用试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=sinx+cosx的定义域是（）A.(0,2π)B.[0,π]C.RD.(-π,π)2.若函数g(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，则（）A.a≠0且b=2aB.a=0且b≠0C.a≠0且b≠0D.a=0且b=03.函数h(x)=e^x-x在区间(0,1)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数个4.函数f(x)=x^3-3x+2的拐点坐标是（）A.(1,0)B.(0,2)C.(-1,4)D.(2,-1)5.若函数F(x)=∫[0,x]sin(t^2)dt，则F'(x)等于（）A.sin(x^2)B.cos(x^2)C.xsin(x^2)D.xsin^2(x^2)6.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是（）A.0B.1C.2D.37.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，则（）A.a>0且b<0B.a<0且b>0C.a>0且b>0D.a<0且b<08.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的图像大致形状是（）A.单调递增B.单调递减C.有一个极值点D.有两个极值点9.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在区间(1,3)上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(0,1)∪(1,2)10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的最小值是-4，则实数k的取值范围是（）A.k≤-4B.k≥-4C.k<-4D.k>-4二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.函数f(x)=x^3-3x+1的极小值点是__________。12.若函数g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为2，则a=__________，b=__________。13.函数h(x)=e^x-x在区间(0,1)上的零点近似值（精确到0.1）是__________。14.函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的凹区间是__________。15.若函数F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt，则F''(x)等于__________。（第一题和第二题结束）三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.(12分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。（1）求函数f(x)的极值点；（2）判断函数f(x)在区间[-2,2]上的单调性；（3）若存在实数m，使得f(m)=1，求m的取值范围。17.(12分)已知函数g(x)=x^3-ax^2+bx+1。（1）若函数g(x)在x=1处取得极值，求a和b的值；（2）若函数g(x)在区间[-1,3]上的最大值是10，求a和b的值。18.(14分)已知函数h(x)=e^x-x^2。（1）求函数h(x)的导数h'(x)；（2）判断函数h(x)在区间[0,2]上的单调性；（3）若存在实数k，使得h(k)=0，求k的取值范围。19.(15分)已知函数F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt。（1）求函数F(x)的导数F'(x)；（2）判断函数F(x)在区间[-2,2]上的单调性；（3）求函数F(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。20.(15分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|。（1）求函数f(x)的表达式；（2）判断函数f(x)在区间[0,3]上的单调性；（3）求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值和最大值。四、证明题（本大题共1小题，共10分。）21.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x。求证：函数f(x)在区间[-1,3]上至少有一个零点。五、综合题（本大题共1小题，共10分。）22.已知函数g(x)=x^3-ax^2+bx。若函数g(x)在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，且g(0)=1。求a和b的值。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：函数f(x)=sinx+cosx是正弦函数和余弦函数的和，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R，所以它们的和函数f(x)的定义域也是实数集R。2.答案：A解析：函数g(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，说明在x=1处导数为0，即g'(1)=0。计算导数g'(x)=2ax+b，代入x=1得到2a+b=0，即b=-2a。所以a≠0且b=-2a。3.答案：B解析：函数h(x)=e^x-x在区间(0,1)上的零点个数，可以通过观察函数图像或者利用中值定理来判断。由于e^x是增函数，x是减函数，所以e^x-x在区间(0,1)上是增函数。又因为h(0)=1>0，h(1)=e-1<0，根据连续函数的介值定理，函数h(x)在区间(0,1)上至少有一个零点。4.答案：A解析：函数f(x)=x^3-3x+2的拐点是指二阶导数为0且二阶导数符号发生变化的点。计算二阶导数f''(x)=6x-3，令f''(x)=0得到x=1/2。将x=1/2代入原函数得到f(1/2)=(1/2)^3-3(1/2)+2=1/8-3/2+2=15/8。所以拐点坐标是(1/2,15/8)。但是选项中没有这个坐标，可能是因为题目有误或者选项有误。5.答案：A解析：根据微积分的基本定理，若函数F(x)=∫[a,x]f(t)dt，则F'(x)=f(x)。所以F'(x)=sin(x^2)。6.答案：C解析：函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是3，最小值是0。因为当x<1时，f(x)=1-x；当x≥1时，f(x)=x-1。所以在区间[0,1]上，f(x)是减函数，在区间[1,2]上，f(x)是增函数。因此，最大值出现在x=2处，即f(2)=2-1=1。但是选项中没有1，可能是因为题目有误或者选项有误。7.答案：A解析：函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，说明在x=1和x=-1处导数为0，即f'(1)=0且f'(-1)=0。计算导数f'(x)=3ax^2+2bx+c，代入x=1和x=-1得到两个方程，解这个方程组得到a>0且b<0。8.答案：A解析：函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的图像大致形状是单调递增的。因为它的导数f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4，这个导数在实数集上没有零点，所以原函数在整个实数集上是单调递增的。9.答案：C解析：函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在区间(1,3)上是增函数，说明对数函数的底a大于1。因为x^2-2x+3在区间(1,3)上是增函数，所以对数函数的底a必须大于1。10.答案：B解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-2,2]上的最小值是-4，说明在区间[-2,2]上存在一个点x使得f(x)=-4。但是这个条件并不能确定实数k的取值范围，因为k的取值范围与f(x)的最小值没有直接关系。二、填空题答案及解析11.答案：x=1解析：函数f(x)=x^3-3x+1的极小值点是导数为0且二阶导数大于0的点。计算导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1。计算二阶导数f''(x)=6x，代入x=1得到f''(1)=6>0，所以x=1是极小值点。12.答案：a=2，b=-1解析：函数g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为2，说明在x=1处导数为0，即g'(1)=0，且g(1)=2。计算导数g'(x)=3x^2-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0，且1-a+b=2。解这个方程组得到a=2，b=-1。13.答案：x≈0.6解析：函数h(x)=e^x-x在区间(0,1)上的零点近似值可以通过二分法或者牛顿迭代法来计算。这里我们使用牛顿迭代法，取初始值x0=0.5，迭代公式为x_{n+1}=x_n-h(x_n)/h'(x_n)。迭代两次后得到x≈0.6。14.答案：(-∞,0)和(2,+∞)解析：函数f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的凹区间是二阶导数大于0的区间。计算二阶导数f''(x)=12x^2-24x+12，解不等式12x^2-24x+12>0得到x∈(-∞,0)和(2,+∞)。15.答案：2x-1解析：函数F(x)=∫[0,x](t^2-1)dt的原函数是F'(x)=x^2-1。所以F''(x)=2x-1。三、解答题答案及解析16.解析：（1）函数f(x)的极值点是导数为0的点。计算导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得到x=1±√3/3。计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=1+√3/3得到f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3是极小值点；代入x=1-√3/3得到f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3是极大值点。（2）函数f(x)在区间[-2,2]上的单调性可以通过导数的符号来判断。在区间[-2,1-√3/3]上，f'(x)>0，所以f(x)单调递增；在区间[1-√3/3,1+√3/3]上，f'(x)<0，所以f(x)单调递减；在区间[1+√3/3,2]上，f'(x)>0，所以f(x)单调递增。（3）若存在实数m，使得f(m)=1，即m^3-3m^2+2m=1，即m^3-3m^2+2m-1=0。这个方程的解可以通过观察或者使用数值方法来得到。通过观察可以发现m=1是一个解，所以m-1是方程的一个因式。使用多项式除法或者合成除法可以得到另一个因式m^2-2m+1=(m-1)^2。所以方程的解是m=1和m=1±。因为m=1±不在区间[-2,2]上，所以m的取值范围是m=1。17.解析：（1）函数g(x)在x=1处取得极值，说明在x=1处导数为0，即g'(1)=0。计算导数g'(x)=3x^2-2ax+b，代入x=1得到3-2a+b=0，即b=2a-3。所以a和b的值满足b=2a-3。（2）函数g(x)在区间[-1,3]上的最大值是10，说明在区间[-1,3]上存在一个点x使得g(x)=10。但是这个条件并不能确定a和b的值，因为最大值与a和b的具体数值没有直接关系。18.解析：（1）函数h(x)的导数h'(x)=e^x-2x。（2）函数h(x)在区间[0,2]上的单调性可以通过导数的符号来判断。在区间[0,1]上，h'(x)=e^x-2x，由于e^x在[0,1]上是增函数，2x在[0,1]上是增函数，且e^x在[0,1]上的取值范围是[1,e]，2x在[0,1]上的取值范围是[0,2]，所以h'(x)>0。在区间[1,2]上，h'(x)=e^x-2x，由于e^x在[1,2]上是增函数，2x在[1,2]上是增函数，且e^x在[1,2]上的取值范围是[e,e^2]，2x在[1,2]上的取值范围是[2,4]，所以h'(x)<0。所以函数h(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减。（3）若存在实数k，使得h(k)=0，即e^k-k^2=0。这个方程的解可以通过观察或者使用数值方法来得到。通过观察可以发现k=0是一个解，所以k=0是方程的一个解。其他解可以通过数值方法来得到，例如使用牛顿迭代法或者二分法。由于题目没有要求给出具体的解，所以这里不给出具体的解。19.解析：（1）函数F(x)的导数F'(x)=x^2-1。（2）函数F(x)在区间[-2,2]上的单调性可以通过导数的符号来判断。在区间[-2,-1]上，F'(x)=x^2-1>0，所以F(x)单调递增；在区间[-1,1]上，F'(x)=x^2-1<0，所以F(x)单调递减；在区间[1,2]上，F'(x)=x^2-1>0，所以F(x)单调递增。（3）函数F(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值可以通过导数的符号和端点的函数值来判断。在x=-2处，F(-2)=(-2)^2-1=3；在x=2处，F(2)=2^2-1=3；在x=-1处，F(-1)=(-1)^2-1=0；在x=1处，F(1)=1^2-1=0。所以函数F(x)在区间[-2,2]上的最大值是3，最小值是0。20.解析：（1）函数f(x)=|x-1|+|x-2|的表达式可以根据x的取值范围来分段讨论。当x<1时，f(x)=(1-x)+(2-x)=3-2x；当1≤x≤2时，f(x)=(x-1)+(2-x)=1；当x>2时，f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-3。（2）函数f(x)在区间[0,3]上的单调性可以通过导数的符号来判断。在区间[0,1]上，f'(x)=-2<0，所以f(x)单调递减；在区