结构稳定理论（第2版）课件 第8章 拱的平面内屈曲

结构稳定理论授课教师|XXX授课内容28.1引言8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲第8章拱的平面内屈曲8.1引言3拱在横向荷载作用下，当荷载达到某一临界值时，可能在荷载作用平面内发生弯曲屈曲，也可能发生弯扭屈曲。在一般情况下，拱的内力主要是轴向压力，同时也存在弯矩和剪力。当拱轴线为合理拱轴线时，三铰拱中只存在轴压力。在超静定拱中，当不考虑轴向变形时，也只有轴压力。8.1引言4拱的稳定问题比较复杂。在只有轴压力的情况下，拱的稳定性与拱轴线的形状和矢跨比有关，同时与约束情况，截面沿拱轴线变化情况等因素有关。当拱中除了轴压力外，如果还存在弯矩和剪力时，情况就更加复杂。本章只讨论在均布法向荷载作用下，等截面圆拱的平面内弯曲屈曲这类较为简单的情况。8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程5圆形轴线曲杆的位移微段的总变形(a)由切线方向位移(b)与法线方向位移(c)两部分叠加而成。(a)(b)(c)8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程6切线方向位移u产生的正应变为：相应地，引起截面A的转角变化为：8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程7法线方向位移u产生的正应变为：注意到曲率，则：相应地，引起截面A的转角变化为：8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程8正应变以伸长为正，转角以顺时针转动方向为正。在拱的稳定计算中，通常认为轴向应变可以忽略不计，即假定

。则总应变：

注意到曲率，则：截面A的转角为：8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程9一般直径较大的圆形轴线曲杆，曲率比较小，而且截面高度与曲率半径相比也比较小，可以忽略曲率的影响，认为曲率的改变量与弯矩的关系为：根据式（8-2），并考虑（8-1b）所示关系，得：把上式代入式（8-3），得：8.2圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本方程10综上，圆形轴线曲杆平面内弯曲的基本微分方程为：式中，法线方向位移以向曲杆圆心方向时为正值，弯矩M为使曲率减小时为正值。8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲11圆拱承受法向荷载q（静水压力）时，失稳前只承受轴向压力，而弯矩和剪力均为零。由平衡条件可知，拱内轴压力为：当荷载

q加大到某一临界值时，拱将发生弯曲平面内屈曲。屈曲后，拱截面上除产生轴压力外，还将产生弯矩和剪力。8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲12两铰圆拱的平面内屈曲：计算结果表明，双铰拱对称屈曲时的临界荷载远大于反对称屈曲时的临界荷载。因此，下面只讨论起拱作用的反对称屈曲情况。反对称屈曲时的平衡位形对称屈曲时的平衡位形8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲13对O点求矩建立平衡方程，得：即：取其左半部分为隔离体8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲14将式（8-6）代入式（8-4）得到屈曲时的平衡方程为：

令：则式（8-7）可写为：8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲15其通解为：由边界条件时，，得。由边界条件时，，并考虑系数A与B不可能同时为零，即得到。的最小根为，于是得到：8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲16将其代入式（8-8）中，得临界荷载为：临界轴向压力为：当

角较小时，，式（8-11）可近似地写为：8.3圆拱在均布法向荷载作用下的平面内屈曲17式中为拱轴总长度的一半。说明