2021-2025高考数学试题分类汇编：等式与不等式、基本不等式及一元二次不等式9种常见考法归类（全国版）含答案

“五年真题（202L2025）

专题03等式层不等式、基中系等W段一无二决

不等式9种考见考法忸类

五年考情-探规律

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

知识1等式与2025•北京2022•新高考全国H卷

不等式

（5年2考）考点02利用不等式求值或取值范围

2022•上海

考点03由基本不等式比较大小

2022•全国甲卷2021•浙江

考点04基本不等式求积的最大值

知识2基本不2021•新高考全国I卷

等式

考点05基本不等式求和的最小值

（5年5考）1.对于不等式的性质，主要以应用

2025•上海2024•北京2023•天津

的形式考查.

2023•新课标I卷2022•新高考全国I卷

2.关于基本不等式的考查，有两方

2022•全国甲卷2021•全国乙卷2021•上海

面，一是具有一定综合性的独立考

2021•天津

查；二是作为工具，在求最值、范

考点解不含参数的一元二次不等式

06围问题中出现.

2024•上海2023•新课标I卷2021•上海

2021•新高考全国H卷

知识3—兀一

考点07分式不等式

次不等式

2025•上海2025•全国二卷2021•上海

（5年4考）

考点08一元二次不等式在某区间上的恒成立问

题

2025•天津

知识4线性规考点09线性规划（拓展）

划（拓展，己2024•全国甲卷2023•全国甲卷2023•全国乙卷

不做要求）2022•浙江2022•全国乙卷2021•浙江

（5年4考）2021•全国乙卷

分考点-精准练

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.（2025•北京•高考真题）已知。>0力>0,则（）

A.a2+b2>2abB.—F—>—

abab

l112

C.a+b>4abD.~+T-~r^

ab^ab

2.（2022・新高考全国II卷•高考真题）若x,y满足V+y2—孙=葭则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.X2+/<2D.x2+y2>l

考点02利用不等式求值或取值范围

3.（2022・上海•高考真题）x—y<0,x+y—l>0,贝U2=%+2y的最小值是.

考点03由基本不等式比较大小

4.（2021・浙江•高考真题）已知a,7V是互不相同的锐角，则在sinacos£,sin乃cos/,sin/cosa三个值中，大

于g的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2022•全国甲卷・高考真题）已知9"=10,a=l（T—ll,b=8“—9,贝|（）

A.a>0>bB.a>b>QC.b>a>0D.b>0>a

考点04基本不等式求积的最大值

22

6.（2021.新高考全国I卷.高考真题）已知z，F,是椭圆C：二+乙=1的两个焦点，点”在C上，贝U

94

闾的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

考点05基本不等式求和的最小值

7.（2021.全国乙卷.高考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=/+2x+4B.，小回+而

,4

C.y=2x+22-xD.y=lnx-\----

Inx

8.（2021・上海•高考真题）已知函数f（x）=3，+号（a>0）的最小值为5,贝！］。=.

9.（2025•上海•IWJ考真题）设。,匕>0,〃+7=1,则bn—的最小值为______.

ba

10.（2021・天津・高考真题）若“>0">0,则工+9+。的最小值为_________.

ab

11.（2024.北京・高考真题）已知（小必），（%,%）是函数>=2'的图象上两个不同的点，则（）

A.log^±A<A±^B.logA±AA±^

22222>2

c.Iog2%；%"+%2D.log,%；%>无］+%

—.1_____1

12.（2023,天津•JWJ考真题）在VA5C中，BC=LZS4=60,AZ）=—AB,CE=—CD,记AB=a,AC=b,

用。力表示AE=；若=则4召.A尸的最大值为.

13.（2022・新高考全国1卷.高考真题）记丫钿（7的内角48,。的对边分别为0方,0,已知与二=产空

1+sinAl+cos2B

⑴若c告，求8；

（2）求《4^的最小值.

C

AT

14.（2022•全国甲卷•高考真题）已知VABC中，点。在边上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当止

AB

取得最小值时，BD=.

15.（2023•新课标I卷•高考真题）在直角坐标系xQy中，点尸到龙轴的距离等于点尸到点的距离，记

动点尸的轨迹为W.

⑴求卬的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形A3CD的周长大于34.

考点06解不含参数的一元二次不等式

16.(2024・上海•高考真题)已知xeR,则不等式*2一2苫-3<0的解集为.

17.(2023•新课标I卷•高考真题)已知集合”={-2,-1,0,1,2},={x|x2-x-6>0),则MN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

18.(2021•上海.高考真题)已知集合4=国尤2-x-2K)},B={x\x>-1},则()

A.AQBB.翻aRBC.AHB=</>D.AUB=R

19.（2021・新高考全国II卷•高考真题）记S,是公差不为0的等差数列{4}的前〃项和，若生=S5,a2a4=S4.

（1）求数列{4}的通项公式％;

（2）求使S"成立的”的最小值.

考点07分式不等式

20.（2025・上海•高考真题）不等式土二<0的解集为_______.

x-3

x—4

21.（2025•全国二卷•高考真题）不等式三一22的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<l}B.{x\x<-2]

C.{x|-2<x<l}D.{x\x>l]

九+

22.（2021•上海•高考真题）不等式2上5^<1的解集为____.

x-2

考点08一元二次不等式在某区间上的恒成立问题

23.（2025•天津・高考真题）若a,6wR,对Vxw[-2,2],均有（2a+b）尤?+法-。-1m0恒成立，则2a+6的最

小值为

考点09线性规划（拓展）（不做要求）

4x-3y-3>0

24.（2024.全国甲卷.高考真题）若羽,满足约束条件2y-2（。，贝ljz=的最小值为（）

2x+6y-9<0

3x-2y<3

25,（2023•全国甲卷・高考真题）若％,y满足约束条件'2x+3yW3,设z=3x+2y的最大值为

x+y>\

x-3y<-1

26.（2023•全国乙卷•高考真题）若x,y满足约束条件<x+2y<9,贝！|z=2尤-y的最大值为____.

3x+y>7

x-2>0,

27.（2022・浙江•高考真题）若实数x,y满足约束条件<2x+y-740,贝|z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

x+y>2,

28.（2022・全国乙卷•高考真题）若x,y满足约束条件•尤+2yW4,则z=2尤一y的最大值是（）

.”0,

A.-2B.4C.8D.12

x+l>0

29.（2021•浙江.高考真题）若实数无，y满足约束条件r-yWO,则z=的最小值是（）

2x+3y-l<0"

A.-2B.--C.--D.—

2210

"x+y>4,

30.（2021.全国乙卷.高考真题）若羽、满足约束条件<x-yW2,则z=3x+y的最小值为（）

JV3,

A.18B.10C.6D.4

31.（2023・全国乙卷・高考真题）已知/（x）=2国+卜-2|.

⑴求不等式“x）W6-x的解集；

f（x）<y

（2）在直角坐标系中，求不等式f组'匚/八所确定的平面区域的面积.

lx+y-6<0

“五年真题（202L2025）

专题03等式层不等式、基中系等W段一无二决

不等式9种考见考法忸类

五年考情-探规律

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

知识1等式与2025•北京2022•新高考全国H卷

不等式

（5年2考）考点02利用不等式求值或取值范围

2022•上海

考点03由基本不等式比较大小

2022•全国甲卷2021•浙江

考点04基本不等式求积的最大值

知识2基本不2021•新高考全国I卷

等式

考点05基本不等式求和的最小值

（5年5考）1.对于不等式的性质，主要以应用

2025•上海2024•北京2023•天津

的形式考查.

2023•新课标I卷2022•新高考全国I卷

2.关于基本不等式的考查，有两方

2022•全国甲卷2021•全国乙卷2021•上海

面，一是具有一定综合性的独立考

2021•天津

查；二是作为工具，在求最值、范

考点解不含参数的一元二次不等式

06围问题中出现.

2024•上海2023•新课标I卷2021•上海

2021•新高考全国H卷

知识3—兀一

考点07分式不等式

次不等式

2025•上海2025•全国二卷2021•上海

（5年4考）

考点08一元二次不等式在某区间上的恒成立问

题

2025•天津

知识4线性规考点09线性规划（拓展）

划（拓展，己2024•全国甲卷2023•全国甲卷2023•全国乙卷

不做要求）2022•浙江2022•全国乙卷2021•浙江

（5年4考）2021•全国乙卷

分考点-精准练

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.（2025・北京•高考真题）已知。>0,6>0,则（）

A.6Z2+Z?2>2abB.—F—>—

abab

l112

C.a+b>\[abD.~+T-~r^

abyjab

【答案】C

【分析】由基本不等式结合特例即可判断.

【详解】对于A,当〃=/?时，a2+b2=2ab^故A错误;

11_I_?I+4=c6<,__「_____I__—2o=I

对于BD,取。=此时J厂,十.11~就，

24-x-

24

—i—=2+4=6>-]=4^/5'=.—

ab5fy[ab,故BD错误；

V2X4

对于C,由基本不等式可得Q+Z;2,故C正确.

故选：C.

2.（2022.新高考全国H卷•高考真题）若x,y满足炉+V—孙=i,则（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为[等（a,biR）,由Y+y2一呼=1可变形为，（x+y）2一i=3q<3[亨

解得一24x+y42,当且仅当无=y=-l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确；

22

由尤2+产-孙=1可变形为（/+y2）-1=刈4土产,解得/+942,当且仅当x=y=±l时取等号，所以

C正确;

因为x?+;/-町=1变形可得[x-]]+：9=1,设尤-=cosO,】fy=sin。，所以

12222522111

x=cos0+-j=sm0,y=~^=smO,因止匕厂+y=cos_6+§siirO+^^sindcos。=1+方sin2。一3cos26+§

=：+£sin卜所以当户且广=_且时满足等式，但是X'+VNI不成立，所以D错误.

3316八3」33

故选：BC.

考点02利用不等式求值或取值范围

3.(2022・上海•高考真题)x-y40,x+y-l>0,贝!|z=x+2y的最小值是.

3

【答案】-/1.5

31

【分析】分析可得x+2y=5(犬+》)-,(尤-y),利用不等式的基本性质可求得z=x+2y的最小值.

.3

(m=—

/、/\/\/、m+n=l12

LiWl^x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n\x+(m-n\y,贝叫，解得<1，

\m—n=21

in=

[2

313

所以，z=x+2y^-(x+y)--(x-y)>-,

3

因此，z=x+2y的最小值是彳.

2

3

故答案为：—.

2

考点03由基本不等式比较大小

4.(2021・浙江•高考真题)已知a,是互不相同的锐角，则在sinacosQ,sin/?cos/,sin/cosa三个值中，大

于1的个数的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/3+sin尸cos/+sinycosa<-,从而可判断三个代数式不

可能均大于《，再结合特例可得三式中大于5的个数的最大值.

.22n

【详解】法1：由基本不等式有sinacos9m+cos一夕,

2

口工用-c/sin2分+cos2/sin2/+cos2cr

I可埋sm//cosy<-----------------,sinycosa<------------,

故sinacos尸+sin尸cos/+sin/cosa<—,

故sinacos/?,sin(3cosy,sin/cosa不可能均大于

口FT兀c兀兀

取a=7，B=G，Y=~

034

贝Usinacos,=；<；,sin/cosy=>；,sin/cosa=,

故三式中大于《的个数的最大值为2,

故选：C.

法2：不妨设[<分<7,则cosa>cos分>cossine<sin/?<sin

由排列不等式可得：

sinacos尸+sic/7cosy+sin/cosa<sinacos/+sincos+sinycosa,

13

而sinacosy+sin尸cos0+sin/cosa=sin(/+a)+—sin2f3<—

故sinacos/?,sin[3cos/,sin/cosa不可能均大于g.

TFrr兀c兀兀

取［=B=1

634

贝！Jsinacos尸=；<g,sin（3cos/=>^,sin/cosa=,

故三式中大于5的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注

意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

5.（2022・全国甲卷・高考真题）已知9"=10M=1（T—II,6=8"-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log910>l，再利用基本不等式，换底公式

可得10g89>〃Z,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:（指对数函数性质）

由9"=10可得机=。91。=^>1,而ig9ign<（ig9；igiij=［等］<i=（igio）2,所以卷号>悬，

即机>igii,所以q=i（r_11>10叫_11=0.

又lg81glO<fg8；gl。］1号<0g9）2,所以‘>需，g|Jlog89>m,

所以6=8'"—9<81°曲9一9=0.综上，a>O>b.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9"=10,可得机=log-。e(1,1.5).

根据。力的形式构造函数/(x)=x'"-xT(x>l),则据(尤)=侬/1-1,

令/'(无)=。，解得%=机占,由〃7=log910e(l,1.5)知受€(0.1).

fM在(1,+8)上单调递增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为/(9)=9蚓°-10=0,所以4>0〉人.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；

法二：利用。力的形式构造函数/(x)=x"'-x-l(x>l),根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该

题的最优解.

考点04基本不等式求积的最大值

22

6.(2021・新高考全国I卷•高考真题)已知耳，尸2是椭圆C：上+匕=1的两个焦点，点M在C上，则

94

|〃7讣|加闾的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到।町|+阳用=2〃=6,借助基本不等式阿司.阿闾〈幽芈71rl即

可得到答案.

【详解】由题，a2=9,b2=4,^\\MF］+\MF^=2a=6,

所以|肛口明|/阳周+阳闾］=9(当且仅当|峥|=阳闾=3时，等号成立).

I2J

故选：C.

【点睛】

考点05基本不等式求和的最小值

7.(2021•全国乙卷•高考真题)下列函数中最小值为4的是()

A.y=x2+2x+4B.y=lsinxl+|^|

,4

C.y=2V+22~XD.y=\nx+—

Inx

【答案】c

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出

8,£（不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅当x=—1时取等号，所以其最小值为3,A不符合

题意；

对于B,因为0<kinx|vi,y=\smx\+-^->2^=4,当且仅当卜in,=2时取等号，等号取不到，所以其

15111人

最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而丁>0,>=2工+227=2'+々上2"=4,当且仅当2，=2，即x=l时取

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=ln尤+/一，函数定义域为（0,1）_（L+℃）,而InxwR且InxwO,如当lnx=-l,y=-5,D不

In尤

符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的

性质即可解出.

8.（2021.上海.高考真题）己知函数〃x）=3£+/1（a>0）的最小值为5,贝匹=.

【答案】9

【分析】配方得〃“=3'+/（a>0）=3'+1+/-1,结合基本不等式即可求解

【详解】/（x）=3'+-^-（a>0）=3J+l+-^--l>2^-l=5=>a=9,当且仅当xTog,2时等号满足，

'73+173+1

故答案为：9

9.（2025•上海•高考真题）设>0,a+7=1,贝!—的最小值为_______.

ba

【答案】4

【分析】灵活利用“1”将6+,="+工］（。+2］展开利用基本不等式计算即可.

aIab）

【详解】易知b+，=（b+，］［a+，］=ab^---+2>2.ab--+2=4,

a\a人bJabVab

当且仅当H=l,即a="b=2时取得最小值.

2

故答案为：4

10.（2021•天津•高考真题）若。>。">0,则工+2+6的最小值为_________.

ab

【答案】20

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】.<2>0,b>0,

—+-^-+Z?>2./--=—+Z?>2/—=2夜,

ab\abbVAb

当且仅当且提=6,即a=b=亚时等号成立，

abb

所以工+工+8的最小值为2VL

ab

故答案为：20.

11.（2024・北京•高考真题）己知（为%），（%,%）是函数y=2"的图象上两个不同的点，则（）

A.logB.log

222222

C.log?%+尤2D.log.%>%+%

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设再<々，因为函数y=2'是增函数，所以0<2为<2也，即0<%〈%，

。为__________再+与

Xi+X2

对于选项AB：可得々十二>，21？々2=丁，即江&>2丁>0,

22

国+巧.

根据函数y=10gzX是增函数，所以log?入产>log22丁=幺产，故B正确，A错误；

对于选项D：例如玉=0,%=1，则％=1，%=2,

可得log?，；%=log?3e（0,1）,即log?%<]=X]+工2，故D错误；

对于选项C：例如再=-1,9=-2,则%=：,%=；，

可得log?吗%=log2£=log23-3e（-2,-l）,即log?再造>一3=%+%,故C错误，

282

故选：B.

12.（2023•天津他考真题）在VASC中，BC=LZ.A=60,AD=—AB,CE=—CD,AB=a,AC=b,

若BF=；BC,则AE.A尸的最大值为.

用。,人表不AE=;

13

【答案】

4224

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E为CO的中点进行求解；空2：用a,6表示出AF，结合上一空

答案，于是短工厂可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

AE+ED=AD

【详解】空1：因为E为CD的中点，贝IJED+ECUO，可得{,

AE+EC=AC

两式相加，可得到2AE=AD+AC，

EP2AE=-a+b,贝I]人石二^^+工匕；

242

1一\AF+FC=AC

空2：因为则2FB+FC=0，可得(，

3[A尸+FB=AB

得至I]AF+FC+2(AF+FB)=AC+2AB,

21

BP3AF=2a+b即

于是AE-Af=[；a+g“{ga+g“=A(2a2+5q-6+2b].

iBAB=x,AC=y,

贝uAE-AF=^{2a+5a-b+2b^=^(2x2+5xycos60+2y2)=^|^2x2+^+2/

在VABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60=x2+y2-xy=l,

于是AE.Af=4(2孙+半+21二等+21

由x?+J一孙=i和基本不等式,x2+y2-xy=1>2xy-xy=xy,

故孙41,当且仅当％=y=i取得等号，

13

贝|J%=y=l时，A£.AF有最大值二.

1113

故答案为：-a+-b；

13.（2022・新高考全国I卷・高考真题）记VABC的内角A,5,C的对边分别为〃，4c,已知-~~—=-----—

1+sinAl+cos2B

⑴若。后，求5

（2）求上三的最小值.

C

【答案】（1）工;

0

⑵40-5.

【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方

法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A+=W即可求解，方法四：根据半

角公式和两角差的正切公式化简后求解.

⑵由⑴知，C与+8,A与-23,再利用正弦定理以及二倍角公式将中化成4cosm5

然后利用基本不等式即可解出.

【详解】（1）方法一：直接法

cossin2B

-------=--------可得cosAcos2B+cosA=sin23+sinAsin2B,

1+sinAl+cos2B

则cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2B,即cos(A+2B)+cosA=sin2B,

注意到A+B=—,cos(—+B)+cos(--B)=sin2B,

333

TT1

展开可得2cos—cos5=2sinBcosB,则sin3=—,

32

又。<3<g,B=

3o

方法二：二倍角公式处理+直接法

三位cosAsin232sinBcosBsinB

I大I=­z=，

1+sinA1+cos252cosBcos3

即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC=—,

而所以B=g

方法三：导数同构法

cos|--2B

ggcosAsin23,cosA12

根据;——7=-：----。可知，1——7=-------V--------

1+sinAl+cos2B1+sinA一.兀；

1+sin——2o1

12

2

、几、COSX/八71.-sinx(l+sinx)-cosx1

设"而0(°<、)'f'M=<0,

(1+sinx)21+sinx

cos!—~2B](

则/（X）在阻J上单调递减,cosA-^/(A)=/r-2B

1+sinAl+sinf|-2Bj(2

故A+2B=g,结合A+Y，解得8=

236

方法四：恒等变换化简

A.A

cos-----sin—

cosAsin232sinBcosB

22=tanB

1+sinA1+cos252cos2BA.A

cos——i-sin—

22

1-tan—

71A

=______2=tanBotan=tanB,

1A

l+tan—

2

结合正切函数的单调性，:-g=B，则A+2B=],

结合A+B=g,解得8=9

36

TTjr

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以一<。<兀,0<3<一,

22

而sinB=-cosC=sin^C--|-^,

所以C=5+B,即有A=］_28,所以

匚口、Ia2+b2sin2A+sin2Bcos22B+1-cos2B

所以一z—=---------Z----------=---------------Z------------

c2sin2Ccos2B

(2cos2B-l)H-l-cos2B

=4COS2B+^—-5>2A/8-5=4>/2-5-

cos2BCOS2B

当且仅当cos?B时取等号，所以的最小值为40一5.

0（2。22・全国甲卷・高考真题）已知VMC中,点。在边BC上,加—。。，仞=2（0=22〉当法

取得最小值时，BD=

【答案】V3-1/-1+V3

AC2

【分析】设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出结合基本不等式即可得解.

AB2

【详解】［方法一］:余弦定理

^CD=2BD=2m>0,

222

则在AABD中，AB^BD+AD-2BD-ADcosZADB=W+4+21n,

在」ACD中，AC2=CD-+AD2-2CD-ADcosZADC=4/n2+4-4m,

4(m2+4+2m)-12(1+m)

AC24m2+4-4m,12

7=4------------------3"

所以至-m2+4+2〃Zm2+4+2m

(m+l)+-------

v7m+1

12

>4------.=4-2A/3

2A/(m+l)-^—

V7m+1

3厂

当且仅当机+1=—；即加=百-1时，等号成立,

m+1

AT

所以当而取最小值时，加地-L

故答案为：6-1.

令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

.AC1(2，T『+3_.4fj+4i_____1