2024-2025学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年广西钦州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列与20。角终边相同的角为（）

A.320°B.380°C.400°D.-310°

2.下列命题中正确的是（）

A.正四棱锥的侧面都是正三角形

B.直四棱柱是长方体

C.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥

D.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台

则s讥。+2cos8

3.已知tan。=2,=()

、cos0

A.4B.5C.6D.7

4.如图，△AB。在平面直角坐标系中的斜二测直观图是△AB'。'，其中。'4=1,0，9=¥，贝)

A.1

B.2

C.<3

D.75

5.若cos（a+TT）=%且。＜aV7,贝!Jsin6一2兀）的值是（）

A2B2C@D一四

人5%1010

6.已知平面a截球。的截面面积为16兀，点。到平面a的距离为3,则球。的体积为（）

c400c500

A.300TTB.—7TC.2007TD.—7T

7.函数/(a)=Qsinacos2—4sina+sin2ct—cos2a的最大值为()

A.<2B.275D.3

8.如图，已知四棱锥M-4BCD,底面4BCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4,E为CD的中点，则异

面直线CM与2E所成角的余弦值为()

Bi

*D・奈

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中,

9已知向量五=Q,1),b=(-1,2),则下列结论正确的是()

A.若五〃b,则久=—1B.若占1b,则％=2

C.若I初=4,贝h=2D.若,•b=3,则％=—1

10.已知在AZBC中，角a,B,C所对的边分别为a,b,c,则根据下列条件能确定C为钝角的是()

A.AC-~BC<0>1

tanA-tanB

C.A,B均为锐角，且si也4>cosBD.(a+b+c)(a+b—c)=ab

11.已知函数/(%)=sin(a)%+f)(3>0),则下列说法正确的是()

4

A.当3=1时，f(x)在(0,今上单调递增

4

B.若，(%i)—f(%2)|=2,且以一12I的最小值为"，则函数f(%)的最小正周期为兀

C.若/(%)的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则”的最小值为3

4

D.若/(%)在［0,兀］上恰有2个零点，则3的取值范围为

44

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知扇形的圆心角为？半径为2,则扇形的弧长是.

13.如图，在测量河对岸的塔高力B时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个

测量基点。与D.现测得CD=20m,乙CBD=45°,乙CDB=60°,且在点C测得

塔顶力的仰角为30。，贝IJ4B=m.

14.如图，正方体ZBCD-的棱长为2,N为名前的中点，若过冬。的平

面a〃平面CMDi，贝以截该正方体所得截面图形的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知a,0都是锐角，sina=|,cosR=等.

(1)求tcm2a的值；

(2)求sin(a-0)的值.

16.(本小题15分)

在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且bcosA+acosB=1.

⑴求c的值；

(2)已知6a=4b=3c,求△4BC的面积.

17.(本小题15分)

如图，在△力8c中，D,F分别是BC,AC的中点，AE=fAD,AB=a,AC=b.

(1)用出不表示而，AE；

(2)求证：B,E,尸三点共线；

(3)若同=2,|瓦=3,48"=60。，求存•标的值.

18.(本小题17分)

已知函数/(x)=AsinQa)x+0)(2＞0,6J＞0,\(p\＜今的部分图象如图所示.

(1)求函数/(久)的解析式；

(2)求函数人久)的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；

⑶当^6(-葭)时，方程/■(久)=2有两个不相等的实数根“%2＞且打＜久2，求sin(久2-％i)的值.

19.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC—2/iG中，D,E分别是和力Q的中点.

(1)证明：平面AC】。_L平面ACC141；

(2)若4B=2,平面4G。与平面48C的锐二面角的余弦值为竽，求该三棱柱的体积.

A

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：满足a=20°+360°fc(/cGZ)的角a与20。角终边相同，

取k=1,a=380°,其他均不符合.

故选：B.

根据终边相同的角的集合即可求解.

本题主要考查终边相同的角，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：对于选项4正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故选项A错误；

对于选项8,若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故选项B错误；

对于选项C,以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆

锥，故选项C错误；

对于选项。，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故选项。

正确.

故选：D.

由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案.

本题考查几何体的结构特征，属于基础题.

3.【答案】A

2cos。

sin9+2cos6tan0+2.

【解析】解：由已知,cose

cosOcose

COS0

故选：X.

由正切与正弦，余弦函数关系可得答案.

本题主要考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由题可得。4=1,OB=门，且乙4OB=90。,

所以48=V0A2+0B2=2.

故选：B.

OAX

根据题意，利用斜二测画法的规则，得到。A=1,OB=且NAOB=90。，结合勾股定理，即可求解.

本题主要考查平面图形的直观图，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为cos(a+兀)=$所以一cosa='可得cosa=-卷，

又因为sir?.上箸=小且加1°，》

所以如尹近=嚼，可得sin(>2兀)=$呜=嚼-

故选：C.

根据诱导公式以及二倍角公式求解，即可得到sin6-2兀)的值.

本题主要考查三角函数的诱导公式与二倍角公式等知识，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解:平面a截球。的截面为圆，设圆的半径为r,

因为平面a截球。的截面面积为16兀，

所以兀八=16兀，

解得r=4,

又点。到平面a的距离为3,

则球。的半径为R=V32+r2=V32+42=5,

所以球。的体积为^兀&=弊兀.

故选：D.

求出截面圆的半径，进而得到球。的半径，得到球。的体积.

本题考查几何体体积的计算，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：/(a)=Ssinacos2--4sina+sin2a—cos2a=4sina(2cos2-1)—cos2a

—4sinacosa—cos2a=2sin2a—cos2a=V_5sin(2a—<p),其中tcm。=

根据正弦函数的性质可知，函数的最大值，百

故选：C.

由题可将/'(a)化为VTsin(2a-0),其中=然后可得答案.

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式的应用，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：已知四棱锥M-A8CD,底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4,E为CD的中点,

如图，取4B的中点F,连接FC,FM,

因为底面4BCD是边长为2的正方形，E是CD的中点，所以CF〃/1E,且CF=2E=怖，

所以异面直线CM与4E所成的角为NFCM,

四棱锥的侧棱相等且为4,在中，由勾股定理得FM=，记，

在4MCF中，由余弦定理得cosNFCM=CF2+CM-FM2=5+勺5=咨,

2CF-CM2x<5x420

所以异面直线CM与4E所成角的余弦值为噤.

故选：D.

取4B的中点F,连接FC,FM,通过平移的方法，找出异面直线CM与力E所成角或其补角，然后解三角形

求得答案.

本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：向量2=0,1),b=(-1,2),a//b,

贝！|2x=—1今x=—小故A错误；

因五1丸则一%+2=0今％=2,故B正确；

|a|=V%2+1=V-5=/=4='=±2,故C错误；

a-b=—x+2=3=>x=—1,故0正确.

故选：BD.

对于4由向量平行坐标表示可得答案；对于8,由向量垂直坐标表示可得答案；对于C,由向量模计算公

式可得答案；对于D,由向量数量积坐标表示可得答案.

本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：••・前•就<0，.•・万・南<0,即cosC<0,.•.确定C为钝角，故A选项正确;

,।,1、ycosA-cosB、

由---；---„>1=>^―；——>1,

tanA-tanBsinA-sinB

vsinA>0,sinB>0,.,・有cos/•cosB>sinA-sinB

=cosA-cosB—sinA•sinB>0=»cos(/+8)>0=cosC<0,

即可以确定C为钝角，故8选项正确；

•••4B均为锐角，且cosB=sin©—B),根据正弦函数在(0,今上单调递增,

.•・有4>]—B=a+B>]nC<》故C选项错误；

由(a+b+c)(a+b—c)=ab=(a+6)2—c2=aba2+b2—c2=—ab,

得COsC=a2q;c2=J=_J...C=?，故。选项正确；

2ab2ab23

故选：ABD.

利用向量的数量积可判断4利用切化弦，结合余弦的两角和公式可判断8,利用诱导公式，结合正弦函数

的单调性可判断C,利用余弦定理可求角C来判断D.

本题考查了解三角形，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解:当3=1时，/(x)=sin(x+当x6(0,1)时，x+j6(?<?);

结合正弦函数的单调性，可知在(0,5上单调递增，故A正确；

若-/(%2)1=2,贝行(%1)与/(不)恰好是函数的最大值与最小值，

结合|%1-冷1的最小值为"，可知/(%)的最小正周期为2加，故5错误；

将f(%)的图象向右平移今个单位长度后，

可得-J)=sin[to(%-7)+7]=sin(3%+[-竽)的图象，

若该图象关于y轴对称，则标竿=1+时,kez,

所以3=—1—4fc/T(fcEZ),结合3>0,可得3之3,故C正确；

当％G[0㈤时，O)%+7E[J,37T+勺，

444

若/(%)在[0,初上恰有2个零点，贝吃7T<37T+£<3兀n：<3V?，故。正确.

444

故选：ACD.

根据正弦函数的单调性判断力选项的正误；根据正弦函数的最值点与周期的关系判断出B项的正误；根据函

数图象的平移变换，结合三角函数的奇偶性建立关于3的等式，从而判断出C项的正误；根据正弦函数的

零点建立关于3的不等式，解出3的取值范围，即可判断出。项的正误.

本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数图象的平移变换、三角函数的单调性与周期性等知识，属于中

档题.

12.【答案W

【解析】解：弧长为？X2=：

故答案为：会

根据弧长公式进行求解.

本题主要考查弧长公式，属于基础题.

13.【答案】

【解析】解：根据题意可知，CD=20m,/.CBD=45°,NCDB=60。，且在点C测得塔顶4的仰角为30。，

CDCB「口CDsinZ-CDB

在Vr*4BncCcDr+中t，由正弦定理，———=——-0CB=—r-,

smZ.CBDsmZ.CDBsmZ.CBD

则CB=20XS鬻。=2孚=10^m)又因在点c测得塔顶a的仰角为30。，

sin45±1

2

贝1J级=tan30°AB=CBtan30°=10<6x苧=10<2m.

CD3

故答案为：10，I.

由题及正弦定理可得CB,然后由在点C测得塔顶2的仰角为30呵得AB.

本题考查了解三角形，属于中档题.

14.【答案】2屏

【解析】解：根据题意可知，正方体ABCD的棱长为2,N为&&的中点，

如图，取BC的中点E,的中点F,连接DE,B]E,BrF,FD,

因为E,F分别为BC,以为的中点,所以FD//B1N,FDr=B±N,

所以四边形FD1NB1是平行四边形，所以FB1//D1N,

又因为DiNu平面CND[,FB]u平面所以尸色〃平面

同理81E〃平面CNDi，

又B[ECFB]=B],B[E,FB】u平面FDE%,所以平面FDEB1〃平面

即四边形FDEB]为a截正方体所得截面图形.

由正方体的棱长为2,易得四边形FDEB]是边长为"的菱形，

对角线即为正方体ABC。—4/1GA的体对角线/。=735^22=2^3,

又EF=V22+22=2/2,

所求截面的面积S=1X2-\/-3X2y/~2=2y/~6.

故答案为：2，^.

取BC的中点E,&劣的中点F,先利用面面平行判定定理证明平面FDEBi〃平面CND],得出四边形FDEB1

为a截正方体所得截面图形，易得四边形FOE%是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积.

本题考查了面面平行判定定理，属于中档题.

15.【答案】与

【解析】⑴因为a是锐角，且sina=|,所以cosa=V1-sin2a=

可得tana==p所以tan2a=-"加^_=§；

cosa4l-tanza7

(2)因为夕是锐角，且cos，=卷，所以sin/?=J1-cos2s=J)一；

可得sin(a一夕)=sinacosp—cosasin^=|xX=—番.

(1)根据同角三角函数的关系求出汝九即然后由二倍角的正切公式算出答案;

(2)根据两角差的正弦公式进行求解，可得sin(a-S)的值.

本题主要考查两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题.

16.【答案】2；

3V15

16,

【解析】(1)因为bcosZ+acosB=y,

可得sinBcosZ+sinAcosB=?,

所以sin(/+B)=sinC=—,

因为sinC>0,

解得Rl,即c=2；

(2)由(l)6a=4b=3c=6,

解得Q=l,b=5,

g

所以COSB=&丁―匕1+4-4=11

2x1x2-16f

可得收B=J1—冷=雪，

所以△ZBC的面积S=|acsinB=|x1x2x斗现=之洋，

ZZlolo

(1)由正弦定理边角互化结合题意可得答案;

□

(2)由(1)结合6a=4匕=3c,可得。=1,力=，，由余弦定理可得cosB,sinB,然后可得三角形面积.

本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于中档题.

17.【答案】AF=^b,AE=|(a+K)；

证明见解答；

2.

【解析】(1)由D,F分别是BC,4C的中点，荏=|而,

可得方=|xc=|K,

2_,2—>1_>2_>1_>_,

AE=^AD=^(AB+2硝=^AB+^(AC-AB)

1

确-+

3-

(2)证明：由题意,

1K11K13

+-

EF=AF-AE2-3-6-3-

1BF=AF-AB=^b-a=3EF,

故而，前共线，又两向量有公共点F,

故8,E,F三点共线；

⑶由同=2,\b\=3,ABAC=60°,

可得#.荏=/•停@+孙=^(a-b+b2)

11

X3X+2

6-2-

(1)根据向量的线性运算即可求解；

(2)证明三点所在的两个向量共线即可；

(3)根据数量积的运算律即可求解.

本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

18.【答案】f(x)=|sin(2x+》；

对称中心为(一3+*区0)，々eZ,对称轴方程为％="+9兀,keZ；

2/2

【解析】⑴由题意得a",周期T满足巨=号—刍解得丁=兀，

Z4o1Z

2Q

所以了7r=",解得3=2,/(%)=-sin(2x+^),

当久=看时，函数有最大值，可得，+9=3+2/c7i,/cEZ,

126Z

结合|9]<]取k=0得0=或所以/(X)=5sin(2支+9；

(2)令2久+与=6Z,解得x=—名+9兀/€Z,

故f(x)图象的对称中心为(一，+0),k6Z,

令2久+亨=1+k兀,kG.Z,解得久=专+gk兀，kEZ)

故f(x)图象的对称轴方程为X=^+1/C7T,fcez；

(3)由x€(—看,》可得2x+9e(0,兀),

令t=2x+g,te(0,兀)，由|si?it=T，可得sint=g,

结合题意得sim；=g在te(0,兀)上有两个不相等的实数根t1、t2,

、7T11

=71

满足0<t]<5<巧<兀，且L+h>sig=-,sint2=

x

因此12=兀一11,t]=2%1+=2—2X2+?解得—11=2%2+与一(2%1+5)=2(%2—l)，

171

所以sin。？—%i)=sin^^—sin，一口—cost±=J1-sin2tl=

(1)根据最大值求出振幅，根据周期算出3