2025初升高数学专项提升：基本不等式（预备知识）解析版

专题07基本不等式

1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“，”取等号的

条件是：当且仅当这两个数相等

2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力

3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题

知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式：Va>03>0,a+622而，（当且仅当a=6时，取“=”号）其中而叫做正数。，〃的

几何平均数；字叫做正数匕的算数平均数.

2

如果Va/eR,有a?+b222ab（当且仅当a=b时，取“=”号）

特别的，如果。>0力>0,用历分别代替代入"+b222az7,可得：a+bN2寂,当且仅当

a=6时，"=”号成立.

知识点二：利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积孙等于定值P,那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2"；

V2

②已知x,y是正数，如果和％+y等于定值s,那么当且仅当％=y时，积孙有最大值?一；

4

知识点三：基本不等式链

2//a+b/fa'+b~

（其中。>0,b>0当且仅当a=b时，取“=”号）

ab

知识点四：三个正数的基本不等式

如果a>0,b>0,c>0,那么"匕加泥（当且仅当a=Z?=c时，取“=”号）

3

对点集训

对点集训一：对基本不等式的理解

典型例题

2

例题1.（24-25高一上•新疆吐鲁番•期末）已知实数。＞0,则〃+4+3的最小值是（

a

A.3A/2+3B.2A/2+3C.6D.5

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【详解】因为。＞0,

所以。+2+3士2/02+3=2忘+3,

aVa

当且仅当〃:―，即〃=血，

a

9

所以〃+4+3的最小值是2近+3.

a

故选：B.

X++的最大值为

例题2.（2024高三・全国・专题练习）当时，则函数y

【答案】-|/-2.5

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据基本不等式可得最值.

3

【详解】由x＜一,贝1|2%—3＜0,3-2x＞0,

2

.8

贝ni！lyux+T；；--

2%—3

3

=—（2x—3）H----+—

2V72x-32

（）3

=--3-2x+—^―+—

2V73-2%2

<,J1（3-2X）.IA-35

2-i—二—

22

当且仅当一晨心,即时等号成立,

即最大值为-

故答案为:-|

精练

1.（2025高三,全国・专题练习）函数y=.x（3-2力的最大值为（）

9八9-9

A.3B.-C.—D.—

428

【答案】D

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】根据基本不等式可得最值.

31cAc、1/2x+3-2尤Y9

【详解】当。<元<5时，^=x（3-2x）=—•2"-2力312J=r

当且仅当2x=3-2x,即1=2时等号成立9

4

3

当兀<0或％2万时，y40恒成立，

综上所述y=x（3-2x）的最大值为三,

8

故选：D.

d+士的最小值为______.

2.（24-25高一下•广西南宁•阶段练习）：

X

【答案】2

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求出最小值.

【详解】依题意，%2>0,则尤2+±22、J「一=2,当且仅当入=±1时取等号,

xVx

所以Y+与的最小值为2.

X

故答案为：2

3.（24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中）若0<x<2,则3X（2T）的最大值为

【答案】3

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【详解】因为0<x<2,所以2-x>0,

所以3x（2T43,「尸］=3,

当且仅当x=2-x,即无=1时，取等号,

所以3x（2-”的最大值为3.

故答案为：3.

对点集训二：利用基本不等式求最值

角度1：和为定值求积的最值

典型例题

例题1.（24-25高一上•河南郑州•期末）已知。>0,6>0,且34+76=10,则油的最大值为.

【答案】||/修

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值.

【详解】由基本不等式可得3a+76=101同即abV?,

当且仅当6=5热5时等号成立，故而的最大值为?95，

故答案为：宗25

例题2.（24-25高一上•新疆省直辖县级单位•阶段练习）若x>0,y>0,且x+y=20,则书，的最大值

是•

【答案】100

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，尤>0,y>0,孙V（无;=100>

当且仅当尤=y=10时等号成立.

故答案为：100

精练

1.（24-25高一上•陕西汉中•期末）若。>0,万>0,且。+6=3,贝（1（）

33

A.ab有最小值为彳B.必有最大值为二

22

9a

C.仍有最小值为丁D.必有最大值为了

44

【答案】D

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】根据基本不等式，可得答案.

【详解】由题意可得a+622a，当且仅当。=6时取等号，解得OVabwg.

4

故选：D.

2.（2025高三上•广东•学业考试）已知x,y>0,且2x+y=4,则移的最大值为（）

A.20B.2C.472D.4

【答案】B

【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【详解】因为羽丁>0,所以2x+y=4»2j2xxy=20+丙^,可得孙42,

当2尤=、且2工+丫=4时，即x=l,y=2时等号成立，

所以孙的最大值为2.

故选：B.

3.（2024高三•全国•专题练习）已知“>0/>0且2a+56=10,则必的最大值为（）

35

A.2B.5C.-D.-

22

【答案】D

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.

【详解】由。>0/>0,得10=2〃+5叱242。・5万，则当且仅当。=1/=1时取等号，

所以当。=±。=1时，必取得最大值为"

22

故选：D

角度2:积为定值求和的最值

典型例题

例题1.（24-25高三上•广东深圳•期末）已知。>0,6>0,。+6=2刈，则a+6的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案.

【详解】依题意，a+b=2ab<2x[——J,

即(a+b)2—2(a+b)=(a+h)(a+b—2)>0,

由于a+Z?>0,所以a+b—2之0,〃+Z?N2,

当且仅当Q=Z?=1时等号成立，所以4+Z?的最小值为2.

故选：B

2

例题2.(24-25高一上•北京延庆・期末)已知％<0,则y=l+2x+—的最大值为，当且仅当户时,

等号成立.

【答案】-3-1

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值.

21

【详解】y=l+2x+『I-2](r)+西卜I-2、2=-3,

当且仅当(-%)2=1即x=T时等号成立，

2

故y=l+2x+—的最大值为-3,此时x=-1,

x

故答案为=-3,-1.

精练

1.(24-25高一上•北京东城•阶段练习)若v=x-2+—尤>2)在％="处取得最小值，贝!|〃=()

x-2

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】B

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解.

【详解】由%>2,得％—2>0,贝IJ/(x)=x—2+'z2j(x—2>,=2,

x-2Vx-2

当且仅当尤-2=」，即x=3时取等号，

x-2

所以当尤=3时，/(%)取得最小值2,因此〃=3.

故选：B

4

2.(24-25高二上•广东广州•阶段练习)已知%>0,贝U2-%—-()

A.有最大值2B.有最小值-2

C.有最大值-2D.有最小值2

【答案】C

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可.

【详解】因为x>0,贝Ij2-x—^=2-—）<2—2Jx,—=—2,

4

当且仅当了=2,即x=2时，等号成立，

x

4

所以2-X,有最大值_2.

x

故选：C.

4

3.（23-24高二上•云南昭通•开学考试）已知x>0,贝!|x+—+1的最小值为.

【答案】5

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】利用基本不等式求和的最小值即可.

【详解】由x>0可知，利用基本不等式可得X+3+122、Q+1=5,

xVx

当且仅当尤=2时，等号成立，

4

即x+—+1的最小值为5.

x

故答案为：5

角度3:常数代换法

典型例题

14

例题1.（24-25高一上•广东广州•期中）已知正数羽丁满足x+y=l,则一+一的最小值为（）

xy

149

A.5B.—C.-D.9

32

【答案】D

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式“1”的代换求解即可.

【详解】因为，+±=］，+3］（彳+丫）=5+2+”25+2］^^=9,

xyyxyJxyyxy

当且仅当上v=一4x，即11=y0时等号成立,

Xy33

14

所以一+一的最小值为9.

故选：D.

916

例题2.（24-25高三上上海阶段练习）已知羽,均为正实数且x+y=l,则一+一的最小值为

••"y

【答案】49

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.

【详解】因为x+y=i,

m、1916916/\9y16x__

所以一+—=—+—(x+y)=---1-----F25,

%yx%y

因为等詈2

=24,

—=正时取得等号，即3y=4x,

当且仅当

xy

3

x=­

3y=4x-7

又因为尤+y=i,所以联立…，解得

4，

y二一

7

16916(%+))=力+1^+25249,

所以一+—=—+——

%y%V

3

x——

:时，有最小值，最小值为49,

所以当

y=-

7

故答案为：49.

精练

且x+4y=l,则,+工的最小值为（）

1.（24-25高一上•上海•期末）设%»£（0,口）,

xy

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解.

【详解】由于苍y£(。,+°°),故—।—=|—I—](x+4y)=5d——H—>5+2=9,

xyyxy)xy\xy

当且仅当曳=土即>=:时取等号，

Xy63

故选：D

41

2.（24-25高一上•内蒙古呼伦贝尔・期末）若正数。涉满足〃+28=2,则？+；的最小值为（）

ab

[53

A.—B.3+2\/2C.6D.—FA/2

22

【答案】B

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案.

【详解】由a+2匕=2得《+6=1,故±+：=]3+：][§+，=3+9+423+2近，

2ab\ab）alb

当且仅当竺=9，即a=2同=4-2拒时，等号成立，

a2b

41

所以-+7的最小值为3+2忘.

ab

故选：B.

41

3.（24-25高一上・江西•阶段练习）已知/+/=5,则与+=的最小值为____1

ab

【答案】|/1,8

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可.

【详解】因为所以：=

/+/=5,+b2

当且仅当*=3

BP2b2=a29又因为/+/=5,

所以当6=¥时，取得最小值3

9

故答案为：j.

角度4:凑配法

典型例题

例题1.（24-25高一下•湖北黄冈,阶段练习）已知x«-2,2）,则*+x的最大值为（）

A.2B.-4C.-2D.4

【答案】C

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】先把负数转化为正数，再应用基本不等式计算求解即可.

【详解】由题意得x-2<0,贝11^^+尤=-----2+x+2=-（^—+2-x]+2<-2j^—-（2-x）+2=-2,

x-22-x（2-x）\2-x'7

4

当且仅当/-=2-无，即x=0时，等号成立.

2-x

4

故+x的最大值为-2.

x-2

故选:C.

4

例题2.（24-25高一下•贵州黔南•阶段练习）已知x>2,那么函数、='；+》的最小值是_______.

x-2

【答案】6

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】由基本不等式即可求.

【详解】由于x>2,所以x-2>0,故>=士+A2+2N2JW(A2)+2=6

4

当且仅当一-=x-2,即x=4时等号成立,

x-2

故答案为：6

精练

1.（2。25.河北石家庄一模）已知四。,4）,贝小?三的最小值为（）

【答案】D

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用基本不等式来求得正确答案.

【详解】xe(O,4),-xe(^4.,O),4-xe(O,4),

116

/(x)=—+------

x4-xE卜+j)

4—工+16%、111rc14—x16x25

>-17+2J------x-------

x4-x41Vx4-x4

当且仅当一时等号成立

故选：D

2.（2025高三・全国・专题练习）已知0<x<2,求的最大值为（）

立

1也1

ABCD

--

2244

【知识点】基本不等式求积的最大值

【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解.

X

【详解】因为。。<2,所以一5>°.

所以

当且仅当f=lg即I时等号成立，

因此

故选：B.

3.（24-25高三下广东深圳•阶段练习）若x>3,贝!|2-尤-一匚的最大值为________.

x-3

【答案】-3

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据基本（均值）不等式求和的最小值即可.

【详解】因为2*3=一（>3）一—一1一（>3）+占-1

x>3,

由基本不等式得（尸3）+，22，-3）'=2,当且仅当即x=4时，等号成立.

x3\x3x3

故2—x----^二一(X-3)H——-1<-2-1=-3.

故答案为：-3

角度5:二次与二次（或一次）商式

典型例题

例题1.（23-24高一•全国•课后作业）已知x2则/0）=匚2的最小值为

22x-4--------

【答案】1

【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值

【解析】将函数解析式化简后，利用基本不等式求得函数的最小值.

【详解】/⑺=A4彳：5=（：；2）：1=1-2）+4]..1.当且仅当尤-2=工，即x=3时等号成立.

2x-42（x-2）2|_x-2Jx-2

故答案为：1

【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

例题2.（24-25高一上•上海,开学考试）若x>-l,贝|J2:+4x+4的最小值为____.

X+1

【答案】4

【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值

【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.

【详解】当犬〉一1时，x+l>0,

jjiy+A-x+42(x+11+2

=2(X+1)+_|_>2^2(X+1).-1]=4,

x+1x+1

7

当且仅当2（了+1）=U，即x=0时取等号,

所以至±竺±£的最小值为4.

X+1

故答案为：4

精练

1.（23-24高二上•云南昆明・）函数〃x）=：_；+4的值域是.

【答案】（—,-5]U[3,4W）

【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值

【解析】将〃x）化简可得〃x）=x+d_l,然后讨论%>0和％<0时，利用基本不等式求最值即可求解.

X

【详解】f（x）=x2~x+4=x+--l,

XX

4I4

当无>。时/（X）—x~\---122J%x1—3f

当尤<0时，（一%）+

所以〃”=一（—%）+—-1<-4-1=-5

所以函数的值域是（F,-5]U[3,W）,

故答案为：（3,_5]U[3,+a））

【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件,

再利用基本不等式求最值，可得值域.

2.（23-24高一上•贵州贵阳•阶段练习）已知x>-l,求y=的最小值

【答案】6

【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值

【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解.

【详解】当x>-l时，x+l>0,

X2+2X+10_(x+l)2+9(1+1)•-=6,

=X+1+9

9

当且仅当1+1=仁，即x=2时取等号,

所以y=『+2x+10的最小值为6

3.（23-24高一上•江苏淮安•开学考试）（1）已知x>5,求士+工的最小值；

（2）已知x<2，求4尤+—--的最大值；

44x-5

【答案】（1）9;（2）3.

【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值

【分析】（1）由「4—x=--4--Fx-5+5,结合基本不等式即可求解；

x-5x-5

（2）由4尤+^^=4X一5+^~^+5=5—[（5-4尤）+—,结合基本不等式即可求解.

4x-54x-55-4x

【详解】（1）由x-5>0,贝+x-5+522）^-・（尤-5）+5=9,

x-5Vx-5

4

当且仅当一-=x-5=>%=7时等号成立，故目标式最小值为9.

（2）由5-4x>0,贝lj4x-5+—^-+5=5—[（5-4x）+-^—]V5—2」（5—4尤）•一—=3,

4x-55-4xv5-4x

当且仅当4龙-5=：'nx=1时等号成立，故目标式最大值为3.

4x-5

对点集训三：基本不等式在实际中的应用

典型例题

例题1.（24-25高一上•海南僧州•期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南僧州汽车运输公司购

买了一批电动汽车投入运营.根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润y（单位：10万元）与营运

年数x（xeN*）为二次函数的关系（如图），其中（6,11）为二次函数的顶点坐标.

Q）在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数x（xeN*）的函数关系；

（2）当每辆电动汽车营运年数为多少时，僧州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多

少？

【答案】Q）y=-（尤-6）?+11,（尤©N*）

（2）5,2

【知识点】求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值、利用二次函数模型解决实际问题、基本（均

值）不等式的应用

【分析】（1）根据图象即可求解；

（2）由基本不等式求解上的最大值即可.

X

【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为（6,11）,过点（4,7）,开口向下，

设二次函数的解析式为y=«（x-6）2+ll（a<0）,

所以7=。（4-6）2+11,解得a=—l,

所以y=_（x_6y+ll,（xeN*）

（2）由（1）,得营运的年平均利润2==V12-2后=2,

XXVx）

当且仅当x=325,即x=5时取等号.最大值为2.

X

例题2.（24-25高一上•内蒙古赤峰•期末）“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果

飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在AACD,AABD,

NBDE.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知AC=BE,ZACB=ZAEB=90。，C4+C3=4,设3C=x,

（单位:km）

（1）请用x表示CO;

（2）当x取何值时，AACD的面积最大，并求最大值.

Q

【答案】（1）C£>=4—（0<x<4）

x

（2）当x=2后时，AACD的面积最大，最大值为（12-8&）km

【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用

【分析】⑴利用勾股定理有（彳-。。）2=82+（4一尤）2解出即可；

（2）结合基本不等式表示出三角形的面积求出最值即可.

【详解】（1）因为ZAC8=/AE3=90°,AC=3E=4—5C=4—x,

所以RtAACD=RIBBEDnCD=DE,

在RtABDE中，BEr^ED2+EB2,

所以（x—CD）?=CD?+（4-切2,

Q

整理得CO=4--（0<x<4）.

（2）由（1）得AACD的面积为

\ACD=|AC-CD=1（4-X）^4--^=12-^2X+—^<12-2^2%--=12-872,

当且仅当2无=3，即尤=2夜时等号成立，

X

所以当x=20时，A&CD的面积最大，最大值为（12-80）km.

精练

1.（24-25高一上•吉林长春•阶段练习）如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围

成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.

I,J

[II.,I.I,II,II.III,I,II,II_I.III

tI

y

1_______________

<--------X-------->

（1）若育苗区面积为8平方米，则X,y为何值时，所用篱笆总长最小；

（2）若使用的篱笆总长为10米，求生土上的最小值.

孙

【答案】（1）育苗区的长为4m,宽为2m；

（2）—

10

【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本（均值）不等式的应用

【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值.

（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【详解】（1）依题意，xy=8,所用篱笆总长为x+2y,而％+2丫22班药=8,

当且仅当x=2y,即x=4,>=2时取等号，

所以育苗区的长为4m,宽为2m时，所用篱笆总长最小.

（2）依题意，x+2y=10,

2」+2」（1+2）（尤+2日」（5+幺+玛」（5+2、尸）=2,

当且仅当出=2，即x=y=W时取等号，

xy3

所以生土2的最小值t

孙10

2.（24-25高一上•河北张家口•阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在

足浴盆右侧离中心x（O<x<16）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭

氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与炉成反比，

比例系数为2;对右脚的干扰度与500-d成反比，比例系数为％,且当天=5时，对左脚和右脚的干扰度之

和为2

95

（D求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和）关于x的表达式；

（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时尤的值.

232

【答案】（l）y=—+~o»0<%<16；

x500-x

（2）当x=10时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为[.

【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、建立拟合函数模型解决实际问题

【分析】（1）根据条件列出函数关系式，再代入数值求左，即可求解；

（2）利用基本不等式求最值.

7k

【详解】（1）由题意可知y-—--------，0<%<16*

x500一x

因为尤=5时，尸1?4，所以（2+联左=］14，解得：%=32,

232

所以0<尤<16；

（2）因为0<x<16,所以d>0,500-X2>0,

'=1+50；3=+50；二2］［无2+（500―尤2/

32f]>_LJ+22仰03）32厂

1

500-%2-500V尤2500-%210

，I）

当2（500一厂）=32Y即尤=j。时等号成立,

%2500-x2

所以当x=10时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值为乙.

3.（24-25高一上•山东济南•阶段练习）已知A、3为东西方向的海岸线上相距12km的两地（5在A的东

侧），C是A、3之间距A地3km处的一地，在C地正南方向3km处有一海岛尸，由海岛尸开往海岸的小

船以10km/h的速度按直线方向航行.

（1）某人在海岛P上乘小船在距C地正东方向4km处的D地登岸，登岸后以5km/h的速度向东步行到B地,

求此人从海岛尸到达2地的时间；

（2）一快递员以vkm/h的速度从A地向B地骑行，同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C、

3之间的E地，且距C地xkm（O<x<9）,求快递员的速度丫的最大值.

【答案】（l）l.5h

（2）10V2km/h

【知识点】基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题

【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间；

（2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值.

【详解】（1）如下图所示：

由题意可得AC=3km,PC=3km,CD=4km,BD=9-4=5km,PCVCD,

由勾股定理可得PD=VPC2+CD2=V32+42=5km>

因此，此人从海岛尸到达3地的时间为"等+?='+1=1.511;

（2）如下图所示：AC=3km,PC=3km,CE=%km,PC±CE,

由勾股定理可得尸E=J尸02+CE2=,9+/（站）,

所以，v<loV2（km/h）,

9

当且仅当x==（0<x<9）时，即当a=3时，等号成立,

X

因此，快递员的速度V的最大值为loVIkm/h.

对点集训四：与基本不等式有关的恒成立问题

典型例题

21

例题1.（24-25高一上•福建福州•阶段练习）已知实数x,y>0,且一+—=1,若2x+y>/-8加恒成立,

xy

则实数"2的取值范围为（）

A.{m|-1</?!<9}B.{m\-9<m<Y\C.[m\-l<m<9]D.{m\m<-\^m>9]

【答案】A

【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题

【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得2x+y的最小值，进而转化问题为9>m2-8m9解不等式即可

求解.

21

【详解】由一+—=1,x,y>0,

xy

则2x+y=（2x+y）仔+U卫+a+522户凡5=9,

当且仅当空=生，即％=y=3时等号成立，

xy

要使2%+>>加2_8根恒成立，贝1」9>加2一8加，

解得-lvmv9,即实数加的取值范围为{切-1<根<9}.

故选：A.

例题2.（24-25高一上,河南潦河・期末）已知%>0,不等式蛆+1〉。恒成立，则实数加的取值范围

是■

【答案】m>-2

【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题

【分析】由题意可得对x>0恒成立，由基本不等式求得y=的最大值即可.

XX

【详解】由尤>0,不等式/+〃）％+1>0恒成立，可得〃?>-尤-工对尤>。恒成立，

X

令一L一"廿山二一2,当且仅当尤=工，即x=l时取等号，

XyxjVXX

所以相>-2,所以用〉-2.

故答案为:m>-2.

精练

、112

1.（24-25高一上•山东济宁•阶段练习）设。<根<：,若上+左恒成立，则发的最大值为（）

2m1—2m

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题

121

【分析】只需由基本不等式求出机（1-2加）的最大值，即7+匚工£=证询的最小值即可.

【详解】由于0<〃?<L则得到［2词1一2加）41（也士0二网〕=-（当且仅当2〃?=1一2相，即加=工时,

22v2I2J84

取等号）；

121斗=8

所以----k

Jl-2m

8

121

又由丁FT赤为恒成立，故心8,则无的最大值为&

故选：D.

2TYI

2.（23-24高一下•河北保定•期末）已知机>0,孙>0,当x+y=2时，不等式一+―24恒成立，则机的

xy

取值范围是

A.m>y/lB.m>2C.m<\［2D.m<2

【答案】B

【知识点】基本不等式的恒成立问题

2H21

【分析】根据x+y=2为定值，那么丁］24乘以1x+y）后值不变，由基本不等式可消去x,y后，对得

到的不等式因式分解，即可解得m的值.

【详解】因为加>0,xy>0,x+y=2,

+根+2）.因为不等式1+