2025初升高数学专项提升：幂函数（预备知识）原卷版

专题13幕函数

预习目标

1、通过具体实例，了解塞函数的定义，会画丁=%，>=/,y=x3,>=尤。，>五个塞函数的图象,

理解它们的性质;

2、通过对募函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法.

/--------------[HHHK-

（新知速通J

知识点一：暴函数的概念

1、定义：一般地，函数>=/叫做嘉函数，其中％是自变量，a是常数.

2、塞函数的特征

①>中V前的系数为“1”

②>=X。中X。的底数是单个的自变量“x”

③丁二丁中a是常数

知识点二：塞函数的图象与性质

1、五个嘉函数的图象(记忆五个塞函数的图象)

当。=1,2,3,1,-1时，我们得到五个塞函数：

2

23l

/(X)=X；/(X)=X；f(x)=X;/(x)=x2；f(x)=x~

2、五个嘉函数的性质

2

/(X)=X/(x)=x2/(X)=X3/(X)=x2/(X)=/

定义域RRR[0,+8)(一8,0)(0,+co)

值域R[0,+oo)R[0,+co)(-8,0)(0,+co)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数

在(—8,0)上

在R上单单调递减在R上单调在［0,+8)在(-8,0)上单调递减

单调性

调递增在(0,+co)单递增单调递增在(0,+8)上单调递减

调递增

定点(1,1)

3、拓展：

①/(幻=V，当。＞0时，/。)=产在(0,+8)单调递增；

②/(幻=V，当。＜0时，/(©=产在(0,+8)单调递减.

对点集训一：求募函数的值

典型例题

例题1.(24-25高一下•辽宁抚顺•开学考试)若函数〃元)是幕函数，且〃9)=3〃1),则/(36)=()

A.4B.5C.6D.7

例题2.(24-25高一上•重庆•期末)已知骞函数y=的图象过点(9,3),则/(4)=()

A.2B.8C.72D.16

精练

1.(24-25高一上•云南楚雄•期末)已知幕函数八尤)=尤"满足〃9)=3/(1),贝IJ/(16)=()

A.2B.4C.8D.16

2.(24-25高一下•安徽马鞍山•开学考试)已知幕函数/⑺717的图象过点(亚,20),则/(-2)=.

3.(24-25高一上•广西柳州•期末)点A(4,2)在靠函数八”的图象上，贝IJ/(〃9))=.

对点集训二：求塞函数的解析式

典型例题

例题1.（24-25高一上•广西百色•期末）已知幕函数.v=/（x）的图象过点（2,应），则该函数的解析式为（）

.1二

23

A.y=^B.y=xC._r2D.y=x

Jy一4J

例题2.（24-25高三上•江苏常州•期末）已知幕函数f（x）满足以下两个条件：①是奇函数，②在（0,+8）上

单调递减.请写出符合要求的的一个解析式.

精练

1.（24-25高一上•安徽•期中）已知幕函数Ax）的图象过点（8,4）,则其解析式〃x）=.

2.（24-25高一上•青海西宁•期中）已知幕函数〃%）=（加-5〃2+7*用，，"eR且为偶函数，则

的解析式.

3.（24-25高一上•浙江温州•期中）已知帚函数的图像经过第二象限，且在区间（0,+“）上单调递减,

则一个符合要求的f（x）=.

对点集训三：塞函数的图象问题

典型例题

例题1.（24-25高一上•浙江杭州•期末）如图所示的塞函数图象对应的解析式可能为（）

例题2.（24-25高一上•辽宁•期末）如图，①②③④对应四个嘉函数的图象，则①对应的骞函数可以是（）

精练

1.（24-25高一上•湖北武汉•阶段练习）图中C-C2SG为三个毒函数y=在第一象限内的图象，则指

C.,—1,3D.—1,,3

2

2.（24-25高一上•云南昆明•阶段练习）函数y=的大致图象是（）

3.（24-25高一上•贵州黔南•期末）已知募函数y=/（x）的图象过点

5*

（1）求函数“X）的解析式，并画出其图象；

（2）判断函数y=〃x）的单调性，并用定义法证明.

对点集训四：塞函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（多选）（2025高三•全国•专题练习）以下关于幕函数/（x）=xa（aeR）图像的说法，正确的有（

A.〃x）的图像一定过原点B./⑺的图像一定过点（U）

C.7（尤）的图像可能经过第三象限D./（X）的图像可能经过第四象限

例题2.（23-24高一上•四川凉山•期末）函数/（x）=（3x-2）"+2的图象恒过点.

精练

1.（23-24高一上•海南•阶段练习）下列哥函数中，其图象关于y轴对称且过点（0,0）、（1,1）的是（

J.21

A._2B.y=x4C.y=xD.-3

y-Av/"y-vA

2.（24-25高一上•上海,期中）函数y=/+l（a是有理数）的图象过一定点P,则尸的坐标为

3.（24-25高三上•黑龙江伊春•开学考试）已知〃x）为帚函数，加为常数，且机＞1,则函数g（x）=f（x）+mj

的图象经过的定点坐标为（）

A.（1,1）B.（1,2）C.（-1,1）D.（-1,2）

对点集训五：幕函数的单调性及其应用

典型例题

例题1.（24-25高一上•湖北•期末）已知幕函数的图象过点（2,若/（3-2㈤＜1,则实数机的取

值范围为（）

A-（fl）B.[1,T]

1

例题2.（24-25高一下•广东,阶段练习）已知幕函数〃力=Q"+勾尤。在定义域内单调递增，贝IJ

a—.

精练

1.（23-24高一上•云南昭通•期中）使帚函数y=为偶函数，且在（0,+8）上是减函数的a值为（）

A.-1B.；C.-2D.2

2.（24-25高一上•江苏无锡•期末）已知骞函数“幻=--2（%eN）的图象关于原点对称，且在（0,+⑹上

单调递减，若号，则实数。的取值范围是.

3.（24-25高一上•甘肃平凉•期末）已知募函数/（无）的图象经过点（16,4）,贝IJ不等式/（d-x+2）＞2的解

集为

对点集训六：塞函数的奇偶性

典型例题

例题1.(24-25高一上•浙江•期中)已知幕函数,y(x)=(-2M+m+2卜曲为偶函数，则实数加的值为()

A.3B.--C.1D.-上或1

222

例题2.(24-25高一上・甘肃兰州•阶段练习)已知妻函数“尤)=(苏+3〃?+3)/1为偶函数.

(1)求〃x)的解析式；

(2)若求实数"的取值范围.

精练

1.(24-25高一上•山东淄博•期中)下列函数中，既是偶函数，又在(0,+")上单调递减的函数是()

A.y--B.y=—C.y=D.y=y/x

X%

2.(24-25高一上•新疆•期中)已知函数〃X)=/+M-2〃L3,则“m=3”是“/(x)是奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.(24-25高一上•河北秦皇岛•期末)已知哥函数“%)="—为偶函数.

(1)求"?的值；

(2)若函数g(x)=〃x)-(a-l)x+l在区间上单调，求实数。的取值范围.

/------[HHHK.

(基础通关J

一、单选题

1.(24-25高一上•上海长宁•期末)如图是4个帚函数在第一象限内的图像，则()

B・b<a<c<d

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

2.(24-25高三下•上海,阶段练习)幕函数y=x"在(0,+8)上是严格增函数，且经过(-1,1),则a的值可能

是()

23

A.-2B.3C.-D.-

32

3.(24-25高一上•辽宁沈阳,阶段练习)累函数尸(苏-m-在(0,+句上为减函数，则实数，"的值

为()

A.2或-1B.0C.1D.2

4.(24-25高一下•北京•开学考试)下列函数中，是奇函数且在区间(0,+")上单调递增的是()

A./(%)=|x|B.f(x)=x2C./(x)=：D.f(x)=%3

5.(24-25高一下■贵州遵义■阶段练习)已知函数/(x)=Y+x,f(m2-2m+1)+f(-m-5)>0,则m的

取值范围是()

A.(-8,-1)-(4,+8)B.(-1,4)C.(-8,-2)u(3,+8)D.(-2,3)

2

6.(24-25高一下•河南郑州•开学考试)已知左cZ,若幕函数)=/皿-3的图象关于)，轴对称，且与x轴

及y轴均无交点，贝豚的值为.

7.(2025高三•全国•专题练习)已知哥函数/(》)=(疗-5m+5)尤t是R上的偶函数，且函数

g(x)=/(x)-(26)x在区间［1,3］上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,4)B.(-co,4］C.［6,+oo)D.(-<»,4)U［6,+oo)

8.(24-25高一上•云南昭通•期中)已知骞函数/(%)=(苏-3帆+3卜"'是R上的偶函数，且函数

g(x)=/(x)-2以在区间［1,3］上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.[3,+co)B.(-co,l]C.(-<»,!)D.(-(»,l]u[3,+oo)

二、多选题

9.(24-25高一下,江西南昌•阶段练习)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=x2-lB.y=-|x|-2

C.y=^|x|D.y=x+二

10.(24-25高三下•湖南长沙•开学考试)下列函数在区间(0,+/)上单调递增且图象关于y轴对称的是()

A.y(x)=x3B.f[x)-x2C.f[x)-x2D./(x)=|x|

三、填空题

11.(24-25高一上•安徽合肥•期末)若幕函数〃x)=(疗-3加+3)”一"1,且在X«0,M)上是增函数，则

实数"1=.

12.(2025•江西•一模)已知幕函数/⑺=(/-6〃+9卜"一3在(0,+⑹上单调递增，若正数a、匕满足纭+46=〃,

则34+：3的最小值为__________.

ab

四、解答题

13.(24-25高一上•河南许昌•期末)已知函数/(x)=(3疗-8〃…2)x'"(meR)为帚函数，且/(元)在(0,+⑹上

单调递增.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若/(〃+4)+/(-/+°_1)<0,求实数。的取值范围.

14.(24-25高一上•陕西西安•期末)已知募函数〃x)=(病-2〃L2)y"(〃7wR)在区间(0,+巧上单调递增.

(1)求〃x)的解析式；

(2)若1。2一6°+6)<”1),求实数a的取值范围.

1z、

15.（24-25高一上•广东佛山•阶段练习）已知帚函数8（尤）=（1_加+1）尤%在区间（0,+8）上单调递增，定

义域为R的奇函数“X）满足元＞0时，〃x）=g（x）+2.

（1）求/（x）的解析式；

（2）若对于任意实数/,都有/（产-2f）+/（2产-左）＞0恒成立，求实数上的取值范围.

/--------------[HHHK.

（拓展提优J

1