空间向量与立体几何章末小结

章末小结选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》知识网络知识梳理——1.空间向量相关概念

知识梳理——1.空间向量相关概念9.共线(平行)向量：(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量；(定义2)若干方向相同或相反的空间向量；

11.共面向量：平行于同一个平面的向量.②任意两个空间向量必共面.③任意三个空间向量可能共面，也可能不共面.注：①共面向量所在直线可能平行、重合、相交或异面.知识梳理——1.空间向量相关概念12.直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．13.平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0知识梳理——1.空间向量相关概念长度比+方向14.投影向量：知识梳理——1.空间向量相关概念15.空间直角坐标系：

②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.它们把空间分成8个部分.知识梳理——1.空间向量相关概念15.空间直角坐标系：

知识梳理——1.空间向量相关概念

知识梳理——1.空间向量相关概念点的位置x轴上y轴上z轴上xOy平面xOz平面yOz平面点的坐标(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)已知点A(x,y,z)，则：①点A关于x轴对称的点为A1___________;②点A关于y轴对称的点为A2___________;③点A关于z轴对称的点为A3___________.④点A关于原点对称的点为A4___________.⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5__________;⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6__________;⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7__________.(x

,y

,-z)(-x,y

,z)(x,-y,z)(x

,-y,-z)(-x,-y,z)(-x,y

,-z)(-x,-y,-z)规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。知识梳理——1.空间向量相关概念18.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.①记作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D②二面角θ的范围是[0，π]19.平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识梳理——2.空间向量相关定理1.共线向量定理：对于任意两个空间向量

，

①作用：判定两个向量是否共线(找λ).②推论：判定三点是否共线(同起点&系数和为1;或转化为向量共线).知识梳理——2.空间向量相关定理2.共面向量定理：作用:判定三个向量是否共面(找x,y).推论:判定四点是否共面(同起点/系数和为1，或转化为三个向量共面).知识梳理——2.空间向量相关定理

④若三个向量中存在一个向量可用另外两个向量表示，则三向量共面，不可构成基底.知识梳理——3.空间向量的运算(线性运算)加法：(三角形法则，首尾接)(平行四边形法则，同起点)减法：

(三角形法则，同起点/指向被减向量)数乘：(结果仍是一个向量)交换律：结合律：分配律：同起点的两个平面向量的和向量为平行四边形的对角线所在向量；同起点的三个空间向量的和向量为平行六面体的体对角线所在向量.知识梳理——3.空间向量的运算(数量积)OAB2.零向量与任意向量的数量积为0：1.向量的数量积运算结果是一个数；“·”不可省略3.求模：4.空间向量的数量积的运算律：如:知识梳理——3.空间向量的运算(数量积)OAB1.找角：两向量同起点2.范围：3.求角：4.向量夹角与数量积的关系：知识梳理——3.空间向量的运算(坐标运算)

向量运算向量表示坐标表示加法减法数乘数量积(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3知识梳理——3.空间向量的运算(坐标运算)

方法归纳1.1基底的判断：若三个向量不共面，则可作为空间向量的一个基底．①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；②存在一个向量可以用另外两个向量表示，则三向量共面；②假设三向量共面，建立x,y的方程组，若无解，则不共面，若有解，则共面.1.2基底的构建：常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并尽量选已知夹角和长度的向量．1.3用基底表示向量：结合向量的加减法运算法则寻找目标向量与基向量的关系.1.4基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.方法归纳1.5基底的运用：用基底法解决立体几何中的垂直、共线、角度、模长等问题.首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0．(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．方法归纳2.利用空间向量的坐标运算求夹角或距离的一般步骤

(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；

(3)坐标运算：结合公式进行计算、论证；

(4)翻译：将坐标运算的结果翻译为夹角或距离等集合语言.方法归纳

求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负)方法归纳4.1求点到直线的距离：

②等面积法(将点线距离视为三角形的高)两条平行直线m,l间的距离转化为直线m上任一点到直线l的距离4.2求直线到直线的距离：方法归纳4.3求点到平面的距离：①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)

③找垂线法(过点找面的垂线)平行于平面的直线到平面的距离转化为线上任意一点到平面的距离两个平行平面间的距离转化为平面内任意一点到平面的距离方法归纳5.1证线线平行：①证平行四边形得对边平行；②中位线；③对应线段成比例；④平行线的传递性；⑤线面平行的定义⑥两直线的方向向量共线(直接法/基底法/坐标法找λ)5.2证线面平行：①线面平行的判定定理：几何法、基底法、坐标法平面外的直线l与平面α内的一条直线平行，则l//α.②法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直③直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.方法归纳5.3证面面平行：①面面平行的判定定理：几何法、基底法、坐标法(转化为线面平行、线线平行)平面α内的两条相交直线均平行于平面β，则α//β.②法向量坐标法：两平面的法向量共线5.4证线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的性质定理转化为线线垂直问题．5.5证面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．题型1

空间向量的线性运算

题型2

空间向量的坐标运算

BD