2025年福建高考数学试题及答案

2025年福建高考数学试题及答案注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.+的虚部为（）A.-1B.0C.1D.6【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.【详解】因为1+i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1，故选：C.2.设全集U=x，集合A=，则

ð中元素个数为（）UAA0B.3C.5D.8【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义即可求出．【详解】因为U=2,3,4,5,7,8UA=7,8ð，UA中的元素个数为5，故选：C．3.若双曲线C的虚轴长为实轴长的7倍，则C的离心率为（）A.2B.2C.7D.22【答案】D【解析】【分析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2+b2=c2和离心率公式求解【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2,2c，由题知，b=7a，于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=22a，c即e==22.a故选：D4.若点(a,0)(a>0)是函数y=2tanx-πè3ø的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）A.π4B.π2C.π3D.π3【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.【详解】根据正切函数的性质，ππx-=,kÎZ，32πy=2tan(x-)的对称中心横坐标满足3即πæπ+πöÎy=2tan(x-)的对称中心是,0,kZ，ç÷3èø32ππa=+,kÎZ，即32又a>0，则k=0时a最小，最小值是π3，a=即π3故选：C5.设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2£x£3时，f(x)=5-2x，则f3=èø4（）A.-1B.1-C.1244D.12【答案】A【解析】【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,的范围中求解.【详解】由题知f(x)=f(-xf(x+2)=f(x)对一切xÎR成立，于是3311111f(-)=f()=f()=5-2´=-.44442故选：A6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2m/s）等级风速大小m/s名称21.1~3.3轻风33.4~5.4微风45.5~7.9和风58.0~10.1劲风A.轻风B.微风C.和风D.劲风【答案】A【解析】2速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：n=2-3=--，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，n，船行风速对应的向量为n，设真风风速对应的向量为12n=n+n，船行风速：2=-3,3-2,0=--3，∴12∴1=n-2=----3=-2，1=-2+2=22»2.828122222.82822，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A.7.若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2r的取值范围是（）A.(B.C.+¥)D.+¥)【答案】B【解析】【分析】先求出圆心E2到直线y=3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.【详解】由题意，x+y+=rr>中，圆心E2，半径为r，在圆22202到直线y=3x+2的距离为1的点有且仅有2个，∵圆心E2到直线y=3x+2的距离为：d0´3--2´1+2==223+-12，故由图可知，当r=1时，圆x+y+2=rr>上有且仅有一个点（A点）到直线y=3x+2的距离等于1；2220当r=3时，圆x+y+2=rr>上有且仅有三个点（B,C,D点）到直线y=3x+2的距离等于22201；当则r的取值范围为3时，圆x+y+=rr>上有且仅有两个点到直线y=3x+2的距离等于1.22202故选：B.8.若实数xyz满足2+log2x=3+log3y=5+log5zxyz的大小关系不可能是（）A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x【答案】B【解析】【分析】法一：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出.【详解】法一：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以11x=y=-=z=-=，此时x>y>z，A有可能；

令m=2，则31,533125令m=5，则x=y=z=1，此时y>x>z，C有可能；令m=8，则x=26=y=5=z=3=125，此时y>z>x，D有可能；故选：B．法二：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，所以，x=2m-2,y=m-3,z=5m-5根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y=2x-2,y=3x-3,y=5x-5的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示：易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在正三棱柱ABC-11中，D为BC中点，则（）A.AD^CB.^平面D1C.1//平面1DD.AD//11【答案】BC【解析】【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于C，利用线面平行的判定定理即可判断；对于D，各选项即可得解.【详解】法一：对于A，在正三棱柱ABC-11中，AA^平面，1又ADÌ平面，则^，则1AA×AD=，10因为VABC是正三角形，D为BC中点，则AD^BC，则CD×=0又AC=AA+AD+CD，11所以22AC×=AA++CD×AD=AA×AD+AD+CD×=¹1110，则AD^C不成立，故A错误；对于B，因为在正三棱柱ABC-11中，AA^平面，1又BCÌ平面，则^，1因为VABC是正三角形，D为BC中点，则AD^BC，又AA1I=,AA1,Ì平面D，1所以BC^平面D，故B正确；1对于C，因为在正三棱柱ABC-11中，1//1CCAA又AA1Ì平面AA1D,1平面D，所以1//平面1D，故C正确；1对于D，因为在正三棱柱ABC-11中，11//AB，假设AD//11，则//，这与Ç=A矛盾，所以AD//11不成立，故D错误；故选：BC.法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，则D0,0,A3,0,0,A3,0,h,C1,0,C-h,B0,Bh，111对于A，=-3,0,0,AC=-3,-h，1则AD×AC=-´-+=¹，133030则AD^C不成立，故A错误；对于BC，

=2,0,CC=0,0,h,AA=0,0,h,=-3,0,0，11设平面1D的法向量为n=x,y,z，ì×==ï10AAnhz，得x=z=0，令y=1，则n=0í则，ï×=-=ADn3x0î所以=0=2nCC×n=，10，则BC^平面D，1//CC平面1D，故BC正确；1对于D，AD=-3,0,0,AB=-0，11则-¹30-31，显然AD//11不成立，故D错误；故选：BC.10.设抛物线C:y2=6x的焦点为FF的直线交C于ABF且垂直于的直线交3l:x=-于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（）2A.|||B.|||C.|³6D.||×|³18【答案】ACD【解析】3l:x=-A2对于B，利用三角形相似证得ÐAEB=90°，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得AE=AF×AB，2BE=BF×AB，结合焦半径公式2可判断D.【详解】法一：对于A，对于抛物线C:y2=6x，则p=3，其准线方程为3x=-，焦点2F3,0，è2ø则为抛物线上点到准线的距离，AF为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|||，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知^l,^，则=AFE=90°，又|||，|AE|AE|，所以VADEAFE，所以AED=AEF，同理=，又AED+AEF+BEP+BEF=180°，所以+=°，即ÐAEB=90°，显然为V的斜边，则|AE|AB|，故B错误；对于C，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为3x=+，A1,1,Bx2,y2，1,1,2,22ì=+ïxí联立ï=y6x2î32，得y2-6-9=0，易知D>0，则1+y2=6,1y2=9，又3x=+，1123x=+，222所以|AB=1+2+p=my+y++=m+³，21233666当且仅当m=0时取等号，故C正确；对于D，在Rt△ABE与RtVAEF中，BAE=EAF，所以RtV~RtV，则=，即AE2=AF×AB，同理BE=BF×AB，2AF×BF=x+3x+3=++

又

331212èøèø22=m1y2+m1+y2+9=-9m+18m+9=9m+1，2222AB=6m+6=6m+1，22所以AE2×BE2=BF×AF×AB2=9m2+1´36m2+1，213则×=3m2+12´6m2+1=18m2+12³18，故D正确.故选：ACD.法二：对于A，对于抛物线C:y2=6x，则p=3，其准线方程为3x=-，焦点2F3,0，è2ø则为抛物线上点到准线的距离，AF为抛物线上点到焦点的距离，由抛物线的定义可知，|||，故A正确；对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P，由题意可知^l,^，则=AFE=90°，又|||，|AE|AE|，所以VADEAFE，所以AED=AEF，同理=，又AED+AEF+BEP+BEF=180°，所以+=°，即ÐAEB=90°，显然为V的斜边，则|AE|AB|，故B错误；对于C，当直线的斜率不存在时，=2p=6；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx-3è2ø，ì=æ-ö3ïç÷22292ykx联立，消去y，得í2èøkx-k+6x+k=0，4ï=y6x2î易知D>0，则69x+x=3+,xx=，12212k4所以22AB=1+kx-x=1+k´x+x-4xx21212122æ6öæ1ö=+2´ç+÷-=ç+÷>1k39616èøèøkk22，综上，|³6，故C正确；对于D，在Rt△ABE与RtVAEF中，BAE=EAF，所以RtV~RtV，则=，即AE2=AF×AB，同理BE=BF×AB，2当直线的斜率不存在时，AB=6，1===3；2所以AE2×BE2=BF×AF×AB2=3´3´62，即AE×BE=18；当直线的斜率存在时，ABæ1ö=ç+÷61èkø2，AF×BF=x+3x+3=xx+3x+x+9121212èøèø222493æ6ö9æ1ö=+ç+÷+=ç+÷39142k4kèøèø22，所以2æ1öæ1ö222×=××=9ç1+÷´36ç1+÷BFABèøèøkk22，则13æ1öæ1öæ1ö22AEBE316118118×=ç+÷´ç+÷=ç+÷>；èkøèkøèkø222综上，AE×BE³18，故D正确.故选：ACD.11.已知VABC的面积为141cos2A+cos2B+2sinC=ABsinC=，则，若4（）A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=2C.sinsin6A+B=D.AC2+BC2=32【答案】ABC【解析】【分析】对cos2A+cos2B+2sinC=2由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况π

比较A+B和

2的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出C=πsin1ABC=算出,B取值，最后利用三角形面积求出三边长，24即可判断每个选项.【详解】cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，1-2sinA+1-2sinB+2sinC=2，22整理可得，sinC=sin2A+sin2B，A选项正确；由诱导公式，sin(A+B)=sinπ-C=sinC，展开可得sinAB+sinBA=sin2A+sin2B，即sin(sinA-B)+sinB(sinB-)=0，若若πA+B=，则sinA=B,sinB=A可知等式成立；2A+B<ππA<-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<B22sinB<A，又sinA>sinB>0，于是sin(sinA-B)+sinB(sinB-)<0，πA+B<不成立；与条件不符，则2

πA+B>，类似可推导出sin(sinA-B)+sinB(sinB-)>0，则则若2πA+B>不成立.2A+B=π，即π

C=.综上讨论可知，22方法二：sinC=sin2A+sin2B时，由CÎ(0,π)，则sinCÎ，于是1´sinC=sin2A+sin2B³sin2C，由正弦定理，a2+b2³c2，π由余弦定理可知，C³0，则CÎ]，2A+B>π，注意到sin1πCÎ，则ABC=，则cosAcosB>0，

若)224于是A>B>0ABπ,è2ø，结合A+B>πÛA>π-B,πA>π-B=B>A-Bsinsin0，222èø2于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和sinC£1相矛盾，ππCÎ不成立，则)C=故22ABC=1=AB，由πsinA+B=，则B=sinA，即由421

sinAcosA=，

4sin2A=，同理sin211B=，注意到,B是锐角，则2,2BÎ(0,π)，则22π5π不妨设A<B，则A=B=，2,2A=B=，即π,5π661212由两角和差的正弦公式可知sinπsin5π62626-++=+=，C选项正确1212442由两角和的正切公式可得，5πtan=2+3，12设=t,=2+3t，则AB=2+6t，由2æö1124-233-1S=(2+3)t=2t==ç÷V，则2442èø，则3-1t=，2于是AB=(6+2)t=2，B选项正确，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D选项错误.故选：ABC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=_________.【答案】4【解析】解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点

xy与a0,0之即可得解.【详解】法一：对于y=ex+x+a，其导数为y¢=e+1，x因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y¢=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2´0+5=5，所以切点坐标为，因为切点在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.故答案为：4.法二：对于y=ex+x+a，其导数为y¢=e+1，x假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为

xy，0,0ìx+=e120ï=+íy2x5则00ï=++yexaxî000，解得a=4.故答案为：4.13.若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________.【答案】2【解析】前nqn项和性质得到关于q的方程，解之即可得解.【详解】法一：设该等比数列为a，nS是其前n项和，则nS=S=，4868设a的公比为q，n当q=1时，S4=41=4，即1=1，则S=a=¹，显然不成立，舍去；881868当q¹1时，则，a1qa1q-4-8S==S==6811

481-q1-q1q68-=8两式相除得1-q44，即1-q1+q441-q4=17，则1+q4=17，解得q=±2，所以该等比数列公比为2.故答案为：2.法二：设该等比数列为a，nS是其前n项和，则nS=S=，4868设a的公比为q，n所以S4=1+a2+3+a4=4，S=a+a+a+a+a+a+a+a812345678=a+a+a+a+aq+aq+aq+aq444412341234=1+a2+3+41+q=68，4所以41+q4=68，则1+q4=17，解得q=±2，所以该等比数列公比为2.故答案为：2.法三：设该等比数列为a，nS是其前n项和，则nS=S=，4868设a的公比为q，n因为S-S=a+a+a+a=a+a+a+aq=-=，4845678123468464又S4=1+a2+3+a4=4，所以S-S84S464=4==，解得q=±2，q164所以该等比数列公比为2.故答案为：2.14.一个箱子里有51~5球的个数X，则数学期望E(X)=_________.【答案】6125##【解析】【分析】法一：根据题意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得XE(X)Xi立事件的概率公式求得E(X)，进而利用数学期望的性质求得E(X).i【详解】法一：依题意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为3=125，其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故51P(X===，12525X=2选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5´4´3=60种，故6012P(X=2)==，12525X=3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情有况5´4´3=60种，故6012P(X===，12525所以EX=1´PX=+2´PX=2+3´PX=35121261

=1´+2´+3´=.

12525252561故答案为：.25法二：依题意，假设随机变量Xi，其中i=2,3,4,5：其中Xi,球至少被取出一次=í，则,球一次都没被取出î5XX=åii1，由于球的对称性，易知所有

EX相等，i55åå则由期望的线性性质，得[X]=EêXú=EX=5EX，iiii1i1由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为45，3PX===0464由于抽取独立，三次均未取出球i概率为的iè5ø125，6461因此球i至少被取出一次的概率为：PX==1-=，i125125

61故EX=，i1256161所以E[X]=5EX=5´=i1252561故答案为：.25四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果正常不正常合计组别患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；（2）根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附c2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，Px…k0.0050.0100.0012k3.8416.63510.82891）（2）有关【解析】1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据独立性检验的基本思想,求出c2,然后与小概率值a=0.001对应的临界值比较,即可判断.【小问1详解】根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以p的估计值为1809=；20010【小问2详解】零假设为H0：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，1000´20´20-780´1802c==765.625>10.828=2800´200´800´200x，根据小概率值a=0.001的c2H0患该病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.aa116.设数列a=，1a满足+=+13nnnnn+1n(n+（1）证明：

na为等差数列；n（2）设f(x)=ax+ax2+L+axm，求f(-2)．12m1）证明见解析；（2）27372m+-m¢-=-f99【解析】a1a1n+=n+1）根据题目所给条件nn+1nn+1化简，即可证明结论；（2）先求出a的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以xn前n项和得出导函数表达式，即可得出结论.【小问1详解】由题意证明如下，nÎN*，a1a1在数列+=+a=，nna中，13nnn1nn1++，∴n+a+=na+，即n+a+-na=，1111n1nn1n∴na是以1=3为首项，1为公差的等差数列.n【小问2详解】由题意及（1）得，nÎ*，在数列na中，首项为3，公差为1，nna=+´n-，即12

∴31

a=+，nnn在fx=ax+ax+L+ax中，2m12m2æ2ö=++L+ç+÷，f¢x=+x+L+m+x-321m342m1fxxxxèømì=++++¢m1ïfx34xLm2xí=++++∴¢ï2mx3x4xLm2xî，当x¹1且x¹0时，∴2m1mx1-xmm1-¢=+++L+-+=+-+，

1xfx3xxxm2x3m2x1-xx1-xmm+2xm-13∴¢=+-fx1x1-x1x-2-1mm-21--2+22

3m∴f2¢-=+-1--21--21--221mm21--2+22m=1+-93-2mm+2-2m2=1---993m+7-2m7=-.9917.如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，BC∥AD,^．（1）证明：平面PAB^平面PAD；（2）PA=AB=2,AD=1+3,BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O．（i）证明：O在平面ABCD上；（ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值．1）证明见解析；（2i）证明见解析；（ii）23.【解析】1^，^AB^平面PAD（2i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy中，得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出===，即可证明结论；法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O11出外心1到P，B，C，D的距离相等，得出外心1即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论；（ii）法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为1，连接1，1，利用勾股定理求出1的长，进而得出1的长，在△1中由余弦定理求出cos，即可求出直线AC与直线PO所成角的余弦值.1【小问1详解】由题意证明如下，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，^，ABÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD，∴^，^，∵APÌ平面PAD，ADÌ平面PAD，APÇAD=A，∴AB^平面PAD，∵ABÌ平面PAB，∴平面PAB^平面PAD.【小问2详解】（i）由题意及（1）证明如下，法一：在四棱锥P-ABCD中，^，^，^，BC∥AD，==，AD=1+3，2建立空间直角坐标系如下图所示，∴A0,B2,0,0,C2,2,0,D0,1+3,0,P2，若P，B，C，D在同一个球面上，则===，在平面xAy中，∴A0,B2,0,C2,2,D0,1+3，∴线段CD中点坐标Fæ+ö233ç,÷ç÷22èø，直线CD的斜率：k11+3-23-1==-0-22，直线CD的垂直平分线EF斜率：k226+2==3-12，∴直线CD的方程：æö3+36+22y-=çx-÷222èø，即æö6+223+3y=çx-÷+222èø，æö当y=1时，162233++=ç-÷+xO222èø，解得：x=0，O∴O在立体几何中，O0，ì20102=2+2+-ï

ïï=-++2021022ïí∵ï=-+-+22202120ïï2ï=+--+0113022î解得：====3，∴点O在平面ABCD上.法二：∵P，B，C，D在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心，作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示，由几何知识得，1E=AB=2，1BE=CE=AO==BC=1，OD=AD-AO=1131122=CO=2+=，11123∴1D=BO1=CO1，∴点1是△BCD的外心，在RtV中，^，AP=2，由勾股定理得，2PO=AP2+AO2=+2=11213∴PO1=BO1=CO1=1D=3，∴点1即为点P，B，C，D所在球的球心O，此时点O在线段AD上，ADÌ平面ABCD，∴点O在平面ABCD上.（ii12ii）及图得，2,2,0,2AC=PO=-，设直线AC与直线PO所成角为q，cosq∴ACPO×+´+02102===.3ACPO22+2+´+2+-220012法2：由几何知识得，PO=3，^，BC∥AD，∴AB^BC，在RtVABC中，AB=2，BC=2，由勾股定理得，2AC=AB2+BC2=2+22=6，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为1，连接1，1，=AC=，直线AC与直线PO所成角即为△中16POC则1或其补角.1∵PA^平面ABCD，1Ì平面ABCD，I=A，1∴PA^1，在RtV1中，AB=2，1=BC+1=2+1=3，由勾股定理得，21=AB2+2=2+2=11，在RtV1中，PA=2，由勾股定理得，221=PA2+2=2+11=13，在△1中，由余弦定理得，PC2=PO2+2-PO×Ð，11211222即：13=3+6-23´61解得：=-123∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为：2=.1318.设椭圆x+y=>>的离心率为2222C:ab0)ab322，下顶点为A，右顶点为B，|AB=10．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AR×AP=3．（i）设P(,n)，求点R的坐标（用m，n（ⅱ）设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求||的最大值．1）x29+y2=1（2）(ⅰ)æ+--ömn2mn22ç,÷ç++++÷22mn1mn122èø(ⅱ)33+2【解析】1）根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程；（2）(ⅰ)设R0,0,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；(ⅱ)根据斜率关系可得到点P换元或者直接运算即可解出.【小问1详解】ì+=ab22ïïíïc22由题可知,A-b,Ba,0，所以e==a3ï222c=a-bî10，解得a2=b2=c2=8，故椭圆的标准方程为x29+y2=1；【小问2详解】(ⅰ)设R0,0，易知m¹0，k法一：所以+11y+=n+n1=，故0mxm0，且0>0．因为A-，ARAP=3，所以22x2+y+´m2+n+=，00113即æ+ö2mn1x=êç÷ú1+xm=3，解得022m10m+n+êèøún+2-m-ny=22，所以022m+n+1，æ+--ömn2mn22ç÷,所以点R的坐标为ç++++÷22mn1mn122èø.=Þlm+n+2=法二：设=lAP,l>0，则2

，所以313=x+y+=-y+y+y+=-y+y+2242992281682825MMMMMMM2æ1ö=-çy-÷+£82727Mè2ø，当且仅当1y=时取等号,M2故PM=+=+.273233219.设函数f(x)=5x-5x．（1）求f(x)在πêú4的最大值；（2）给定qÎ(0,π)，设a为实数，证明：存在yÎ[a-q,a+q]，使得y£cosq；（3）若存在j使得对任意x，都有5x-cos(5x+j)£b，求b的最小值．1）33（2）证明见解析（3）33【解析】1大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反证法可证三角不等式有解；（3t=0,π时btÎπ2）中的结论结合特值法求得b³，从而可得b的最小值；或者先根据函数解析特征得b³0，再结合特值法可得33b³33，结合（1）的结果可得b的最小值.【小问1详解】法1：f¢x=5sinx+5sin5x=103xsin2x，因为xπè4øxπ，故2è2ø，故sin2x>0，0当π<<时，cos3x>0即f¢x>0，x6当ππ<<时，3x<0即f¢x<0，x64æπö故fx在ç÷è6øæππö,上为增函数，在ç÷è64ø为减函数，æπö故fx在ç÷上的最大值为è4øfπ=π-5π=5cos33è6ø66.法2：我们有5x=x+4x=x4x-sinxsin4x=x22x-1-sinx×2sin2x2x22=x22cosx-1-1-sinx×2×2sinxxcos2x2=x8x-8x+1-4x2xsinx422=8x-8x+x-4x2x-11-x5322=16cosx-20x+5cosx.53所以：fx=5cosx-cos5x=5cosx-16cosx-20cosx+5cosx=20cosx-16cosx5335=4x5-4x£4x5-4x=4x5-2x5+2x32323æ+-ö32153153=ç×××-×+÷xxx52x52x344èø5ææ+-öö321153153£çç+++-++÷÷xxx52x52x3544èèøø5æö323=ç÷=32èø33.这得到fx£33，同时又有fπ=π-5π=5cos33è6ø66，æπö故fx在ç÷上的最大值为33，在R上的最大值也是33.è4ø【小问2详解】法1：由余弦函数的性质得x£cosq的解为2π+q,2π+2π-q，kÎZ，若任意2π+q,2-q,kÎZ与a-q,a+q交集空，为则a-q>2π+2π-q且a+q<2π+2π+q