数学专项辅导平行四边形题库

数学专项辅导：平行四边形题库——核心考点与经典题型全解析引言平行四边形是初中几何体系中承上启下的关键图形：它既是三角形知识的延伸（通过对角线可分割为两个全等三角形），也是矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础。掌握平行四边形的性质与判定，是解决复杂几何问题的重要基石。本文构建“基础回顾—考点解析—易错警示—强化训练”的体系，覆盖平行四边形的核心知识点与经典题型，助力学习者系统掌握这一考点，提升解题能力。一、基础概念与性质回顾1.1定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形（记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”）。*注：定义是平行四边形的根本判定依据，也是所有性质的推导来源。*1.2核心性质（必记）平行四边形的性质围绕“对边”“对角”“对角线”“对称性”展开，具体如下：类别性质描述边两组对边分别相等（AB=CD，AD=BC）；两组对边分别平行（AB∥CD，AD∥BC）角两组对角分别相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°）对角线对角线互相平分（OA=OC，OB=OD）对称性中心对称图形（对称中心为对角线交点O）；无轴对称性（特殊平行四边形除外）面积\(S=底\times高\)（如以AB为底，高为h，则\(S=AB\cdoth\)）二、核心考点分类解析2.1考点一：平行四边形的判定（高频考点）平行四边形的判定需满足“对称条件”（如“两组”“互相”），共5种判定方法：（1）定义判定：两组对边分别平行例1：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。*解析：直接应用定义，无需额外证明。*（2）定理1：两组对边分别相等例2：已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。*解析：连接AC，由SSS证明△ABC≌△CDA（AB=CD，BC=DA，AC=CA），得∠BAC=∠DCA，故AB∥CD；同理得AD∥BC，由定义判定。*（3）定理2：一组对边平行且相等例3：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。*解析：连接AC，由AB∥CD得∠BAC=∠DCA，再由SAS证明△ABC≌△CDA（AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA），得AD=BC，故两组对边分别相等，判定为平行四边形。*（4）定理3：两组对角分别相等例4：已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。*解析：四边形内角和为360°，故∠A+∠B=180°，得AD∥BC；同理得AB∥CD，由定义判定。*（5）定理4：对角线互相平分例5：已知四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。*解析：由SAS证明△AOB≌△COD（OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD），得AB=CD且AB∥CD，由定理2判定。*2.2考点二：平行四边形的性质应用（基础必练）（1）求边长或周长例6：在▱ABCD中，AB=3，BC=5，求其周长。*解析：平行四边形对边相等，周长=2×(AB+BC)=2×(3+5)=16。*（2）求角度例7：在▱ABCD中，∠A=70°，求∠C和∠B的度数。*解析：∠C=∠A=70°（对角相等）；∠B=180°-∠A=110°（邻角互补）。*（3）求对角线取值范围例8：在▱ABCD中，对角线AC=8，BD=10，求边AB的取值范围。*解析：对角线互相平分，故OA=4，OB=5。在△AOB中，由三角形三边关系得：\(OB-OA<AB<OB+OA\)，即\(1<AB<9\)。*（4）求面积例9：在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求其面积。*解析：以BC为底，高为AB×sin60°=4×(√3/2)=2√3，面积=BC×高=6×2√3=12√3。*2.3考点三：平行四边形与综合图形（能力提升）（1）与三角形结合例10：在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，求证：AF=2AE。*解析：由AB∥CD得∠ABE=∠FCE，E是BC中点得BE=CE，∠AEB=∠FEC（对顶角），故△ABE≌△FCE（ASA），得AE=FE，故AF=2AE。*（2）与坐标系结合（高频压轴）例11：在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A(0,0)，B(2,3)，C(5,0)，求点D的坐标。*解析：方法1（中点法）：平行四边形对角线互相平分，AC中点为(2.5,0)，故BD中点也为(2.5,0)。设D(x,y)，则\((2+x)/2=2.5\)，\((3+y)/2=0\)，解得x=3，y=-3，故D(3,-3)。方法2（向量法）：AB向量=(2,3)，DC向量=AB向量，故D=C-AB向量=(5-2,0-3)=(3,-3)。*三、易错点警示与避坑技巧3.1易错点1：混淆“判定”与“性质”错误示例：已知▱ABCD，求证AB=CD（性质应用）；若已知AB=CD且AB∥CD，求证▱ABCD（判定应用）。避坑技巧：“性质”是“已知平行四边形，得结论”；“判定”是“已知条件，证平行四边形”。3.2易错点2：误用“一组对边平行，另一组对边相等”判定错误示例：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，但不是平行四边形。避坑技巧：必须强调“一组对边平行且相等”（同时满足平行和相等），或“两组对边分别平行/相等”。3.3易错点3：忽略“两组”条件错误示例：“对边平行的四边形是平行四边形”（错，缺少“两组”）；“对角相等的四边形是平行四边形”（错，缺少“两组”）。避坑技巧：所有判定定理都需满足“两组”或“互相”等对称条件，单个条件无法判定。3.4易错点4：对角线性质记错错误示例：“平行四边形对角线相等”（错，矩形才相等）；“平行四边形对角线互相垂直”（错，菱形才垂直）。避坑技巧：平行四边形对角线仅“互相平分”，特殊四边形（矩形、菱形）才有额外性质。四、强化训练题集4.1基础题（巩固概念）1.在▱ABCD中，∠A=80°，则∠D=______。（答案：100°，邻角互补）2.在▱ABCD中，AB=6，周长为20，则BC=______。（答案：4，周长=2×(AB+BC)）3.四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，则四边形ABCD是______。（答案：平行四边形，对角线互相平分）4.在▱ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则OA=______，OB=______。（答案：3，4，对角线互相平分）5.在▱ABCD中，AB∥CD，AD=5，则BC=______。（答案：5，对边相等）4.2提升题（综合应用）1.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。（解析：AE=CF且AE∥CF，由定理2判定）2.在▱ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，求对角线AC的长度。（解析：▱ABCD是矩形，AC=√(3²+4²)=5）3.在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A(1,1)，B(2,3)，D(3,2)，求点C的坐标。（解析：AB向量=(1,2)，C=D+AB向量=(4,4)）4.3压轴题（拓展思维）1.在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，B(4,3)，C(3,5)，求点D的坐标，使得四边形ABCD是平行四边形。（答案：(3,-1)或(1,3)或(5,7)，分三种对角线情况）2.在▱ABCD中，AB=5，BC=10，∠ABC=60°，求对角线AC和BD的长度。（解析：AC=5√3，BD=5√7，用余弦定理）五、总结与学习建议5.1核心总结平行四边形的本质是“两组对边分别平行”，所有性质均由定义推导而来，所有判定均需转化为“两组对边分别平行”。解题时，优先考虑对角线互相平分或一组对边平行且相等，简化证明步骤。5.2学习建议1.画图辅助：每道题都画平行四边形草图，标注已知条件，直观理解边、角、对角线的关系。2.总结题型：