《一次函数与二元一次方程组》教案

第2课时一次函数与二元一次方程组课时目标(一)教学知识点1.学会利用函数图象解二元一次方程组.2.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性.(二)能力训练目标1.尝试从不同角度看问题、分析问题、解决问题,进一步体会“数”与“形”结合的魅力.2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.学习重点归纳图象法解二元一次方程组的具体方法.学习难点从函数角度看问题,用函数解方程组.课时活动设计情境导入1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)与上升时间x(单位:min)的函数关系.(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?解:(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.对于1号气球,y关于x的函数解析式为y=x+5.对于2号气球,y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.(2)在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值(0≤x≤60),函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y,则问题得到解决.由此容易想到解二元一次方程组y=x+5,这就是说,当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.我们也可以用一次函数的图象解释上述问题的解答.如图,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20,25),这样说明当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.设计意图:为学生创造一个问题氛围,让学生带着疑问走进新课的学习.利用图象求方程6x-3=x+2的解,并笔算检验.由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点(1,3),所以x=1.设计意图:帮助学生构建函数模型,用函数的观点求解.例解二元一次方程组3教师引导:我们知道,方程3x+5y=8可以转化为y=-35x+85,并且直线y=-35x+85上每个点的坐标(x,y)都是方程3x因为任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,也就是对应一条直线.那么解二元一次方程组3x+5y=8,2x-y=1可否看作是求两个一次函数y设计意图:让学生体会从函数的角度看方程组,体会函数与方程组的联系和不同.活动内容设计:一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式.方式A,以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;方式B,除收月租费20元外,再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算.如何选择收费方式能使上网者更合算?教师活动:引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并运用所学方法求解.学生活动:在教师引导下建立两种计费方式的函数模型,然后比较求解.活动过程及结论:设上网时间为x分钟,所需费用为y元.若按方式A收费,则y=0.1x;若按方式B收费,则y=0.05x+20.如图,在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象.解方程组y=0.从图象上可以看出两函数图象交于点(400,40),当0<x<400时,0.1x<0.05x+20,当x=400时,0.1x=0.05x+20,当x>400时,0.1x>0.05x+20.因此,当一个月内上网时间少于400分钟时,选择方式A省钱;当上网时间等于400分钟时,选择方式A,B没有区别;当上网时间多于400分钟时,选择方式B省钱.设计意图:通过这个活动,熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法,进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力.学以致用如图,直线y=-x+3与y=mx+n交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组x+y=3,-mx设计意图:学以致用,让学生能快速识图,体会图象法解方程组的便捷性和优越性.课堂小结本节课从一元一次方程、二元一次方程与一次函数的关联谈起,得出利用函数图象解决二元一次方程、二元一次方程(组)的具体方法及步骤,并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系,且通过函数观点把它们统一起来,根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用,为我们解决有关实际问题提供了更大的便利.设计意图:引导学生对所学的知识进行总结和归纳,引领学生得到解题方法的提升是学习的关键.第2课时一次函数与二元一次方程组1.一次函数与二元一次方程组.2.图象法解二元一次方程组.3.数学思想:数形结合.知能演练提升能力提升1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.k<0B.b=-1C.y随x的增大而减小D.当x>2时,kx+b<02.已知一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0),x与y的部分对应值如下表所示:x-2-10123y3210-1-2则关于x的不等式kx+b<0的解集是()A.x<0 B.x>1C.x<1 D.x>03.如图,以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是()A.x-y=1,C.x-y=-4.若方程组x+y=2,2x+2yA.重合 B.平行C.相交 D.以上三种情况都有可能5.已知关于x的方程kx+b=0的解为x=3,则直线y=kx+b与x轴交点的坐标为.

6.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为.

7.党的二十大报告指出,推动绿色发展,促进人与自然和谐共生.某村为了践行绿水青山就是金山银山的理念,准备绿化荒山,计划在植树节当天种植柏树和杉树.经调查,购买2棵柏树和3棵杉树共需850元;购买3棵柏树和2棵杉树共需900元.(1)求柏树和杉树的单价各是多少元;(2)本次绿化荒山,需购买柏树和杉树共80棵,且柏树的棵数不少于杉树的2倍,要使此次购树费用最少,柏树和杉树各需购买多少棵?最少费用为多少元?8.过点(0,-2)的直线l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m).(1)写出使得y1<y2的x的取值范围;(2)求点P的坐标和直线l1的解析式.9.如图,l1,l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(单位:h)的函数图象,假设两种灯的使用寿命都是2000h,照明效果一样.(1)根据图象分别求出l1,l2的函数解析式;(2)当照明时间为1000h时,请比较两种灯的费用情况.★10.如图,直线l1的解析式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.(1)求点D的坐标;(2)求直线l2的解析式;(3)求△ADC的面积;(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.创新应用11.倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人,已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨,3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨.(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人,这批机器人每个小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A型机器人a台(10≤a≤45),B型机器人b台,请用含a的代数式表示b.(3)机器人公司的报价如下表:型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在(2)的条件下,设购买总费用为w万元,问如何购买使得总费用w最少?请说明理由.

知能演练·提升能力提升1.B2.B3.C4.B5.(3,0)6.x≥17.解(1)设柏树的价格为x元/棵,杉树的价格是y元/棵.根据题意得2x+3所以柏树的价格为200元/棵,杉树的价格为150元/棵.(2)设购买柏树a棵,则购买杉树(80-a)棵,购树总费用为w元.根据题意,得a≥2(80-a),解得a≥5313w=200a+150(80-a)=50a+12000,∵50>0,∴w随a的增大而增大.又a为整数,∴当a=54时,w最小=14700,此时,80-a=26,即购买柏树54棵,杉树26棵时,购树总费用最少,最少为14700元.8.解(1)根据题图,得当y1<y2时,x<2.(2)由题图可知点P的横坐标为2,代入y2=x+1,得y2=3.∴P(2,3).把点P(2,3),点(0,-2)的坐标代入y1=kx+b,得2k+b=3,b=-2,9.解(1)设l1的解析式为y1=k1x+2(k1≠0),由题图得17=500k1+2,解得k1=0.03.所以y1=0.03x+2(0≤x≤2000).设l2的解析式为y2=k2x+20(k2≠0),由题图得26=500k2+20,解得k2=0.012.所以y2=0.012x+20(0≤x≤2000).(2)当x=1000时,两种灯的费用分别为y1=0.03x+2=32(元),y2=0.012x+20=32(元),所以当照明时间为1000h时,两种灯的费用相等.10.解(1)∵y=-3x+3,令y=0,得-3x+3=0.∴x=1.∴D(1,0).(2)设直线l2的解析式为y=kx+b(k≠0).由题图知x=4时,y=0;x=3时,y=-32∴4k+故直线l2的解析式为y=32x-6(3)由y=-3x+3,y=∵AD=3,∴S△ADC=12×3×|-3|=9(4)P(6,3).创新应用11.解(1)设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨.由题意可知(2x答:1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨.(2)由题意可知,0.4a+0.2b=20,则b=100-2a(10≤a≤45).(3)当10≤a<30时,40<b≤80,w=20×a+0.8×12(100-2a)=