重庆市九龙坡、渝中区等4地2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

学校 姓名 班级 考号 1．40.74人都没中靶的概率为（ 已知向量aba1

2a与b

2a

（ zz2z13izi2025（1

1

1

1如图，为了测量某座ftB（B为ft顶A在ft底上的射影）两个观测点C与D，现测得CBD75∘,BCD60∘,BD 米，在点C处测得ft顶A的仰角为30o，该座ft的高度为（

B．

C．

D．306若m//nmα，则n若αβmαnβ，则m若mn,αβmα，则n4EABCDFPBC上一点，则下列四个结论中错误的是（）AE∥EPFP的最小值为点ABCF20的同学人数是（）222540223024 fxxxxxfx1fx22成立，则称该函数为“完整函数”.1 6 6

22 A．2,

B．3,

D．4,以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.､乙､攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､11

33

，则（甲､乙､只有甲､已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是（复数m1m22m3i是实数，则实数m1或m若z是复数，且z1，则z22i的最大值为 zzzzz21 若12ixx2pxq0pqR的一个根，则q在VABCAB,C的对边分别为abc，已知c2且sinAsinCab a（Cabb的取值范围为0DAB的中点，则CD的取值范围为1,331010 → 若向量a1,2,bx,y，且b为单位向量，定义ab|a|ab，则ab的取值范围 EFG 80010072030,3040,,8090，并整理得到如下频率分布直80060405人，试估计总体中分数在区间40507070的男女生人数相等，试估计总体中女在VABCAB,C的对边分别为abc，已知ccosA4bacosC求cosC 若a1c2，求sin2Aπ 若VABC的面积为15，且ab

3c，求VABCL欧拉公式eiθcosθisinθ（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联zrcosθirsinθr0联系，就可以利用该公式轻松解决“1的n次方根问题”. 2 ABCDFEEAABCDABADADBCADEFABADAE4BC3MNBE,CFAMMNNDBEANDDEAND线段CDPDE∥AMPPAND理由ABCD中，已知aBCD､aACD均是边长为aAB

3a.贴上写有数字1~8fAfB,fC,fDABCDE为侧棱AB上一点.

f f 【详解】40.7，4人都没中靶的概率为10.740.0081.

→ a1

2a与b

，得ab12

4ab4ab4a 2a

4442zabizabiz2zabi2abia3biaz2z13i，故3b

a，解 bz1izi20251ii21012i1ii1i【详解】因为CBD75BCD60，所以BDC45在△BCD

sin

sinBDCBC

sin

sinBDC303

2 30在直角三角形ABC中，ACB30∘，所以ABBC 30A，若m//nmα，则nα或nAB，若α//βmαnβ，则m//n或m与nB错误；C，若αβ,βγ，则αγ或αγlC错误；D，若m//n,mα，则nα，又因为α//β所以nβD正确，ACEF可知相交于点O，且被O互相平分，AFCE是平行四边形，AE//CFAEBCFCFBCF，AE∥BCFA正确；因为正方体棱长为4ABCDABBC22OEABCDOE2EABCD1´22´22´216 EABCDF32，BPBC上一点，将aEBC和aFBC由题aEBC和aFBC均为正三角形，且边长为 BE2+BF2BE2+BF2-2BE×BF

222222222222212

CD选项：设点ABCF的距离为hVABCFVF1 1即´´22´22´sin60°´h=´´22´22´23 3\h

443D错误 5222020，20，22，余下两个数据都大于52522517，18，25，25，25时，2020；5402225个数据由小到大排列后第二和第三个22，2221，23220；530244x1x2x3x4则方差s21[36x24)2x24)2x24)2x24)2 7.21[(x24)2x24)2x24)2x24)2xxxx20

123s27.2512.210.8x1x2x3x420，521，21，24，24，30可满足条20的同学为甲、丙、丁三位同学 6 6 22则在π3πxxxxfx1fx2222

1 fxsinωx在π3π上至少存在两个最大值点， 223πππT2π，解得ω2 3πππ2T4π，即ω4 22 解得3ω4【详解】A选项，甲､乙､1111，A33 B选项，只有甲､11111，B3 3 C1111111111111114，C3 3 2 3 32 33 2 D选项，技术难题没有被攻克的概率为1111112 3 3 2 故技术难题被攻克的概率为127，D正确 A：复数m1m22m3i是实数，所以m22m3m1)(m30，解得m1m3Ax2选项B：设zxyi，依题意 1，即x2y21，其表示以原点(0,0)x2(x2)2(yz22ix(x2)2(y

，表示点(x,y)到点(22)即以原点(00为圆心，1为半径的圆上的点到点(22)22dr（d22(x2)2(y(x2)2(y02

1

1B12Cz1zi12

1，z

1zzz2121z2i21

z2z2C D：若12ixx2pxq0pqR的一个根，则另一根为12i，根据韦达定理，两根之积(12i)(1+2i)=14i25=CqqD正确. 【详解】由sinAsinCab aacaba2c2abb2a2b2c2ab aa2b2 再由余弦定理得：cosC 因为C0π，所以CπA再由a2b2c2abab2c23ab，因为c2，所以ab243abab

ab2

ab又因为ab2，所 2，解得ab4 当且仅当ab时取等号，此时abc2B b b243在直角VABC中，C，c2，斜

sin

C由中线CDCACB平方可得：CDCA2CACB+CB

1

144

2ba

+a2，利用a2b2ab+4 CD

2ab+4=

ab1，因为ab+4a2b22abab4

ab13CD1,1,

3，当且仅当abc2

ab11CD1，所以CD的取值范围为

D100.66676073777555,55 【详解】由题意知a ，b1．设a,b abaabaabcosθ555

5,5

5 93AEAFAG433 所以aEFG为等边三角形，设aEFG的中心为T所以GFA1ETA1TA1ET，所以GFA1T，同理可证GEA1TGFGEEFGGFGEGA1TEFG 因 ，所以FG∥BD，又ACBD

1 1 1FGA1C1，又CC1FGCC1A1C1C1CC1A1C1A1C1CFGA1CEGA1C，又GFGEEFGGFGEG，A1CEFG，A1EFG的距离为dA1T32而EFEGFG32 13232sin6093a 由VEAGFVAEFG11333193d3 解得d3，即A1T

，所以TC33因为 2，所以该球不是正方体的内切球A1C1FG与点MEMACA1C由对称性可得球的球心位于线段TCEFGABCD设球心为O，球的半径为R，则OTR，OCA1C ，故OC

3R所以

R

3RR933933933（1）601100.020.040.02800名学生中随机抽取一人，600.2；501100.010.020.040.02405人，所以分数在4050内的频数为：5人，即分数在4050内的频率为：0.05，从而可估计总体中分数在区间40500.058004070的频率为：100.040.020.6，700.610060人，70307060人，40人，4080032016．(1)cosC(2)215 （1）

得sinCcosA4sinBsinAcosC即4sinBcosCsinCcosAsinAcosCsinACsinπBsinBB0π，则sinB0，故cosC1因为cosC1，且C0π，则sinC

1511m

,a1,c21

,sinA 8macA0,πcosA7.sin2A2sinAcosA2157715 2

7cos2A2(cosA)2128

1

17 π

7 215 sin2A6sin2Acos6cos2Asin6

m

1absinC15ab15,ab8a 因为由余弦定理得2abcosCa2b2c2于是(ab)2c2a2b2c22ab2abcosC120因为ab3c，则(ab)2c22c220，所以c 因此ab

3c

30，于是VABC的周长abc 17．(1)θπkπ,kZ 5 2 2

4 55i i 5

4 4i i 5 5所以cos6α3β18．(1)8（1）mAD∥BC,AD∥EF,EF∥BC又MNBE,CF的中点，MN∥BC∥ADMND，AmEAABCDADABCD,EAADEAABmABADABAEAABAEABE，ADABE，BEABE,ADBE，又MBEAEAB,AMBEADAMAADANDAMANDBEBEANDDEAND所成角为EDM，EDMEM22DE42sinEDMEM1， EDMπDEAND所成角的大小为PDE∥DBOAO并延长与CD证明：因为MOBEBDMO∥DEmMOAMPDEAMPDE∥AMPM是中点，MAPDaAMD的面积为42

4,cosADP

1,AD4PAND的距离为d，则VMAPDVPAMD1322142d，解得d82 PAND8219．(1)(2)P2（1）用M1表示fC､fD均为奇数”的事件，用M2表示fC､fD均为偶数”的事件，1-8C､D56个样本点，事件M112个样本点，事件M212PM123,PM123