《用频率估计概率》教案

课时目标1.通过抛掷硬币、摸球等随机试验,了解频率与概率的联系与区别,知道通过大量重复试验,可以用频率估计概率,培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力.2.选择生活中的实例进行教学,使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识,突出用频率的集中趋势估计概率的思想,体现数学与生活的紧密联系.学习重点体会用频率估计概率的必要性和合理性,学会依据问题特点,用频率来估计事件发生的概率.学习难点理解频率与概率的关系,用频率估计概率解决实际问题.课时活动设计收集各组课前预习作业的数据并进行整理分析.抛掷一枚质地均匀的硬币,“正面向上”的概率为0.5,是否意味着抛掷一枚硬币50次时,就会有25次“正面向上”呢?抛掷一枚硬币100次时,各组的“正面向上”的频数是50吗?请各组汇报试验数据.师生活动:统计各组试验数据,利用Excel形成各组抛一枚硬币50次和100次“正面向上”的频率散点图.分析统计图,体会频率与概率的区别并能够初步感受频率可能与概率存在的关系.设计意图:让学生亲身参与到实际操作中,通过分配给学生们不同的任务,来促进学生间的合作、交流,根据图象体会频率的随机性,培养随机观念.如果重复试验次数增多,结果会如何呢?抛掷次数n501001502003004006008001000“正面向上”的频数m“正面向上”的频率m师生活动:师生讨论,由于试验条件基本相同,可以用逐步累加各组数据的方法近似地模拟重复试验次数不断增多的情况,教师组织学生整理试验数据,并对生成的频率统计图进行分析.设计意图:全班合作对分组试验获得的数据进行整理和分析,鼓励和引导学生初步探索数据中隐藏的规律,提高学生的统计意识,进一步理解概率的意义.随着重复试验次数的增加,“正面向上”的频率的变化趋势是什么?师生活动:教师利用抛掷硬币模拟软件演示一组抛掷硬币2000次的模拟试验,学生将模拟试验的结果与全班真实试验的结果做比较,归纳发现:正面向上的频率在0.5左右摆动,随着抛掷次数的增加,在0.5左右摆动的幅度越来越小的可能性变大.学生发现,由于随机事件的随机性,每组试验得到的频率分布都不尽相同,但都无一例外的显示出,在做大量重复试验时频率表现出稳定性,试验次数较少时,频率表现出随机性的可能性很大,随着重复试验次数的不断增加,频率表现出稳定性的可能性越来越大.设计意图:引导学生进一步理解频率具有随机性,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,频率表现出稳定性,逐渐能够完整表述频率与概率的关系.阅读另外四次模拟抛掷硬币2000次的试验数据图表(见附录),你读出哪些信息?师生活动:学生阅读图表,验证频率与概率的关系,进一步认可,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,频率表现出稳定性.由于随机事件的随机性,各次模拟的频率分布图均有不同,但都显示出在做大量重复试验时频率表现出稳定性.设计意图:通过多次模拟试验,进一步验证频率与概率的关系是正确的,发现试验次数多时频率更多的呈现稳定性.同时感受不论试验次数是多少,都存在频率偏离概率较大的可能性,只是这种可能性在多次重复试验的前提下变小.初步形成了对于这个抛掷硬币的简单试验的概率可以通过频率进行估计的观念.师生活动:擦除模拟抛掷一枚硬币2000次“正面向上”的频率散点图中表示概率的直线,基于现有的频率分布情况,学生能够估计此未知概率事件发生的概率是0.5,再擦除学生抛掷硬币100次中表示概率的直线,学生的估计并不是0.5,分析估计不准确的原因,是试验次数少,频率分布不稳定,大量重复试验频率稳定时才能够估计得相对准确.设计意图:本环节通过对抛掷硬币这个已知概率的试验对频率进行分析,使学生理解和巩固利用频率估计概率的方法.通过两次“擦线”的对比,学生能够发现对于此随机试验,可以用频率估计概率,并且随着试验次数的增加,频率表现出稳定性时所估计的概率相对准确.摸球问题1.问题呈现:在不透明的箱子中,有红色和黄色两种除颜色外无其他差别的5个小球.在不打开箱子的前提下,每次随机摸出一个小球后放回,你能说出箱子里面有几个黄球吗?2.试验设计:学生通过讨论发现解决问题的关键在于要知道摸到黄球的概率,于是仿照课前预习作业设计摸球试验.3.实施试验:在试验过程中知道需要大量重复试验,可以累加数据得到较大试验次数,对于数据是否稳定需要检验.4.问题解决:通过频率估计摸出黄球的概率从而求得黄球的个数.师生活动:学生小组合作设计试验,分享交流后执行试验,利用图形计算器统计试验结果,绘制频率分布图,利用频率估计概率,从而解决问题.进一步发现对于此概率未知的问题也可以利用频率估计概率,形成用频率估计概率的方法.学生总结归纳获得概率的方法,教师给出:对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总是在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.频率稳定性规律不但由人们大量的生活实践所验证,还由数学家雅各布·伯努利给出了严格的证明.设计意图:通过分析摸球问题,发现解决问题的关键是获得事件的概率,经历解决问题的过程,学生进一步认同用频率估计概率的方法.体会到对于概率未知的随机事件仍然可以使用频率估计概率的方法解决.通过设计试验方案,更加明确“重复”与“大量”的含义.两个环节分别从学生已知概率的问题和未知概率(但是概率可计算)的问题两个角度让学生逐步认同用频率估计概率的方法.投一枚图钉,你能估计出“钉尖朝上”的概率吗?师生活动:学生讨论,发现由于无法确定“钉尖朝上”、“钉尖朝下”的可能性是否相等,不能用列举法求这个随机事件的概率,有必要采用新学的方法——用频率估计概率.设计意图:对于未知概率的事件(概率不可计算求得),学生进一步意识到用频率估计概率是一种获得随机事件的概率的新方法,它的使用范围比用列举法求概率更广.对于这个不能求出概率的问题,学生能够独立设计试验,完整的说明运用频率估计概率的全过程,加深对规律和方法的理解.教师与学生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:1.目前我们学习了哪些求随机事件概率的方法?2.说说你对频率与概率之间关系的认识.设计意图:通过对本节课所学内容的回顾、归纳,来让学生巩固对频率的稳定性规律和用频率估计概率的方法的认识,增强学生对频率与概率之间关系的认识.巩固训练下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果.抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数m22527195116138160187214238“正面向上”频率m0.440.520.470.480.460.460.460.470.480.48下面有三个推断:①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况,所以不能估计“正面向上”的概率是0.5;②这些次试验投掷次数的最大值是500,此时“正面向上”的频率是0.48,所以“正面向上”的概率是0.48;③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的,但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.其中合理的是③.

设计意图:考查学生对频率与概率的关系的理解,明确频率与概率的联系和区别,让学生更深程度的理解用频率估计概率的含义及方法.知能演练提升一、能力提升1.下面说法合理的是()A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是3B.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,“掷得6”的概率是16C.某彩票的中奖机会是2%,则买100张彩票一定会有2张中奖D.在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计质地均匀的硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.512.一个袋子中装有12个完全相同的小球,每个球上分别写有数字1~12.现在用摸球试验来模拟6人中有2人生肖相同的概率,在此过程中,下面有几种不同的观点,其中正确的是()A.摸出的球一定不能放回B.摸出的球必须要放回C.由于袋子中的球多于6个,因此摸出的球是否放回无所谓D.不能用摸球试验来模拟此事件3.为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有条鱼.

4.在“抛掷质地均匀的正六面体”的试验中,已知正六面体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,随着试验次数的增多,出现数字“1”的频率的变化趋势是接近.

5.某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据:移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵数m8651356222035007056131701758026430成活的频率m0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为.

6.在一次大规模的统计中发现英文文献中字母E的使用频率在0.105附近,而字母J的使用频率大约在0.001附近,如果这次统计是可信的,那么下列说法可信吗?试说明理由.(1)在英文文献中字母E出现的概率在10.5%左右,字母J出现的概率在0.1%左右;(2)如果再去统计一篇约含200个字母的英文文章时,那么字母E出现的频率一定非常接近10.5%.7.儿童节期间,某公园游戏场举行一场活动.有一种游戏规则是:在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色外,其他都相同)的不透明袋中,随机摸1个球,摸到1个红球就得到一个玩具.已知参加这种游戏的儿童有40000人,公园游戏场发放玩具8000个.(1)求参加此次活动得到玩具的频率;(2)请你估计袋中白球的数量接近多少?★8.小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做抛掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:朝上的点数123456出现的次数79682010(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.(2)小颖说:“根据试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果抛掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗?为什么?(3)小颖和小红各抛掷一枚骰子,用列表的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率.二、创新应用★9.小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别为2m和3m的同心圆(如图),蒙上眼在一定距离外向大圆内掷小石子,掷中阴影部分小红胜,否则小明胜,未掷入大圆内不算,你来当裁判.(1)你认为游戏公平吗?为什么?(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方案,解决这一问题.(要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式)知能演练·提升一、能力提升1.D2.B3.12004.15.0.8816.分析根据试验频率近似地等于概率的前提条件进行判断.解(1)正确.理由:本次大规模的统计是可信的,故试验频率近似地等于概率.(2)不正确.理由:含200个字母的英文文章中的字母E的使用频率与英文文献中字母E的使用频率不是等价的,只能用试验的方法去求得.7.解(1)参加此项游戏得到玩具的频率mn=8(2)设袋中共有x个球,则摸到红球的概率P(红球)=8x.从而8解得x=40,故白球接近40-8=32(个).8.解(1)“3点朝上”出现的频率是660=110;“5点朝上(2)小颖的说法是错误的.这是因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大.只有当试验的次数足够多时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.小红的说法也是错误的,因为事件发生具有随机性,故“6点朝上”的次数不一定是100次.(3)列表如下小颖抛的点数小红抛掷的点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112P(点