第七章 §7.5　空间直线、平面的垂直

数学

大一轮复习垂直01§7.5空间直线、平面的垂直1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识02单击此处添加章节副标题1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的

垂直，那么该直线与此平面垂直

两条相交直线

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的

所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是

；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

.(2)范围：

.射影90°0°

3.二面角(1)定义：从一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作___________的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：

.两个半平面垂直于棱l[0，π]4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的

，那么这两个平面垂直

垂线

文字语言图形表示符号表示性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的

，那么这条直线与另一个平面垂直

交线

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.(

)(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(

)××√×2.(2024·惠州模拟)已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC.若l∥α，α⊥β，则l⊥βD.若l⊥α，l∥β，则α⊥β√由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知，在A中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.3.(多选)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法正确的是A.PA⊥平面ABCB.BC⊥平面PACC.AC⊥平面PBCD.三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形√√√因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，故B正确；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；假设AC⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，故C错误.

1.灵活应用两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.掌握三种垂直关系的转化线线垂直

线面垂直

面面垂直返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题

题型一直线与平面垂直的判定与性质

(2)求四棱锥P－ABCE的体积.

证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.思维升华跟踪训练1

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.题型二例2

(2023·全国甲卷改编)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；平面与平面垂直的判定与性质因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)设AC＝1，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.如图，过点A1作A1O⊥CC1于点O.因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O.因为A1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1C⊥AC，又A1C1∥AC，所以A1C⊥A1C1，

(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.思维升华

又BA1⊂平面ABB1A1，∴BA1⊥AC.又∵AA1∩AC＝A，且AC，AA1⊂平面ACC1A1，∴BA1⊥平面ACC1A1，又∵BA1⊂平面BA1C，∴平面BA1C⊥平面ACC1A1.题型三

√√√垂直关系的应用

cosθ＝cosθ1·cosθ2的应用已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平面α内的射影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直线AB所成的角为θ1，AB与AC所成的角是θ2，AO与AC所成的角为θ，则cosθ＝cosθ1·cosθ2.微拓展典例已知PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC＝60°，则PA与平面α所成的角为

.

45°

(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)求线面角的关键是找到平面的垂线，有了垂线即可有射影，斜线与它在平面内的射影所成的角即为线面角.(3)求二面角的关键是找其平面角，要注意二面角的范围是[0，π].思维升华

√√√

返回课时精练04单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号1234567答案ABADABDABC平行题号81112答案B对一对答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，连接A1G并延长，交BC于点D，连接AD，由G为△A1BC的重心，得D为BC的中点.由AB＝AC，A1A＝A1A，∠A1AB＝∠A1AC，得△A1AB≌△A1AC，则A1B＝A1C，因此AD⊥BC，A1D⊥BC，10.答案123456789101112又AD∩A1D＝D，AD，A1D⊂平面A1AD，于是BC⊥平面A1AD，而A1A⊂平面A1AD，则BC⊥A1A，又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC.10.答案123456789101112(2)由A1A＝AB＝2，∠A1AB＝60°，得△A1AB为正三角形，同理△A1AC也为正三角形，则A1B＝A1C＝BC＝2，从而三棱锥A－A1BC的所有棱长均为2，该四面体为正四面体，10.答案123456789101112由G为△A1BC的重心，得AG⊥平面A1BC，在菱形ACC1A1中，AC1过A1C的中点，即直线AC1与平面A1BC的交点为A1C的中点，因此G不在直线AC1上，又C1P⊥平面A1BC，所以AG∥C1P.10.一、单项选择题1.(2025·邯郸模拟)已知α，β是不重合的两个平面，m，n是两条直线，且α⊥β，m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件123456789101112知识过关答案√123456789101112答案用平面ADFE代表平面α，平面ABCD代表平面β，当m⊥n如图所示时，显然m与平面β不垂直，反之，当m⊥β时，又n⊂β，根据线面垂直的性质有m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件.123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在A.直线AB上

B.直线BC上C.直线AC上

D.△ABC内部由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.√123456789101112答案4.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA√123456789101112答案由题意知SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB⊂平面SBD，故AC⊥SB，A正确；SD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故SD⊥AD，123456789101112答案又四棱锥S－ABCD的底面为正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD＝D，SD，CD⊂平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，故AD⊥SC，B正确；由于AC⊥平面SBD，AC⊂平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正确；123456789101112答案SD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA＝S，SD，SA⊂平面SAD，故BD⊥平面SAD，AD⊂平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA＝90°，这与正方形ABCD中∠BDA＝45°矛盾，D错误.123456789101112答案二、多项选择题5.(2025·广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则下列命题不正确的是A.若α⊥γ，β⊥γ，则l∥mB.若l∥m，则α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，则l⊥mD.若l⊥m，则α⊥β√√√123456789101112答案若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；若l⊥m，则α与β相交，不一定是垂直，故D错误.123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

三、填空题7.已知△ABC，若直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是

.

123456789101112答案依题意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l∥m.平行123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答题9.(2024·绵阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，且AB＝2CD＝2AD＝2BC＝2AP＝2.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；123456789101112答案

123456789101112答案(2)证明：平面PAC⊥平面PBC.123456789101112答案

123456789101112答案10.(2024·淮安模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，G为△A1BC的重心，∠A1AB＝∠A1AC＝60°.(1)求证：B1B⊥BC；123456789101112答案在三棱柱ABC－A1B1C1中，连接A1G并延长，交BC于点D，连接AD，由G为△A1BC的重心，得D为BC的中点.由AB＝AC，A1A＝A1A，∠A1AB＝∠A1AC，得△A1AB≌△A1AC，则A1B＝A1C，因此AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD，A1D⊂平面A1AD，于是BC⊥平面A1AD，而A1A⊂平面A1AD，则BC⊥A1A，又A1A∥B1B，所以B1B⊥BC.123456789101112答案(2)已知A1A＝2，P∈平面ABC，且C1P⊥平面A1BC.求证：AG∥C1P.123456