-2025年浙江省衢州市开化县重点高中自主招生 数学 试卷 （学生版+解析版）

-2025年浙江省衢州市开化县重点高中自主招生数学试卷温馨提醒：1、试卷有3大题，共19小题；本卷满分120分.2、答题时不得使用计算器.一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分)值是()A.13B.15C.17A.m>9B.m≥9取值范围是()A74°B.75°C.76°4.如图，已知BD⊥AC,垂足为点C,BD=BA,且AC=5,DC=1,则BC=()A.86.两个数x、y,定义：,若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是()A.7≤m<8B.8≤m<9C.7<m≤87.如图，在□OABC中，点D为AB的中点，反比例函数的图象经过C和D.若□OABC的面积为6,则k的值为()A.2B.4C.68.如图，已知VABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,点D在AB上，点E在BC延长线上，且DB=DE=4,作AF⊥DE于点F,连结CF,则CF的最小值为()A.√3-1B.√5-1C.√3二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.)9分解因式a³-3a²+2a11.已知关于x的不等式组的解集为-1<x<2,则(m+n)²⁰25=13.如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=6,AE为∠BAD的平分线，点F为AE上一动点，点P为14.如图，A,B是抛物线y=x²上两点，点P为AB的中点，过P作x轴的垂线，交抛物线于PQ=3.设A,B两点的横坐标分别为x,x₂(x₂>x).则x₂-x₁的值为15.若对于任意两数a,b(-1<a<1,-1<b<1),定义一种运(2)试探索运算“*”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由.16.若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根为x₁、x₂,且满足，x₂-x₁=2,那则称这样的方程为“和谐方程”.例如，方程x²-2x=0的两个根是x₁=0,x₂=2,则方程x²-2x=0是“和谐方程”.(1)方程x²-8x+15=0是“和谐方程”吗?判断并说明理由；(2)若关于x一元二次方程x²+4x+c=0是“和谐方程”,求C的值.图1图2图3(1)如图1,点D在VABC内，求证：AD⊥BE;(2)如图2,A,D,E三点在同一条直线上，若CB=13,DE=10,求△ACD的面积；(3)如图3,若AB=a,点D在边AB上运动，则VBDE周长的最小值为.(结果用a表示)18.已知二次函数y=x²+2ax+1(-1≤x≤1),记y的最大值为M,最小值为N.19.定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”.(1)如图1,四边形ABCD是“近似矩形”,∠ABC=90°,BD=4,AB=3,求BC的值.(2)如图2,在四边形ABCD中，点B是0上的点，AC是○0的直径，AD,BD,CD分别与○0交于点E,F,G,连结CE,若CE平分∠ACD,FB=CG,①如图3,若BD⊥AC,求∠BCE的度数；②求证：四边形ABCD是“近似矩形”.2025年浙江省衢州市开化县重点高中自主招生数学试卷温馨提醒：1、试卷有3大题，共19小题；本卷满分120分.2、答题时不得使用计算器.一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、错选均不给分)1.的值是()【答案】C【解析】式成为解题的关键.即2.若分式·总有意义，则m的取值范围是()【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键.分式有意义的条件是分母不为零.即分母x²-6x+m恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可.∴△=(-6)²-4×1×m=36-4m<0,解得m>9.故选A.【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据勾股定理逆定理得∠BOC=90°,根据圆周角定理得再根据三角形外角的性质得∠AEC>∠D,即可得出答案.【详解】解：如图，设CD与○0交于点E,连接OC,OE,4.如图，已知BD⊥AC,垂足为点C,BD=BA,且AC=5,DC=1,则BC=()【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设BD=BA=x,可得BC=x-1,在Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解即可.【详解】解：设BD=BA=x,解得：x=13,5.设0<k<1,关于x的一次函数当1≤x≤2时，y的最大值是().【解析】【分析】本题考查一次函数的性质，确定一次函数的增减性质是解题的关键.先把一次函数的解析式整理为,再根据不等式的性质确定最后根据一次函数的增减性求解即可.【详解】解：6.两个数x、y,定义：,若关于正数x不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是()【解析】是解题的关键.根据定义将函数F(x,y)表示|x-y|,再将不等式组转化为绝对值不等式，然后再结合解集要求恰好有2个整数解确定m的求值范围即可.【详解】解：∵F(x,1)>4,当0<x<1时，由x-1>4可得：x<-3(无解).F(x,1)>4的解集为x>5.∵不等式组恰好有2个整数解，∴整数为6和7.故选：B.面积为6,则k的值为()【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，三角形的中位线相关知识，反比例函数的图象，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键.设(n>m>0),,连接CD并延长交x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于F,过点C作CG⊥x轴于G,利用平行四边形的性质证明BCD≌△AED,推出AE=BC=OA,CD=ED,再利用三角形的中位线相关知推出EF=FG,结合点C,D的坐标可得n=2m,,最后利用平行四边形OABC的面积为6,求出k的值.【详解】解：如图，连接CD并延长交x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于F,过点C作CG1x轴于G,∵点C,D在反比例函数)的图象上，∵平行四边形OABC的面积为6,∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC,OA//BC,即BC//OE,又D为AB的中点，可得BD=AD,∴BCD≌AED(AAS),又CD=ED,即D为CE的∴F为GE的中点，即EF=FG,,代入,可得k=4,8.如图，已知VABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,点D在AB上，点E在BC延长线上，且DB=DE=4,作AF⊥DE于点F,连结CF,则CF的最小值为()A.√3-1B.√5-1【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定EF的表达式是解题的关由CF²=NF²+CN²,即可求解.【详解】解：过点F作FN⊥EB于点N,设DE交AC于点R,过点R作RH⊥FH于点H,设DA=x,则贝故选：C二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.)【解析】【分析】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式.先提公因式a,再利用十字相乘法分解即可.故答案为：a(a-2)(a-1).10.已知,则n=【解析】【分析】本题考查了乘法的意义，积的乘方，同底数幂的除法，先根据乘法的意义得逆用同底数幂的乘法法则然后利用同底数幂的除法法则即可求解.【详解】∵∴2-¹=2”故答案为：-1.11.已知关于x的不等式组的解集为-1<x<2,则(m+n)²⁰²⁵=_·【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程组以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于m、n的方程组是解题的关键.先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集列出关于m、n的方程组，然后求出m、n的值，最后代入代数式进行计算即可得解.【详解】解：解不等式组∵解集为-1<x<2,故答案为：-1.【答案】2024【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.先变形已知条件2a+1=√5,两边平方变形得到a²=1-a,所以a³=a(1-a)=2a-1,然后利用降次的方法计算.【详解】解：故答案为：2024.的中点，连接PB,则PB的最小值是_·【解析】【分析】通过矩形性质以及角平分线推导△ABE为等腰直角三角形，再根据中位线定理分析动点轨迹，根据动点运动到特殊点最终结合垂线段最短求出最小值.【详解】解：矩形ABCD中，AD=12,AB=6,AE平分∠BAD,因此∠BAE=45°,在△ABE中，∠ABE=90°,∠BAE故ABE是等腰直角三角形，即AB=BE=6,根据中位线定理，当F在直线AE上运动时，P的轨迹是一条平行于AE的线段1,取AE的两个特殊点：当F运动到点A时，P是AD的中点，记为M;当F运动到点E时，P是DE的中点，记为N,连接M、N,N(P)BE(F)C则线段MN即为P的轨迹，且MNIIAE,MN⊥DE,要使PB最小，需PB⊥MN,即BM⊥MN,所以PB的最小值是即为BM的长度，最短原理是解决本题的关键.14.如图，A,B是抛物线y=x²上两点，点P为AB的中点，过P作x轴的垂线，交抛物线于点Q,PQ=3.设A,B两点的横坐标分别为x,x₂(x₂>x).则x₂-x的值为【解析】【分析】本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点P,Q的坐标是解题的关键.将点Q的坐标代入抛物线表达式得：,解得：2x₁x₂=x²+x²-12,即可求解.【详解】解：由题意得，点A,B的坐标分别为：(x,x),(x₂,x²),则点,点将点Q的坐标代入抛物线表达式得：解得：2x₁x₂=x²+x²-12,三、解答题(本题共5题，共58分.)15.若对于任意两数a,b(-1<a<1,-1<b<1),定义一种运算“*”,使得(2)试探索运算“*”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由.【答案】(1)(2)满足结合律，见解析【解析】【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.(1)把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可；(2)把相应的值进行结合律运算，再比较即可.【小问1详解】【小问2详解】将,b=c代入运算规则可得：,所以(a*b)*c=a*(b*c),运算“*”满足结合律.16.若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根为X₁、x₂,且满足，x₂-x₁=2,那则称这样的(1)方程x²-8x+15=0是“和谐方程”吗?判断并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程x²+4x+c=0是“和谐方程”,求C的值.【答案】(1)是，理由见解析【解析】(1)先解方程x²-8x+15=0,再结合新定义可得答案；(2)根据根与系数的关系以及新定义可得x₁-x₂=2,x₁+x₂=-4,x₁x₂=c,再进一步求解即可.【小问1详解】解：∵x²-8x+15=0,解得x₁=5,x₂=3,【小问2详解】解得：c=3;经检验符合题意.E(3)如图3,若AB=a,点D在边AB上运动，则VBDE周长的最小值为.(结果用a表示)【答案】(1)见解析(2)【解析】△ACD≌△BCE是解题的关键.(2)由等腰直角三角形的性质可求CN=5,由勾股定理可求AD的长，即可求解；(3)由CBDE=a+√2CD,即CD有最小值值，由等腰直角三角形的性质可求解.【小问1详解】证明：如图1,延长AD交BE于H,【小问2详解】解：如图2,过点C作CNIAE于N,∵△DEC是等腰直角三角形，CN⊥DE,∴BE=7或BE=-7(舍去),【小问3详解】解：由(1)可知：AD=BE,18.已知二次函数y=x²+2ax+1(-1≤x≤1),记y的最大值为M,最小值为N.【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，涉及二次函数的性质、分类讨论思想以及不等式恒成立的条件.(2)先求出二次函数顶点坐标为(-a,-a²+1),分-1≤a≤1,a>1或a<-1分别讨论即可；(3)根据(2)中最值解答即可.【小问1详解】解：当a=-2时，函数为y=x²-4x+1,故M=6,N=-2,M-N=6-(-2)=8.小问2详解】解：二次函数y=x²+2ax+1(-1≤x≤1)的对称轴为直线顶点坐标为(-a,-a²+1),情况1:-1≤-a≤1,即-1≤a≤1,最小值N=-a²+1;-a到1距离更远时，最大值M=2+2a,M-N=2+2a-(-a²+1)=a²+2a+1=2,-a到-1距离更远时，最大值M=2-2a,M-N=2-2a-(-a²+1)=a²-2a+1=2,解得：a=√2+1(舍去)或a=-√2+1.情况2:a>1或a<-1,则M-N=4a=2,解得：a=0.5