第3章立体的投影及表面交线

第三章立体的投影及表面的交线3.1基本几何体的投影3.2立体表面的截交线3.3立体表面的相贯线化工制图微信掌握常用平面立体和曲面立体的投影；平面体截交线及圆柱、圆锥、球截交线的概念、基本性质、形状特点和相贯线的概念、基本性质及曲面立体的相贯线分析方法和作图方法。教学目的及教学要求六棱柱螺栓三棱锥圆柱圆锥球体圆环3.1基本几何体的投影基本几何体平面立体曲面立体完全由平面围成的立体，称为平面立体。由曲面（回转面）或曲面（回转面）与平面所围成的立体，称为回转体。六棱柱螺栓三棱锥圆柱圆锥球体圆环3.1.1三视图的形成及对应关系1、三视图的形成VHW长对正高平齐宽宽XYZVWH宽相等2、投影对应关系VHW长对正高平齐宽宽主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长对正宽相等高平齐宽相等“三等”原则是三视图的重要特性，也是画图和读图的依据！3、方位对应关系VHW上下左右后前上下前后左右

主视图反映：上、下；左、右

俯视图反映：前、后；左、右

左视图反映：上、下；前、后3.1.2平面立体的投影1、棱柱棱柱是由两个底面和若干个侧面围成的。相邻侧面的交线称为棱线，各棱线相互平行，顶面和底面为多边形。斜棱柱直棱柱其他形式直棱柱正棱柱棱柱棱线不与底面垂直的棱柱。底面为正多面性的直棱柱。棱线垂直于底面的棱柱底面为特征面（a)直观图（b)投影作图正六棱柱三视图作图（1）棱柱的三视图绘制三视图的画法:先画反映底面特征的多边形三视图；再根据投影规律画出各侧面和棱线的三视图。三视图的特点:

与特征面平行的投影面上的视图反映特征面实形的多边形；其余两个投影则有由若干矩形组成。（2）棱柱表面取点已知正六棱柱面上点M的V面投影m′及N点的H面投影n，求该两点在另两个投影面上的投影。（b)投影图m

a(d)b(c)a′d′b′c′n分析：(1)确定点所在的平面，并分析该平面的投影特性；（2）再根据投影规律画出其余两个投影面上的投影。123（2）棱柱表面取点已知正六棱柱面上点M的V面投影m′及N点的H面投影n，求该两点在另两个投影面上的投影。（a)直观图（b)投影图m

a(d)b(c)a′d′b′c′mm

nn'n

MABDCdm

m

m五棱柱作图步骤：画底面和顶面的投影画五条棱线的投影判别可见性2、棱锥棱锥由一个底面和若干个三角形侧面组成，侧面汇交于一点（称为锥顶），底面为特征面。当棱锥底面为正多边形，各侧面为全等的等腰三角形时，称为正棱锥。（1）棱锥的三视图绘制三视图的画法:先画底面的各个投影；再画锥顶的三个投影；最后连接各棱线的同面投影即画出棱锥三视图。作图YXZs"Ss'b'c'ACBb"a"bcsaa'O(c")(a)直观图(b)投影aba′b′c′ca"(c")b"正三棱锥的投影s"ss′三视图的特点:

与特征面平行的投影面上的视图反映特征面实形的多边形，锥顶的投影与底面的各顶点直线相连，另两个视图由若干三角形组成。b'a's'c'sabc(c")a"b"s"(b)投影m

n(n

)n

mm

正三棱锥柱面上取点分析：（1）确定点所在的平面，并分析该平面的投影特性；（2）再根据投影规律画出其余两个投影面上的投影。（2）棱锥表面取点已知正三棱锥面上点M的V面投影m′及N点的H面投影n，求该两点在另两个投影面上的投影。(a)直观图(d')四棱锥作图步骤：画底面的投影画锥顶的投影画四条棱线的投影（）（）3.1.3曲面立体的投影曲面立体（回转体）

由回转面或回转面与平面所围成的立体，称曲面立体。由一条母线（直线或曲线）绕轴线回转而形成的表面，称为回转面。回转体的投影绘制方法：在投影面上把组成回转体的回转面或平面与回转面表示出来，并判别其可见性。圆柱圆锥球体圆环运动的线（直线或曲线）固定的线（直线）素线——母线位于回转面任一位置时的线。1、圆柱圆柱面可看成是由一条直线（母线）绕与它平行的轴线回转一。如图所示，OO

1

称为轴线，直线AA1称为母线，母线回转的任一位置称为素线。OO1AA1O1A圆柱体由两个互相平行且相等的圆平面和一个圆柱面组成。顶面底面圆柱面（1）圆柱体三视图三视图的特点:

与底面平行的投影面上的视图为圆，另两个视图为大小相等的矩形。圆柱的投影※必须绘制对称中心线三视图的画法：

先画出形状为圆的视图，再画出其他两个视图（转向轮廓线）。m'mm"(

)nn'(n")分析：①确定点所在位置；②分析该平面的投影特性；③再根据投影规律画出其余两个投影面上的投影。

圆柱面上M点和N点正面投影，求水平投影和侧面投影。（2）圆柱体表面上取点2、圆锥圆锥面是由一条直母线绕着与它相交的轴线旋转而形成的。圆锥体的表面由圆锥面和底面圆组成。底面圆锥面圆锥体（1）圆锥体三视图三视图的画法：

先画出底面圆的各个投影，再画出锥顶的投影，然后分别画出其他两个视图（转向轮廓线）。三视图的特点:与底面平行的投影面上的视图为圆，另两个视图为大小相等的三角形。圆锥的投影（2）圆锥体表面上取点aa"A(a)(b)

已知圆锥上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。a'a"sAba辅助素线(c)(d)b"b'作图方法1：辅助素线法已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。Saa"A辅助纬圆(a)(b)作图方法2：辅助纬圆法EFf'e'3、球体球面可看成一条半圆母线绕其直径回转一。三视图的特点:三视图皆为与圆球直径相等的圆。三视图的画法：

作图时先画出各视图的中心线，再画出直径相等的圆。（1）圆锥体三视图（2）球体表面上取点

已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。a"Aa辅助纬圆(a)(b)用辅助正平圆作图辅助纬圆Aaa"

球面上取点(c)(d)第三章立体的投影及表面的交线3.1基本几何体的投影3.2立体表面的截交线3.3立体表面的相贯线3.2立体表面的截交线

较复杂立体，如带缺口的平面立体，可以看成是基本立体被单个或多个截平面截切后形成的。

平面截切几何体而产生的交线，称为截交线；该平面称为截交面；截交线围成的图形称为截断面；被截平面截切之后的立体称为截切体。CDBA截交线截交面截切体截交线性质（1）共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面，是截平面与立体表面的共有线段。（2）封闭性：截交线是封闭的平面图形。截交线形状取决于几何体表面的性质及截平面相对几何体的位置。如图，截交线的顶点是平面立体的棱线（或底边）与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线。截交线求法首先，求出截交面和几何体表面共有的点。然后，用直线或曲线将这些点连接起来，即可得到截交线。3.2.1平面切割平面立体

求截平面与立体棱线的交点或截平面与立体表面的交线。★求平面立体截交线的实质：

分析截平面与立体的相对位置

分析截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性1.空间及投影分析2.画出截交线的投影

求出截平面与棱线的交点(或截平面与棱面的交线），判断可见性。

依次连接成多边形。确定截交线的形状★求截交线的步骤：3.完善轮廓例1：求正四棱锥被一正垂面P截切后的投影。正四棱锥被一正垂面截切(a)题图1、分析：形体分析与投影分析；ABCD(a)截切体abca"c"b"(d')dd"a'b'c'①求正垂面与立体的交线ABCD2、作图：abca"c"b"(d')dd"a'b'c'(c)整理、加深②整理、加深ABCD(d)检查、完成ABCDabcda"c"b"(d')d"a'b'c'③检查、完成例2：已知正六棱锥被两侧平面和一水平面截切，补画三视图。

求截交线

完善轮廓

检查

注意截交线投影的类似性注意可见性

空间分析和投影分析3.2.2平面切割曲面立体求截平面与曲面上素线的交点(表面取点)，然后依次光滑连接。★求回转体截交线的实质：★求截交线的步骤：

⒈分析

分析回转体的形状、截平面的相对位置。

分析截平面、回转体投影特性。如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：

光滑连接各点，并判断截交线的可见性。

先找特殊点（素线投影上的点和极限位置点）。确定截交线的形状确定截交线的投影特性

补充一般点。3.完善轮廓。1、平面与圆柱相交

由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种不同的形状。截平面位置截交线形状立体图投影图例1：分析如图所示的开槽圆柱，画其三视图。1

(2

)211

2

12341'2'(4')3'1341"2"3"4"(6')5'66"5"（b)7'(8')87"8"(a)题图分析：空间分析与投影分析；②找特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影③作一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影④光滑连线ⅠⅧⅥⅤⅣⅡⅢⅦ①作圆柱体的三视图作图步骤:

例2：求圆柱被一正垂面P截切后的投影。椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。45°什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。

﹥45°

﹤45°虚实分界点例3：求左视图。2、平面与圆锥相交

根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。例1：求圆锥被一正垂面P截切后的投影。作图1求出截交线上的特殊点；2求出一般点；3光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4整理轮廓线。例2：求如图所示形体的三视图。1)找特殊点2)补充中间点3)依次光滑连接各点2:求正垂截面与立体的交线1)找特殊点2)补充中间点3)依次光滑连接各点并整理4)作水平面与立体的其他交线并整理1:求水平面与立体的交线31524平面与圆锥相交342153’2’(4’)1’(5’)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”具体步骤如下：例3:圆锥被水平面截切。3、平面与圆球相交

用一截平面切割球，所形成的截交线都是圆。当截平面为投影面平行面时，截交线在该投影面上的投影为圆，其余两面投影积聚为直线，线段的长度等于截交线圆的直径。球被水平面截切的三视图

当截平面与某一投影面垂直时，截交线在该投影面上的投影集聚为直线，在其他两投影面上投影均为椭圆。1‘2‘3‘4‘2(1)(2”)1”4433”4”4”5”555”5”分析:形体与投影分析;

QP作图:①完成平面P的投影②完成平面Q的投影例1：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。第三章立体的投影及表面的交线3.1基本几何体的投影3.2立体表面的截交线3.3立体表面的相贯线3.3立体表面的相贯线

在机器上常出现两立体相交的情况。两立体相交称为相贯，相贯时两立体表面产生的交线称为相贯线，参与相贯的立体称为相贯体。相贯线也为两立体的分界线。相贯线的特性

（1）表面性：相贯线位于两立体的表面上。

（2）共有性：相贯线是互相贯穿的两个形体表面的共有线，也是两个相交形体的表面分界线；

（3）封闭性：相贯线一般为封闭光滑的空间曲线，特殊情况可能为不封闭的空间曲线，也可能为平面曲线或直线。相贯线为封闭的空间曲线(b)相贯线为不封闭的空间曲线(d)相贯线为直线(c)相贯线为平面曲线相贯线的画法（1）利用积聚性求相贯线两圆柱相贯或圆柱与其它回转体相贯时，如果圆柱的轴线垂直于投影面，则圆柱面在这个投影面上的投影具有积聚性。（2）辅助平面法求相贯线辅助平面法的原理是用一个截平面依次截切两个相贯的物体，所得的截交线必有几点处于三面共点的位置。作图步骤：求特殊点作中间点判断可见性光滑连线共有线共有点3.3.1回转体同轴相交两个回转体具有公共轴线时——相贯线为圆3.3.2回转体正交两回转体轴线垂直相交——正交两回转体轴线垂直交叉——偏交两回转体轴线倾斜相交——斜交（利用积聚性求相