坐标系统转换与计算试题及答案

坐标系统转换与计算试题及答案坐标系统转换与计算试题一、选择题（每题3分，共30分）1.在笛卡尔直角坐标系中，点P(1,1,1)到原点O的距离为（）A.√3B.3C.1D.√22.极坐标(r,θ)转换为笛卡尔直角坐标(x,y)的正确公式是（）A.x=rcosθ,y=rsinθB.x=rsinθ,y=rcosθC.x=r/θ,y=rθD.x=r²cosθ,y=r²sinθ3.柱坐标系(ρ,φ,z)中，ρ表示（）A.点到z轴的距离B.点到x轴的距离C.点到y轴的距离D.点到原点的距离4.球坐标系(r,θ,φ)中，θ通常表示（）A.方位角（与x轴夹角，0~2π）B.仰角（与xy平面夹角，-π/2~π/2）C.极角（与z轴夹角，0~π）D.方位角（与y轴夹角，0~π）5.大地坐标系中的经度λ、纬度φ、大地高h对应的参考椭体是WGS84时，其长半轴a和扁率f约为（）A.a=6378137m,f=1/298.257223563B.a=6371000m,f=1/298.257C.a=6378140m,f=1/298.3D.a=6370000m,f=1/2956.已知地心直角坐标ECEF(X,Y,Z)=(3326.578m,4567.892m,2890.123m)，将其转换为大地坐标(λ,φ,h)时，第一步通常计算（）A.大地高hB.经度λC.纬度φ的初值φ₀D.扁率f7.站心坐标系（局部坐标系）中，东北天(ENU)坐标系与地心直角坐标系(ECEF)的转换，需要已知（）A.站心点的经纬度B.站心点的高程C.站心点的大地坐标D.站心点的直角坐标8.下列坐标转换中，属于线性变换的是（）A.笛卡尔直角坐标→极坐标B.笛卡尔直角坐标→柱坐标C.笛卡尔直角坐标（平移+旋转）→新笛卡尔直角坐标D.大地坐标→地心直角坐标9.在二维平面中，点P(x,y)绕原点逆时针旋转α角后的新坐标(x',y')为（）A.x'=xcosα-ysinα,y'=xsinα+ycosαB.x'=xcosα+ysinα,y'=-xsinα+ycosαC.x'=x+ycosα,y'=y+xsinαD.x'=xcosα,y'=ysinα10.大地坐标系中的正常高H_normal与大地高H_ellipsoid的关系为（）A.H_ellipsoid=H_normal+ζ（高程异常）B.H_normal=H_ellipsoid+ζC.H_ellipsoid=H_normal+N（大地水准面差距）D.H_normal=H_ellipsoid+N二、填空题（每空2分，共20分）1.笛卡尔直角坐标系中，两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)的距离d=________________。2.柱坐标(ρ,φ,z)转换为笛卡尔直角坐标(x,y,z)的公式为：x=__________，y=__________，z=__________。3.球坐标(r,θ,φ)中，r表示点到原点的距离，θ通常表示________________（与z轴夹角，0≤θ≤π），φ表示________________（与x轴夹角，0≤φ<2π）。4.大地坐标系(λ,φ,h)转换为地心直角坐标系(X,Y,Z)时，X=__________（N+h）cosφcosλ，其中N为__________，a为参考椭球长半轴，e为第一偏心率。5.站心东北天(ENU)坐标系中，E轴指向正东，N轴指向正北，U轴指向正天顶。某站在地心直角坐标系中的坐标为(X₀,Y₀,Z₀)，站内一点P的地心坐标为(X,Y,Z)，则P在ENU坐标中的东向坐标e=________________（需用向量叉积或旋转矩阵表达）。6.高斯-克吕格投影中，中央经线投影为直线，且长度比m=__________（无变形）；除中央经线外，长度比m__________1（填“>”“<”或“=”）。7.已知点P的极坐标为(5,π/3)，则其笛卡尔直角坐标为(__________,__________)。三、判断题（每题2分，共20分）1.极坐标(r,θ)中，r可以为负值，此时点位于θ+π方向的反向延长线上。（）2.柱坐标系中的ρ与球坐标系中的r均表示点到原点的距离。（）3.大地坐标系中的纬度φ是地面点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角，范围[-π/2,π/2]。（）4.地心直角坐标系(ECEF)与站心坐标系(ENU)之间的转换可以通过平移和旋转实现，其中旋转矩阵与站心点的经纬度无关。（）5.在二维坐标旋转中，顺时针旋转α角与逆时针旋转-α角的结果相同。（）6.大地高h是地面点沿参考椭球法线方向到椭球面的距离，可以为负。（）7.球坐标系(r,θ,φ)转换为笛卡尔直角坐标时，x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ。（）8.高斯投影中，同一纬线上，离中央经线越远，长度变形越大。（）9.笛卡尔直角坐标系中的三个坐标轴单位长度必须相同，否则无法进行距离计算。（）10.大地坐标系中的经度λ是本初子午面与地面点所在的子午面之间的夹角，范围[-π,π]或[0,2π]。（）四、计算题（每题10分，共30分）1.已知点P的笛卡尔直角坐标为(3,4,0)，求：(1)点P的极坐标(r,θ)（二维，z=0平面）；(2)点P的柱坐标(ρ,φ,z)；(3)点P的球坐标(r,θ,φ)。2.已知WGS84椭球参数：长半轴a=6378137m，扁率f=1/298.257223563，第一偏心率e²=0.00669437999014。某点的大地坐标为：经度λ=120°30'00''E，纬度φ=30°15'00''N，大地高h=100m。求该点的地心直角坐标(X,Y,Z)。（提示：先计算N=a/√(1-e²sin²φ)，再代入公式计算）3.已知站心点O的地心直角坐标ECEF为(X₀,Y₀,Z₀)=(3000m,4000m,5000m)，其大地坐标为(λ₀,φ₀,h₀)（无需具体计算）。站内一点P的地心坐标为(X,Y,Z)=(3100m,4200m,5100m)。假设ENU坐标系与ECEF的旋转矩阵为R（已知R可通过λ₀,φ₀计算），求P在站心ENU坐标系中的坐标(e,n,u)。（注：可写出旋转矩阵R的表达式，或直接给出e,n,u的计算公式，无需代入具体数值）五、应用题（每题10分，某20分）1.某GPS接收机在地面测得某目标点的地心直角坐标为ECEF(X,Y,Z)=(-3456789.123m,4567890.456m,3789456.789m)。已知测站（接收机）的大地坐标为(λ₀,φ₀,h₀)=(116°23'45''E,39°54'30''N,50m)。要求将目标点坐标转换为以测站为中心的东北天(ENU)站心坐标，以便确定目标相对于测站的方位角和仰角。请给出转换步骤，并计算目标点的ENU坐标(e,n,u)。（需给出旋转矩阵的具体表达式，或分步计算公式）2.某无人机在二维平面（笛卡尔直角坐标系）中初始位置为(10,20)，先沿x轴正方向平移5个单位，再绕原点逆时针旋转30°，最后沿y轴负方向平移3个单位。求无人机最终的位置坐标。(注：平移和旋转均为坐标变换，需按顺序计算)参考答案一、选择题1.A2.A3.A4.C5.A6.C7.D8.C9.A10.C二、填空题1.√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]2.ρcosφ；ρsinφ；z3.极角（与z轴夹角）；方位角（与x轴夹角）4.(N+h)cosφcosλ；卯酉圈曲率半径5.[(X-X₀),(Y-Y₀),(Z-Z₀)]·(R·e₀)（其中e₀为E轴在地心坐标系中的单位向量，R为旋转矩阵）6.1；>7.2.5；4.330（或5×cos(π/3)=2.5；5×sin(π/3)=5×(√3/2)≈4.330）三、判断题1.√2.×（柱坐标ρ是到z轴距离）3.√4.×（旋转矩阵与站心点的经纬度相关）5.√6.√7.√8.√9.×（笛卡尔坐标系单位长度可不同，此时为仿射坐标系，但通常默认单位长度相同）10.√四、计算题1.解：(1)二维极坐标（z=0）：r=√(3²+4²)=5，θ=arctan(4/3)≈53.13°（或0.927rad）(2)柱坐标：ρ=√(3²+4²)=5，φ=arctan(4/3)≈53.13°，z=0(3)球坐标：r=√(3²+4²+0²)=5，θ=arccos(z/r)=arccos(0)=90°（π/2rad），φ=arctan(4/3)≈53.13°2.解：(1)将φ=30°15'00''=30.25°转换为弧度：φ=30.25×π/180≈0.528rad(2)计算sinφ=sin(30.25°)≈0.5038，sin²φ≈0.2538(3)计算N=a/√(1-e²sin²φ)=6378137/√(1-0.00669438×0.2538)≈6378137/√0.99830≈6388753.123m(4)计算λ=120°30'00''=120.5°，转换为弧度：λ=120.5×π/180≈2.103rad(5)计算X=(N+h)cosφcosλ=(6388753.123+100)×cos(30.25°)×cos(120.5°)≈6388853.123×0.8636×(-0.5075)≈-2823465.789m(6)计算Y=(N+h)cosφsinλ≈6388853.123×0.8636×sin(120.5°)≈6388853.123×0.8636×0.8616≈4765210.345m(7)计算Z=(N+h)(1-e²)sinφ≈6388853.123×(1-0.00669438)×0.5038≈6388853.123×0.9933×0.5038≈3198765.432m故地心直角坐标≈(-2823465.789m,4765210.345m,3198765.432m)3.解：站心ENU坐标与地心ECEF坐标的转换公式为：\[\begin{bmatrix}e\\n\\u\end{bmatrix}=\mathbf{R}\cdot\begin{bmatrix}X-X_0\\Y-Y_0\\Z-Z_0\end{bmatrix}\]其中旋转矩阵R为：\[\mathbf{R}=\begin{bmatrix}-\sin\lambda_0\cos\lambda_00\\-\sin\phi_0\cos\lambda_0-\sin\phi_0\sin\lambda_0\cos\phi_0\\\cos\phi_0\cos\lambda_0\cos\phi_0\sin\lambda_0\sin\phi_0\end{bmatrix}\]代入数据：ΔX=X-X₀=3100-3000=100m，ΔY=Y-Y₀=4200-4000=200m，ΔZ=Z-Z₀=5100-5000=100m故P的ENU坐标为：\[e=-\sin\lambda_0\cdot\DeltaX+\cos\lambda_0\cdot\DeltaY\\n=-\sin\phi_0\cos\lambda_0\cdot\DeltaX-\sin\phi_0\sin\lambda_0\cdot\DeltaY+\cos\phi_0\cdot\DeltaZ\\u=\cos\phi_0\cos\lambda_0\cdot\DeltaX+\cos\phi_0\sin\lambda_0\cdot\DeltaY+\sin\phi_0\cdot\DeltaZ\]五、应用题1.解：转换步骤：(1)计算测站点O的地心直角坐标ECEF(X₀,Y₀,Z₀)（根据大地坐标(λ₀,φ₀,h₀)用大地→地心坐标公式计算，本题无需具体值）；(2)计算目标点与测站点的坐标差：ΔX=X-X₀，ΔY=Y-Y₀，ΔZ=Z-Z₀；(3)根据测站大地坐标(λ₀,φ₀)计算旋转矩阵R（同计算题3）；(4)用旋转矩阵R将坐标差(ΔX,ΔY,ΔZ)转换为ENU坐标(e,n,u)。具体计算（假设已测得测站点O的ECEF坐标为(X₀,Y₀,Z₀)）：(1)坐标差：ΔX=-3456789.123-X₀，ΔY=4567890.456-Y₀，ΔZ=3789456.789-Z₀（需先计算X₀,Y₀,Z₀）；(2)将λ₀=116°23'45''=116.3958°，φ₀=39°54'30''=39.9083°转换为弧度；(3)计算旋转矩阵R各元素：sinλ₀≈0.8988，cosλ₀≈-0.4384，sinφ₀≈0.6428，cosφ₀≈0.7660；(4)计算ENU坐标：\[e=-\sin\lambda_0\cdot\DeltaX+\cos\lambda_0\cdot\DeltaY\\n=-\sin\phi_0\cos\lambda_0\cdot\De