最短路径算法设计与实现试题及答案

最短路径算法设计与实现试题及答案最短路径算法设计与实现试题1.选择题（每题2分，共10分）(1)Dijkstra算法适用于哪种类型的图？A.含负权边的图B.无负权边的图C.无向图D.有向无环图(2)A算法的关键组成部分是什么？A.启发式函数和代价函数B.贪心策略C.动态规划D.回溯法(3)Bellman-Ford算法的主要优势是？A.时间复杂度低B.能处理负权边C.适用于所有图D.空间复杂度低(4)Floyd-Warshall算法的时间复杂度是？A.O(V)B.O(E)C.O(V^2)D.O(V^3)(5)在最短路径算法中，优先队列通常用于？A.存储节点B.优化节点选择C.存储边D.处理负权边2.填空题（每空1分，共10分）(1)Dijkstra算法使用________数据结构来选择当前距离最小的节点。(2)A算法中，f(n)=g(n)+h(n)，其中g(n)表示________，h(n)表示________。(3)Bellman-Ford算法通过________次松弛操作来计算最短路径。(4)在Floyd-Warshall算法中，dp[i][j]表示从节点i到节点j的________。(5)最短路径算法中，负权环的存在会导致________问题。3.简答题（每题5分，共15分）(1)简述Dijkstra算法的基本步骤。(2)比较Dijkstra算法和A算法的异同点。(3)解释Bellman-Ford算法如何检测负权环。4.算法题（每题10分，共20分）(1)给定一个带权图，描述使用Dijkstra算法计算从起点s到终点t的最短路径的伪代码。(2)描述A算法的实现步骤，包括启发式函数的设计原则。5.编程题（每题15分，共15分）使用Python语言实现Dijkstra算法，输入为图的邻接表表示和起点，输出为从起点到所有其他节点的最短距离。要求代码简洁，并添加必要的注释。6.应用题（每题10分，共15分）给定以下图，其中节点为A、B、C、D，边权值为：A-B:3,A-C:1,B-C:2,B-D:4,C-D:5。(1)使用Dijkstra算法计算从A到D的最短路径。(2)如果图中添加一条边D-A:-2，使用Bellman-Ford算法检测是否存在负权环。7.复杂度分析题（每题5分，共15分）(1)分析Dijkstra算法使用优先队列时的平均时间复杂度。(2)分析Bellman-Ford算法的最坏时间复杂度。(3)比较Floyd-Warshall算法和Dijkstra算法在稠密图中的效率。答案：1.选择题(1)B(2)A(3)B(4)D(5)B2.填空题(1)优先队列(2)从起点到节点n的实际代价；从节点n到目标的估计代价(3)V-1（V为节点数）(4)最短路径长度(5)无穷循环或路径长度无限减小3.简答题(1)Dijkstra算法步骤：-初始化距离数组，起点距离为0，其他为无穷大。-使用优先队列选择距离最小的节点。-更新邻居节点的距离。-重复直到所有节点处理完毕。(2)异同点：-相同：都用于寻找最短路径，使用贪心策略。-不同：Dijkstra适用于无负权边，A使用启发式函数优化搜索，适合启发式信息丰富的场景。(3)Bellman-Ford检测负权环：-执行V次松弛操作后，再执行一次松弛。-如果距离值仍能更新，则存在负权环。4.算法题(1)Dijkstra算法伪代码：```pythonfunctionDijkstra(graph,start):dist=[inf]nn为节点数dist[start]=0pq=priorityqueue([(0,start)])whilepqnotempty:current_dist,u=pq.pop()ifcurrent_dist>dist[u]:continueforeachneighborvwithweightwingraph[u]:alt=dist[u]+wifalt<dist[v]:dist[v]=altpq.push((alt,v))returndist```(2)A算法实现步骤：-初始化open和closed列表，起点加入open列表。-循环直到open为空：-从open列表选择f(n)最小的节点n。-将n移到closed列表。-如果n为目标，重建路径。-否则，扩展n的邻居，更新g(n)和h(n)，计算f(n)。-启发式函数设计原则：可接受（h(n)≤实际代价）、一致（满足三角不等式）。5.编程题```pythonimportheapqdefdijkstra(adj_list,start):n=len(adj_list)dist=[float('inf')]ndist[start]=0heap=[(0,start)]whileheap:current_dist,u=heapq.heappop(heap)ifcurrent_dist>dist[u]:continueforv,weightinadj_list[u]:alt=dist[u]+weightifalt<dist[v]:dist[v]=altheapq.heappush(heap,(alt,v))returndist```注：adj_list为邻接表，如{0:[(1,3),(2,1)],1:[(0,3),(2,2),(3,4)],...}，start为起点索引。6.应用题(1)最短路径：A→C→B→D，总长度1+2+4=7。(2)检测负权环：添加边D-A:-2后，执行Bellman-Ford：-初始化距离：A:0,B:inf,C:inf,D:inf。-第一次松弛：A-B:3,A-C:1,D-A:-2（更新A为-2）。-第二次松弛：D-A:-2更新A为-2，A-B:1,A-C:-1。-第三次松弛：A-B:1更新B为1，A-C:-1更新C为-1，B-D:5。-第四次松弛：C-D:4更新D为3。-第五次松弛：D-A:1更新A为1（变化），存在负权环。7.复杂度分析题(1)Dijkstra算法平均时间复杂度：O(ElogV)，其中E为边数，V为节点数