2026届高考数学总复习精练册课件：链接高考3　导数中的构造问题

链接高考3导数中的构造问题1.(2025届陕西西安高新一中开学考,8)设a=

,b=

,c=

,则

(

)A.c<b<a

B.c<a<b

C.b<c<a

D.b<a<cA解析

设f(x)=

,则f'(x)=

,令f'(x)=0,得x=

,则f(x)在(0,

)上单调递增,在(

,+∞)上单调递减,b=f(

),c=f(

),则b>c,又a-b=

-

=

=

>0,得a>b,所以a>b>c,故选A.2.(2025届河南省重点高中联考,8)已知a=

,b=

,c=1+ln

,则a,b,c的大小关系是

(

)A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<b<a

D.c<a<bA解析

令f(x)=ex-x-1,故f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,解得x=0,当x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>0时,

f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)≥f(0)=0,即ex≥x+1,故e-x≥-x+1,当0<x<1时,有ex<

,故

<

=

,即a<b;令g(x)=ln(x+1)-

(x>0),则g'(x)=

-

=

>0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,故g(x)>g(0)=0,即ln(x+1)>

,取x=

,则ln

>

=

,所以1+ln

>

,即c>b,综上a<b<c.故选A.3.(2022全国甲文,12,5分,难)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则

(

)A.a>0>b

B.a>b>0

C.b>a>0

D.b>0>aA解析

(构造函数)∵9m=10,∴m=log910.∵log99<log910<log9

=

,∴1<m<

,a=10m-11=10m-10-1,b=8m-9=8m-8-1.构造函数f(x)=xm-x-1(x>1),∴f'(x)=mxm-1-1,∵1<m<

,x>1,∴f'(x)=mxm-1-1>0,∴f(x)=xm-x-1在(1,+∞)上单调递增,∴f(10)>f(8),又f(9)=

-9-1=0,故a>0>b,故选A.4.(2022全国甲理,12,5分,难)已知a=

,b=cos

,c=4sin

,则

(

)A.c>b>a

B.b>a>c

C.a>b>c

D.a>c>bA解析

(不等式放缩)由题意得

=4tan

,因为当x∈

时,x<tanx,所以tan

>

,即

>1,所以c>b;因为当x∈

时,sinx<x,取x=

,得cos

=1-2sin2

>1-2

=

,故b>a,所以c>b>a.故选A.5.(2025届吉林长春东北师大附中开学考,7)已知a=e0.1-1,b=

,c=ln1.1,则

(

)A.b<a<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<aD解析

设f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)

为增函数,所以f(x)≥f(0)=0,则f(0.1)>0,即e0.1-1>0.1.设g(x)=lnx-x+1,x>0,则g'(x)=

-1=

,x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,所以g(x)≤g(1)=0,g(1.1)<0,即ln1.1<0.1,所以a>c.设h(x)=ln(x+1)-

,x>-1,则h'(x)=

-

=

>0,故h(x)为增函数,所以h(0.1)>h(0)=0,所以ln1.1>

,即c>b.综上,b<c<a.故选D.6.(2025届福建福州一中开学考试,8)已知f(x)=2x+2-x+cosx+x2,若a=f(4lnπ3),b=f(πln43),c=f(4ln3π),则

(

)A.a<b<c

B.b<c<a

C.c<a<b

D.b<a<cD解析

易知f(x)是偶函数,则可以研究x>0时,f(x)的单调性.f'(x)=(2x-2-x)ln2-sinx+2x,设s(x)=(2x-2-x)ln2-sinx+2x,则s'(x)=(2x+2-x)ln22-cosx+2>0,故在(0,+∞)上s(x)为增函数,故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上为增函数,设u(x)=

,x>e,则u'(x)=

<0,故u(x)在(e,+∞)上为减函数,而e<3<π<4,故

>

>

,故4lnπ>πln4,故3×4lnπ>3×πln4,所以4lnπ3>πln43>0,故f(4lnπ3)>f(πln43),故a>b.又πln3>3lnπ,故4πln3>4×3lnπ,即4ln3π>4lnπ3>0,故f(4ln3π)>f(4lnπ3),故c>a.综上,c>a>b,故选D.7.(多选)(2025届江苏南通开学考,11)已知a>b>1,则

(

)A.

>

B.lnb<a-1C.bea>aeb

D.loga+1a<logb+1bBC解析

对于A,因为a>b>1,所以

-

=

=

<0,故A错误.对于B,因为a>b>1,所以lnb<lna,设f(x)=lnx-x+1,x∈(1,+∞),则f'(x)=

-1=

<0,所以f(x)在(1,+∞)上为减函数,所以f(x)<f(1)=0,即f(a)=lna-a+1<0,所以lnb<lna<a-1,故B正确.对于C,设g(x)=

,x∈(1,+∞),因为g'(x)=

>0,所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,因为a>b>1,所以g(a)>g(b),即

>

,即bea>aeb,故C正确.对于D,设h(x)=logx+1x=

,x∈(1,+∞),因为h'(x)=

=

,设k(x)=xlnx,x∈(1,+∞),k'(x)=lnx+1>0,所以k(x)在(1,+∞)上为增函数,因为x+1>x>1,所以(x+1)ln(x+1)-xlnx>0,即h'(x)=

>0,所以h(x)在(1,+∞)上为增函数,因为a>b>1,所以h(a)>h(b),即loga+1a>logb+1b,故D错误.故选BC.8.(2025届云南三校模拟,12)已知f'(x)是定义域为

的函数f(x)的导函数,且f'(x)·sinx+f(x)cosx<0,则不等式f(x)sinx>

f

的解集为

.解析

设g(x)=f(x)sinx,x∈

,则g'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx<0,所以函数g(x)在

上单调递减.f(x)sinx>

f

⇔f(x)sinx>f

sin

,即g(x)>g

,所以

所以0<x<

,所以不等式的解集为

.9.(2025届山东德州月考,16)已知函数f(x)=lnx+ax2-(a+2)x.(1)当0<a≤2时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若∀x∈(0,+∞),都有f(x)-xf'(x)≤0成立,求实数a的取值范围.解析

(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=

+2ax-(a+2)=

=

.①当0<a<2时,

>

,当x∈

时,f'(x)>0,f(x)在

上单调递增;当x∈

时,f'(x)<0,f(x)在

上单调递减;当x∈

时,f'(x)>0,f(x)在

上单调递增,②当a=2时,

=

,f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上所述,当0<a<2时,f(x)在

和

上单调递增,在

上单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)∀x∈(0,+∞),都有f(x)-xf'(x)≤0成立,(由不等式想到常见函数构造)令F(x)=

,则F'(x)=

≥0,即F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为F(x)=

=

+ax-(a+2),