大学期末考试自动控制原理题(附带答案)

大学期末考试自动控制原理题(附带答案)一、选择题（每题3分，共15分）1.已知某单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，当\(K\)增大时，系统的稳定性将（）。A.保持稳定B.由稳定变为不稳定C.由不稳定变为稳定D.始终不稳定2.二阶欠阻尼系统的超调量仅与（）有关。A.自然振荡频率\(\omega_n\)B.阻尼比\(\zeta\)C.时间常数\(T\)D.开环增益\(K\)3.根轨迹起始于（）。A.开环零点B.开环极点C.闭环零点D.闭环极点4.若系统的伯德图中，对数幅频特性在截止频率\(\omega_c\)处的斜率为\(-40\,\text{dB/dec}\)，则系统的相位裕度可能为（）。A.\(80^\circ\)B.\(45^\circ\)C.\(10^\circ\)D.\(-20^\circ\)5.采用滞后校正装置改善系统性能时，主要是利用其（）特性。A.高频段幅值衰减B.中频段斜率变陡C.低频段相位超前D.高频段相位滞后二、简答题（每题8分，共24分）1.简述劳斯稳定判据的基本思想，并说明当劳斯表某一行全为零时的处理方法。2.说明开环频率特性中“截止频率\(\omega_c\)”和“相位裕度\(\gamma\)”的物理意义，并解释二者对系统动态性能的影响。3.比较线性系统与非线性系统在稳定性分析上的主要区别（至少列出3点）。三、计算题（共61分）1.（12分）某单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)。（1）求系统的闭环传递函数\(\Phi(s)\)；（2）判断系统的阻尼类型（欠阻尼、临界阻尼或过阻尼）；（3）计算系统的超调量\(\sigma\%\)、调节时间\(t_s\)（取\(5\%\)误差带）和峰值时间\(t_p\)。2.（15分）已知系统的开环传递函数为\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}\)（单位负反馈）。（1）绘制系统的根轨迹图（要求标注关键点：起点、终点、分离点/会合点、渐近线等）；（2）确定系统稳定时\(K\)的取值范围；（3）当\(K=6\)时，判断系统是否存在主导极点，若存在，近似计算其超调量。3.（14分）某最小相位系统的开环对数幅频特性如图1所示（图中未画出，文字描述：低频段斜率为\(0\,\text{dB/dec}\)，在\(\omega=1\)处斜率变为\(-20\,\text{dB/dec}\)，在\(\omega=10\)处斜率变为\(-40\,\text{dB/dec}\)，截止频率\(\omega_c=5\,\text{rad/s}\)）。（1）写出系统的开环传递函数\(G(s)\)；（2）绘制对应的对数相频特性草图（标注关键频率点的相位值）；（3）计算系统的相位裕度\(\gamma\)，并判断闭环系统的稳定性。4.（20分）某单位负反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)。（1）绘制原系统的伯德图（对数幅频和相频特性），计算相位裕度\(\gamma_0\)，并分析原系统的动态性能（超调量、响应速度）；（2）设计一个滞后校正装置\(G_c(s)=\frac{Ts+1}{\betaTs+1}\)（\(\beta>1\)），使校正后系统的相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)，且截止频率\(\omega_c'\approx1\,\text{rad/s}\)（要求确定\(T\)和\(\beta\)的值）；（3）绘制校正后系统的开环伯德图（标注关键频率点），并说明滞后校正对系统性能的改善效果。答案与解析一、选择题1.答案：B解析：系统开环极点为\(s=0,-1,-2\)，三阶系统，劳斯表首列符号变化次数随\(K\)增大而变化。当\(K\)较小时系统稳定，\(K\)超过临界值后不稳定，故选B。2.答案：B解析：二阶欠阻尼系统超调量公式\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，仅与\(\zeta\)有关。3.答案：B解析：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（或无穷远）。4.答案：C解析：斜率\(-40\,\text{dB/dec}\)对应二阶无阻尼或欠阻尼环节，相位滞后较大，相位裕度可能较小（如\(10^\circ\)），而\(-20^\circ\)表示不稳定。5.答案：A解析：滞后校正利用其高频段幅值衰减特性，降低截止频率，增加相位裕度。二、简答题1.劳斯稳定判据基本思想：通过系统特征方程系数构造劳斯表，根据首列元素符号是否变化判断稳定性（无符号变化则稳定）。当某一行全为零时，用该行上一行的元素构造辅助多项式，求导后代替全零行，继续计算。2.截止频率\(\omega_c\)：开环幅频特性幅值为1时的频率，反映系统响应速度（\(\omega_c\)越大，响应越快）。相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)\)，反映系统稳定裕度（\(\gamma>0\)时稳定，\(\gamma\)越大，超调量越小）。3.区别：（1）线性系统稳定性仅与结构参数有关，非线性系统可能随输入幅值变化；（2）线性系统稳定是全局的，非线性系统可能局部稳定；（3）线性系统可用劳斯、奈奎斯特判据，非线性系统需用描述函数法、相平面法等。三、计算题1.（1）闭环传递函数\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{4}{s^2+2s+4}\)；（2）特征方程\(s^2+2s+4=0\)，标准二阶形式\(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=0\)，得\(\omega_n=2\,\text{rad/s}\)，\(2\zeta\omega_n=2\Rightarrow\zeta=0.5\)（欠阻尼）；（3）超调量\(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\approx16.3\%\)；调节时间\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times2}=3\,\text{s}\)（5%误差带）；峰值时间\(t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1-0.25}}\approx1.81\,\text{s}\)。2.（1）开环极点\(p_1=0,p_2=-1,p_3=-3\)，无有限零点，根轨迹分支数3，渐近线夹角\(60^\circ,180^\circ,300^\circ\)，渐近线交点\(\sigma_a=\frac{0+(-1)+(-3)-0}{3-0}=-\frac{4}{3}\)；分离点：由\(\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=0\)，解得\(d\approx-0.46\)（舍去负实部更大的根）；根轨迹图：从0、-1、-3出发，两条分支向左上方和左下方延伸，一条沿负实轴向左，分离点在\(d\approx-0.46\)。（2）特征方程\(s^3+4s^2+3s+K=0\)，劳斯表：第一行\(1\)\(3\)第二行\(4\)\(K\)第三行\(\frac{12-K}{4}\)\(0\)第四行\(K\)稳定条件：首列全正，即\(\frac{12-K}{4}>0\)且\(K>0\)，故\(0<K<12\)。（3）\(K=6\)时，特征方程\(s^3+4s^2+3s+6=0\)，用劳斯表判断无符号变化，系统稳定。假设主导极点为一对共轭复根，近似忽略实根（-4附近），则闭环传递函数近似为二阶系统，\(\zeta\approx0.5\)，超调量约16.3%（需验证根位置，实际根为\(s=-3.73\)和\(s=-0.135\pmj1.26\)，复根为主导极点，超调量近似16%）。3.（1）低频段斜率0，无积分环节；\(\omega=1\)处斜率变-20，对应一阶惯性环节\(\frac{1}{s+1}\)；\(\omega=10\)处斜率变-40，对应另一阶惯性环节\(\frac{1}{0.1s+1}\)。设开环增益为\(K\)，低频段幅值\(20\lgK\)，在\(\omega=1\)处幅值为\(20\lgK-20\lg1=20\lgK\)，在\(\omega=10\)处幅值为\(20\lgK-20\lg10-20\lg(10/1)=20\lgK-40\)。截止频率\(\omega_c=5\)时幅值为0，即\(20\lgK-20\lg5=0\RightarrowK=5\)。故\(G(s)=\frac{5}{(s+1)(0.1s+1)}\)（或写成时间常数形式\(\frac{5}{(s+1)(\frac{s}{10}+1)}\)）。（2）相频特性：\(\angleG(j\omega)=-\arctan\omega-\arctan(0.1\omega)\)。关键频率点：\(\omega=1\)时，相位\(-\arctan1-\arctan0.1\approx-45^\circ-5.7^\circ=-50.7^\circ\)；\(\omega=10\)时，相位\(-\arctan10-\arctan1\approx-84.3^\circ-45^\circ=-129.3^\circ\)；\(\omega_c=5\)时，相位\(-\arctan5-\arctan0.5\approx-78.7^\circ-26.6^\circ=-105.3^\circ\)。（3）相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)=180^\circ-105.3^\circ=74.7^\circ>0\)，闭环系统稳定。4.（1）原系统开环传递函数\(G(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)，频率特性：低频段（\(\omega<10\)）：斜率-20dB/dec，幅值\(20\lg10-20\lg\omega=20-20\lg\omega\)；\(\omega=10\)时，斜率变-40dB/dec（对应\(0.1s+1\)环节）；\(\omega=100\)时，斜率变-60dB/dec（对应\(0.01s+1\)环节）。截止频率\(\omega_c\)满足\(|G(j\omega_c)|=1\)，近似计算：在\(\omega_c\)位于\(10\sim100\)之间，幅值\(20\lg10-20\lg\omega_c-20\lg(\omega_c/10)=0\)，即\(20-20\lg\omega_c-20(\lg\omega_c-1)=0\)，解得\(\omega_c\approx31.6\,\text{rad/s}\)。相位裕度\(\gamma_0=180^\circ+\angleG(j\omega_c)=180^\circ-90^\circ-\arctan(0.1\times31.6)-\arctan(0.01\times31.6)\approx90^\circ-72.5^\circ-17.5^\circ=0^\circ\)，实际因近似误差，原系统接近临界稳定，超调量大（甚至发散），响应速度快（\(\omega_c\)大）。（2）设计滞后校正：目标\(\omega_c'=1\,\text{rad/s}\)，需在校正后\(|G_c(j\omega_c')G(j\omega_c')|=1\)。原系统在\(\omega=1\)处幅值\(|G(j1)|=\frac{10}{1\times\sqrt{1+0.1^2}\times\sqrt{1+0.01^2}}\approx10\)，故校正装置需衰减\(10\)倍，即\(\beta=10\)（因\(|G_c(j\omega)|\approx\frac{1}{\beta}\)在\(\omega\gg1/T\)时）。取\(1/T=0.1\omega_c'=0.1\,\text{rad/s}\)（保证校正装置相位滞后在\(\omega_c'\)处较小），则\(T=10\,\text{s}\)，校正装置\(G_c(s