2024-2025学年四川省广元市苍溪县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年四川省广元市苍溪县九年级（上）期末数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是A．刘徽的割圆术 B．中国七巧板 C．杨辉三角 D．赵爽弦图2．将一元二次方程化成一般形式是A． B． C． D．3．下列事件中的必然事件是A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是A． B． C． D．5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A． B．2 C． D．46．如图，已知是的直径，于点，且，，则的值是A．4 B． C． D．9.67．若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是A． B． C． D．8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是A． B． C． D．9．如图，在等腰△中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与，交于点，（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为A． B． C． D．10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）11．方程是关于的一元二次方程，则．12．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是．13．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为个．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△绕点顺时针旋转，得到△，则点的坐标为．15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为8米，米，，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为10米，则的长为米．16．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为．三、解答题17．（6分）按要求解下列方程：（1）（任选一种方法）；（2）（配方法）．18．（8分）如图，△和△关于某一点成中心对称，其中点，，，．（1）对称中心的坐标为；（2）在直角坐标系中画出△绕点顺时针旋转得到的图形△．①在图中画出△；②求点经过的路径的长．19．（8分）已知关于的方程为常数）．（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，解这个方程．20．（9分）已知：如图，在△中，，的角平分线交边于．（1）以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．（3）若，，求的半径．21．（9分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．（1）写出、、的坐标；（2）当时，求函数值的取值范围；（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求△的面积的最大值．22．（10分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？23．（10分）如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的长．（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．24．（10分）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？25．（12分）【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图1，已知△和△都是等边三角形，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图2，已知△和△都是等边三角形，将△绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，请直接写出线段、、之间存在的数量关系为；【类比探究】（3）如图3，已知△和△都是等边三角形．①当点在线段上时，过点作于点．求证：；②当点在线段的延长线上时，请直接写出线段，与之间存在的数量关系为．26．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为．（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；（2）在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点在以点为圆心，1为半径的上，连结，以为边在的下方作等边三角形，连结．求的取值范围．

参考答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是A．刘徽的割圆术 B．中国七巧板 C．杨辉三角 D．赵爽弦图解：选项、、中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：．2．将一元二次方程化成一般形式是A． B． C． D．解：将原方程整理得；故选：．3．下列事件中的必然事件是A．地球绕着太阳转 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现三个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯解：地球绕着太阳转是必然事件，所以符合题意；射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以不符合题意；天空出现三个太阳是不可能事件，所以不符合题意；经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以不符合题意．故选：．4．如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是A． B． C． D．解：由旋转可知，，所以．又因为，所以，所以，即旋转角的度数是．故选：．5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则A． B．2 C． D．4解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，，．故选：．6．如图，已知是的直径，于点，且，，则的值是A．4 B． C． D．9.6解：是直径，，，，，，，，，，，故选：．7．若点，，在二次函数的图象上，下列数量关系正确的是A． B． C． D．解：将二次函数解析式化为顶点式：，所以该二次函数的对称轴为直线，点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为，当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且点到对称轴的距离越远，函数值越小，比较距离大小，所以，当时，二次函数图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大，，综上或．故选：．8．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是A． B． C． D．解：设宽为步，长为步，根据题意列方程，故选：．9．如图，在等腰△中，，于点，将一直角三角尺的直角顶点放在点处，当三角尺绕点顺时针旋转时，两条直角边分别与，交于点，（点、分别在线段、上，端点除外），连接，则线段与的大小关系式为A． B． C． D．解：等腰△中，，于点，，，，，，，在△和△中，，△△，，故选：．10．已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④若且，则；⑤方程的两实数根为，，且，则，．其中正确的结论个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为当时，可有，故结论①正确；，该二次函数的图象开口向下，函数图象上的点距离对称轴越远，函数值越小，对称轴为，，，，又，，故结论②错误；该函数图象的对称轴，，，即，，该二次函数的图象开口向下，当时，该函数取最大值，为任意实数，可有，即，故结论③正确；若且，即有，函数图象的对称轴为，，即，故结论④错误；方程的两实数根为，，抛物线与直线的交点的横坐标为，，由抛物线的对称性可知该抛物线与轴的另一交点为，即该抛物线与轴的交点为，，该抛物线开口向下，，，，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的有①③⑤，共计3个．故选：．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．方程是关于的一元二次方程，则．解：方程是关于的一元二次方程，，且，解得；故答案为：．12．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是．解：平移后所得到的抛物线是．故答案为：．13．为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为9个．解：设暗箱里黑球的个数为个，根据题意列分式方程可得，，整理得，，解得，经检验，是该分式方程的解，所以可以估计暗箱里黑球的个数为9个．故答案为：9．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将△绕点顺时针旋转，得到△，则点的坐标为．解：作轴于点，由旋转可得，轴，四边形为矩形，，，点坐标为．故答案为：．15．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于、两点，拱桥最高点到的距离为8米，米，，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为10米，则的长为36米．解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，设与轴交于点，，，由题可知：，，，，，设该抛物线的解析式为：，把代入解析式得：，解得，抛物线：，当时，，解得，，，．故答案为：36．16．如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当与正方形的边相切时，的值为或．解：点坐标为，点是的中点，，．分与相切和与相切两种情况考虑：①当与相切时，如图1所示．点横坐标为，．在△中，，，，，即，解得：；②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示．，，．，四边形为矩形，，．在△中，，，，，即，解得：，（不合题意，舍去）．综上所述：的值为或．故答案为：或．三、解答题17．（6分）按要求解下列方程：（1）（任选一种方法）；（2）（配方法）．解：（1）将原方程化为一般形式得，，，；（2），，，，，，．18．（8分）如图，△和△关于某一点成中心对称，其中点，，，．（1）对称中心的坐标为；（2）在直角坐标系中画出△绕点顺时针旋转得到的图形△．①在图中画出△；②求点经过的路径的长．解：（1）连接，交于点，因为点的坐标为，所以对称中心的坐标为．故答案为：．（2）①如图所示，△即为所求作的三角形．②因为，所以点经过的路径的长为：．19．（8分）已知关于的方程为常数）．（1）请你说明，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若，解这个方程．解：（1）由条件可知△，无论取何实数，总有△，方程总有两个不相等的实数根．（2）当，代入方程，得：，△，，，．故答案为：，．20．（9分）已知：如图，在△中，，的角平分线交边于．（1）以边上一点为圆心，过、两点作，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．（3）若，，求的半径．解：如图，（1）即为所求；（2）直线与的位置关系为：相切，理由如下：连接，，，平分，，，，，，是半径，直线与相切；（3）设的半径为，在△中，，，，，解得．答：的半径为3．21．（9分）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．（1）写出、、的坐标；（2）当时，求函数值的取值范围；（3）若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、、，求△的面积的最大值．解：（1），，；理由如下：抛物线与轴交于点、，与轴交于点，当时，得：，解得：，，当时，得：，，，；（2），对称轴为直线，当时，函数有最小值为，，当时，，当时，，当时，；（3）点是第四象限内抛物线上一动点，如图，连接，，，，，设点，，，点是第四象限内抛物线上一动点，，当时，有最大值，最大值为．22．（10分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：（1）本次被调查的学生有100名，补全条形统计图；（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？解：（1）本次被调查的学生人数为（名．选择“足球”的人数为（名．补全条形统计图如下：（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为．故答案为：．（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，甲和乙同学同时被选中的概率为．23．（10分）如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为2，，求的长．（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：与相切于点，，平分，，，是圆的半径，是的切线；（2）解：的半径为2，，，，，，，都是的切线，设，则，在△中，，，解得，；（3）在△中，，，，，，，，，．24．（10分）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．（1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；（2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？解：（1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为．由题意列一元二次方程得，，整理得，，解得，（舍去）．答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为；（2）设售价应降低元．由题意列一元二次方程得，，整理得解得，．要尽快减少库存，．答：售价应降低3元．25．（12分）【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图1，已知△和△都是