《简单的三元一次方程组（1）》名师教案

《简单的三元一次方程组（1）》名师教案《简单的三元一次方程组（1）》教案一、教学目标1.知识与技能目标理解三元一次方程组的概念。掌握用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组。能够运用三元一次方程组解决实际问题。2.过程与方法目标通过对三元一次方程组的探究，培养学生的类比、化归思想和逻辑推理能力。经历解三元一次方程组的过程，提高学生的运算能力和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标让学生在解决问题的过程中，体会数学的严谨性和趣味性，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。二、教学重难点1.教学重点三元一次方程组的概念。用代入消元法和加减消元法解简单的三元一次方程组。2.教学难点选择合适的方法消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合。四、教学过程（一）导入新课1.复习提问什么是二元一次方程组？解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？请学生解方程组：$begin{cases}2x+y=5xy=1end{cases}$2.引入新课展示问题：在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？如果设胜场数为$x$，负场数为$y$，可列方程组$begin{cases}x+y=222x+y=40end{cases}$。现在我们把问题稍微改变一下，如果有三个队参加比赛，甲队胜的场数是乙队胜场数的2倍，丙队胜的场数比乙队少3场，三个队一共胜了22场，且三个队胜场共得40分，每胜一场得2分，设甲队胜$x$场，乙队胜$y$场，丙队胜$z$场，你能列出方程组吗？引导学生列出方程组$begin{cases}x=2yz=y3x+y+z=22end{cases}$，引出三元一次方程组的概念。（二）讲授新课1.三元一次方程组的概念给出定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。举例说明：$begin{cases}x+y+z=62xy+z=33x+2yz=4end{cases}$，让学生判断一些方程组是否为三元一次方程组，如$begin{cases}x+y=5y+z=6xyz=12end{cases}$（不是，因为$xyz$的次数是3），$begin{cases}x+2y=32y+z=4x+z=5end{cases}$（是）。2.解三元一次方程组的思路引导学生回顾解二元一次方程组的思路是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。类比得出解三元一次方程组的基本思路也是消元，即通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。3.代入消元法解三元一次方程组以方程组$begin{cases}x=2yz=y3x+y+z=22end{cases}$为例，讲解代入消元法的步骤。分析：方程$x=2y$和$z=y3$中，$x$和$z$都已经用含$y$的式子表示出来了，所以可以将这两个式子代入方程$x+y+z=22$中，消去$x$和$z$。解题过程：把$x=2y$，$z=y3$代入$x+y+z=22$，得$2y+y+(y3)=22$。去括号得$2y+y+y3=22$，移项得$2y+y+y=22+3$，合并同类项得$4y=25$，系数化为1得$y=frac{25}{4}$。把$y=frac{25}{4}$代入$x=2y$，得$x=2timesfrac{25}{4}=frac{25}{2}$。把$y=frac{25}{4}$代入$z=y3$，得$z=frac{25}{4}3=frac{25}{4}frac{12}{4}=frac{13}{4}$。所以原方程组的解为$begin{cases}x=frac{25}{2}y=frac{25}{4}z=frac{13}{4}end{cases}$。总结代入消元法的步骤：①观察方程组中哪个方程的某个未知数的系数绝对值为1或某个未知数能用含其他未知数的式子表示出来；②将这个未知数代入其他方程，消去这个未知数，得到一个二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将求出的两个未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值。4.加减消元法解三元一次方程组讲解例题$begin{cases}x+y+z=12x+2y+5z=22x=4yend{cases}$。分析：可以先将方程$x=4y$代入方程$x+y+z=12$和$x+2y+5z=22$中，消去$x$，得到关于$y$和$z$的二元一次方程组。也可以用加减消元法，用方程$x+2y+5z=22$减去方程$x+y+z=12$，消去$x$。解题过程：$x+2y+5z(x+y+z)=2212$，去括号得$x+2y+5zxyz=10$，合并同类项得$y+4z=10$。把$x=4y$代入$x+y+z=12$，得$4y+y+z=12$，即$5y+z=12$。得到关于$y$和$z$的二元一次方程组$begin{cases}y+4z=105y+z=12end{cases}$。给$y+4z=10$两边同时乘以5，得$5y+20z=50$。用$5y+20z=50$减去$5y+z=12$，得$5y+20z(5y+z)=5012$，去括号得$5y+20z5yz=38$，合并同类项得$19z=38$，系数化为1得$z=2$。把$z=2$代入$y+4z=10$，得$y+4times2=10$，$y=108=2$。把$y=2$代入$x=4y$，得$x=4times2=8$。所以原方程组的解为$begin{cases}x=8y=2z=2end{cases}$。总结加减消元法的步骤：①观察方程组中各个方程的系数特点，选择合适的两个方程，通过相加或相减消去一个未知数；②得到一个二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将求出的两个未知数的值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值。（三）课堂练习1.用代入消元法解方程组$begin{cases}y=2x75x+3y+2z=23x4z=4end{cases}$。答案：把$y=2x7$代入$5x+3y+2z=2$，得$5x+3(2x7)+2z=2$，$5x+6x21+2z=2$，$11x+2z=23$。联立$begin{cases}11x+2z=233x4z=4end{cases}$，给$11x+2z=23$两边同时乘以2，得$22x+4z=46$。$22x+4z+(3x4z)=46+4$，$25x=50$，$x=2$。把$x=2$代入$y=2x7$，得$y=2times27=3$。把$x=2$代入$3x4z=4$，得$3times24z=4$，$64z=4$，$z=frac{1}{2}$。所以方程组的解为$begin{cases}x=2y=3z=frac{1}{2}end{cases}$。2.用加减消元法解方程组$begin{cases}3x+y+z=42x+3yz=12x+y+z=6end{cases}$。答案：$3x+y+z+(2x+3yz)=4+12$，$5x+4y=16$。$3x+y+z(x+y+z)=46$，$2x=2$，$x=1$。把$x=1$代入$5x+4y=16$，得$5+4y=16$，$4y=21$，$y=frac{21}{4}$。把$x=1$，$y=frac{21}{4}$代入$x+y+z=6$，得$1+frac{21}{4}+z=6$，$z=6+1frac{21}{4}=frac{24+421}{4}=frac{7}{4}$。所以方程组的解为$begin{cases}x=1y=frac{21}{4}z=frac{7}{4}end{cases}$。3.解方程组$begin{cases}2x+3yz=183x2y+z=8x+2y+z=24end{cases}$。答案：$2x+3yz+(3x2y+z)=18+8$，$5x+y=26$。$3x2y+z(x+2y+z)=824$，$2x4y=16$，$x2y=8$。联立$begin{cases}5x+y=26x2y=8end{cases}$，给$5x+y=26$两边同时乘以2，得$10x+2y=52$。$10x+2y+(x2y)=52+(8)$，$11x=44$，$x=4$。把$x=4$代入$5x+y=26$，得$20+y=26$，$y=6$。把$x=4$，$y=6$代入$x+2y+z=24$，得$4+12+z=24$，$z=8$。所以方程组的解为$begin{cases}x=4y=6z=8end{cases}$。4.解方程组$begin{cases}x+y=7y+z=8z+x=9end{cases}$。答案：将三个方程相加得$2(x+y+z)=7+8+9=24$，$x+y+z=12$。用$x+y+z=12$分别减去三个方程：$x+y+z(x+y)=127$，$z=5$；$x+y+z(y+z)=128$，$x=4$；$x+y+z(z+x)=129$，$y=3$。所以方程组的解为$begin{cases}x=4y=3z=5end{cases}$。5.解方程组$begin{cases}xyz=12x+y3z=43x2yz=16end{cases}$。答案：$xyz+(2x+y3z)=1+4$，$3x4z=5$。$2times(2x+y3z)(3x2yz)=2times416$，$4x+2y6z3x+2y+z=816$，$x+4y5z=8$。由$xyz=1$得$x=y+z+1$，代入$3x4z=5$得$3(y+z+1)4z=5$，$3y+3z+34z=5$，$3yz=2$。联立$begin{cases}3x4z=53yz=2end{cases}$，由$3yz=2$得$z=3y2$，代入$3x4z=5$得$3x4(3y2)=5$，$3x12y+8=5$，$3x12y=3$，$x4y=1$。又$x=y+z+1$，$z=3y2$，所以$x=y+(3y2)+1=4y1$，代入$x4y=1$恒成立。由$3yz=2$，$z=3y2$，代入$xyz=1$得$xy(3y2)=1$，$x4y=1$。取$y=3$，则$z=3times32=7$，$x=4times31=11$。所以方程组的解为$begin{cases}x=11y=3z=7end{cases}$。6.解方程组$begin{cases}3x+2yz=32x+3y+z=12x+y+2z=11end{cases}$。答案：$3x+2yz+(2x+3y+z)=3+12$，$5x+5y=15$，$x+y=3$。$2times(3x+2yz)+(x+y+2z)=2times3+11$，$6x+4y2z+x+y+2z=6+11$，$7x+5y=17$。联立$begin{cases}x+y=37x+5y=17end{cases}$，由$x+y=3$得$y=3x$，代入$7x+5y=17$得$7x+5(3x)=17$，$7x+155x=17$，$2x=2$，$x=1$。把$x=1$代入$x+y=3$，得$y=2$。把$x=1$，$y=2$代入$x+y+2z=11$，得$1+2+2z=11$，$2z=8$，$z=4$。所以方程组的解为$begin{cases}x=1y=2z=4end{cases}$。7.解方程组$begin{cases}x+2yz=62xy+z=93x+y2z=7end{cases}$。答案：$x+2yz+(2xy+z)=6+9$，$3x+y=15$。$2times(2xy+z)+(3x+y2z)=2times9+7$，$4x2y+2z+3x+y2z=18+7$，$7xy=25$。联立$begin{cases}3x+y=157xy=25end{cases}$，两式相加得$3x+y+7xy=15+25$，$10x=40$，$x=4$。把$x=4$代入$3x+y=15$，得$12+y=15$，$y=3$。把$x=4$，$y=3$代入$x+2yz=6$，得$4+6z=6$，$z=4$。所以方程组的解为$begin{cases}x=4y=3z=4end{cases}$。8.解方程组$begin{cases}xy=3yz=6x+z=9end{cases}$。答案：由$xy=3$得$x=y+3$，由$yz=6$得$z=y6$。把$x=y+3$，$z=y6$代入$x+z=9$，得$y+3+y6=9$，$2y3=9$，$2y=12$，$y=6$。把$y=6$代入$x=y+3$，得$x=9$；把$y=6$代入$z=y6$，得$z=0$。所以方程组的解为$begin{cases}x=9y=6z=0end{cases}$。9.解方程组$begin{cases}2x+3y=53y4z=34z+5x=7end{cases}$。答案：由$2x+3y=5$得$3y=52x$，代入$3y4z=3$得$52x4z=3$，$2x+4z=2$，$x+2z=1$。联立$begin{cases}x+2z=14z+5x=7end{cases}$，由$x+2z=1$得$x=12z$，代入$4z+5x=7$得$4z+5(12z)=7$，$4z+510z=7$，$6z=2$，$z=frac{1}{3}$。把$z=frac{1}{3}$代入$x=12z$，得$x=1+frac{2}{3}=frac{5}{3}$。把$x=frac{5}{3}$代入$2x+3y=5$，得$frac{10}{3}+3y=5$，$3y=5frac{10}{3}=frac{5}{3}$，$y=frac{5}{9}$。所以方程组的解为$begin{cases}x=frac{5}{3}y=frac{5}{9}z=frac{1}{3}end{cases}$。10.解方程组$begin{cases}x+y+z=102x+yz=63xy+z=12end{cases}$。答案：$x+y+z+(2x+yz)=10+6$，$3x+2y=16$。$x+y+z+(3xy+z)=10+12$，$4x+2z=22$，$2x+z=11$。$2x+yz+(3xy+z)=6+12$，$5x=18$，$x=frac{18}{5}$。把$x=frac{18}{5}$代入$3x+2y=16$，得$frac{54}{5}+2y=16$，$2y=16frac{54}{5}=frac{8054}{5}=frac{26}{5}$，$y=frac{13}{5}$。把$x=frac{18}{5}$代入$2x+z=11$，得$frac{36}{5}+z=11$，$z=11frac{36}{5}=frac{5536}{5}=frac{19}{5}$。所以方程组的解为$begi