《二次函数图象信息题的五种常见类型》专题课件

二次函数图象信息题的五种常见类型专题第26章二次函数1[2023·南阳十三中月考]如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点(－3，0)，下列说法：

①

abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，(2，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的是(

)A．①②B．②③C．①②④D．②③④类型1

根据二次函数图象的特征确定a,b,c及与其有关的代数式的符号【点拨】根据抛物线开口向上得到a>0，根据抛物线的对称轴可得b＝2a>0，则2a－b＝0，据此可判断②；根据抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c<0，那么abc<0，据此可判断①；易得x＝2时，y>0，则可得到4a＋2b＋c>0，据此可对③进行判断；通过点(－5，y1)，(2，y2)离对称轴的远近可判断④.【答案】C2③若点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，x1＜x2，且x1＋x2＞1，则y1＞y2；④当a≤－1时，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是________(填写序号)．①③④【点拨】设抛物线的对称轴为直线x＝h，则0＜h＜0.5，∵点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，x1＜x2，且x1＋x2＞1，∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离．∴y1＞y2，故③正确；设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－m)，则方程为a(x＋1)(x－m)＝1，整理得ax2＋a(1－m)x－am－1＝0，Δ＝[a(1－m)]2－4a(－am－1)＝a2(m＋1)2＋4a，∵1＜m＜2，a≤－1，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1必有两个不相等的实数根，故④正确．故答案为①③④.3如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是(

)类型2

根据二次函数图象的特征确定其他函数的图象【点拨】由题意得y＝y2－y1.由图象可知，在点A和点B之间，y＞0；在点A左侧或点B右侧，y＜0，故选项B符合题意．【答案】B4【点拨】【答案】B5[2023·随州]如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2.则下列结论正确的有(

)类型3

利用二次函数的图象判断方程的根的情况【点拨】∵对称轴为直线x＝2，x1＜2＜x2且x1＋x2＞4，∴点P(x1，y1)到对称轴的距离小于点Q(x2，y2)到对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错误．故选B.【答案】B6【点拨】⑤由图象知，当x＝1时，y有最小值．∴对于任意实数m，都有am2＋bm＋c≥a＋b＋c，即m(am＋b)≥a＋b，故⑤正确．综上，②④⑤正确，故选C.【答案】C7类型4

利用二次函数的图象比较大小3【点拨】∵抛物线开口向下，∴a＜0.∴b＝a＜0，c＝－2a＞0.∴abc＞0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．∴b2－4ac＞0，故②正确；二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位，得到点B，点B在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上．8(1)求点B的坐标(用含a的代数式表示)；【解】令x＝0，则y＝a.∴点A的坐标为(0，a)．∵将点A向右平移4个单位得到点B，∴点B的坐标为(4，a)．(2)求二次函数图象的对称轴；【解】∵点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(4，a)，点A，B都在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上，∴A，B关于二次函数图象的对称轴对称．∴对称轴为直线x＝2.(3)已知点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上．若0<m<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【解】y3＞y2＞y1.理由：∵0<m<1，∴－1<－m<0.∴2<2－(m－1)<3，1<2－m<2，0<m＋2－2<1.∵a<0，∴y3>y2>y1.9已知关于x的函数y＝ax2＋bx＋C．(1)若a＝1，函数的图象经过点(1，－4)和点(2，1)，求该函数的表达式和最小值；类型5利用二次函数的图象求字母的取值范围(2)若a＝1，b＝－2，c＝m＋1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．【解】根据题意，得y＝x2－2x＋m＋1的图象与x轴有交点，所以Δ＝(－2)2－4(m＋1)≥0，所以m≤0.(3)阅读下列材料：设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x轴有两个不同的交