人教版8年级数学下册全册课件（2024年春季版）

人教版八年级下册数学全册教学课件

公开使用请删除标识16.1二次根式二次根式的概念

公开使用请删除标识你能说出下列问题的结果吗？（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？（2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？平方根的性质：1.正数有两个平方根且互为相反数；2.0的平方根是0；3.负数没有平方根；4.非负数a的平方根表示为.复习回顾

公开使用请删除标识你能说出下列问题的结果吗？（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？（2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？1.正数只有一个算数平方根；2.0的算术平方根是0；3.负数没有算术平方根；4.非负数a的算术平方根表示为.算术平方根的性质：复习回顾

公开使用请删除标识填一填：（1）面积为3的正方形的边长为_____，面积为S的正方形的边长为_____.（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．探索新知

公开使用请删除标识观察：上面问题的结果分别是

，

，

，.（1）这些式子表示的意义是？分别表示3，S，65，的算术平方根．（2）这些式子有什么共同特征？①根指数都为2；含有“”.②被开方数为非负数.

公开使用请删除标识二次根式的定义一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数.二次根式的两个必备特征1.含有二次根号“”（根指数为2）；2.被开方数必须是非负数.

公开使用请删除标识下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：(m<0)6分析：是否含二次根号是被开方数是否为非负数是是二次根式否不是二次根式否√√√√

公开使用请删除标识1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？【选自教材第3页练习第1题】解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1=，x2=(舍).答：它的长取cm，宽取cm.练习

公开使用请删除标识例1当x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？

二次根式

有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0.解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.

公开使用请删除标识当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）（2）（3）（4）（5）（6）x可以为任意实数x≥0x可以为任意实数x＞0x＞﹣1x≤1且x≠0要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.

公开使用请删除标识2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【选自教材第3页练习第2题】（1）

；（2）

；（3）

；（4）.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.a≥1a≥a≤0a≤5练习

公开使用请删除标识

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的双重非负性二次根式的被开方数非负二次根式的值非负归纳小结

公开使用请删除标识1.下列各式中一定是二次根式的是（

）.A. B. C. D.BD2.二次根式

中，字母x的取值范围是（）.A.a＜2B.a≤2C.a≥2D.a＞2随堂练习

公开使用请删除标识3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）

；解：根据题意可得-x2+2x-1≥0，∴-(x2-2x+1)≥0.∴x2-2x+1≤0.∴(x-1)2≤0.∵(x-1)2≥0，∴当x=1时，

在实数范围内有意义.

公开使用请删除标识（2）.解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，∴-(x2+2x+3)≥0.∴x2+2x+3≤0.∴(x+1)2+2≤0.∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.∴无论x为何实数，

在实数范围内都无意义.被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

公开使用请删除标识4.若+｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.提示：多个非负数的和为0，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,解得a=-3,b=2,c=1.所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.

公开使用请删除标识5.已知|3x-y-1|和

互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.

公开使用请删除标识1.若

，则x的取值范围是_______.2.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简：=_______.ab0x≤1-3b拓展提升

公开使用请删除标识二次根式定义在有意义条件下求字母的取值范围双重非负性带有二次根号被开方数为非负数被开方数≥0分母≠0a≥0≥0课堂小结

公开使用请删除标识1.从教材习题中选取；2.

《创优作业》相应课时训练.课后作业

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识R·八年级数学下册16.1二次根式二次根式的性质

公开使用请删除标识二次根式的定义一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.a叫做被开方数.复习回顾

公开使用请删除标识问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？正方形的边长为.用边长表示正方形的面积为.又∵面积为a.∴=a.这个式子对所有的二次根式都成立吗？探索新知

公开使用请删除标识问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？a(a≥0)024…02…()2024…算术平方根平方运算

公开使用请删除标识根据问题2直接写出结果，然后根据问题2的探究过程说明理由：=____；=____；=____；=____.420把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：一般地，.即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

公开使用请删除标识例2

计算：（1）()2；

（2）()2.解：（1）()2=1.5；（2）()2积的乘方：(ab)2=a2b2=22×()2=4×5=20.

公开使用请删除标识1.计算：练习（1）()2；

（2）()2；【选自教材第4页练习第1题】解：（1）()2=3；（2）()2=32×()2=9×2=18.

公开使用请删除标识2.在实数范围内分解因式：（1）x2-7；

（2）x4-4x2+4.解：（1）x2-7=(x+)(x-)；（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-()2]2=(x+)2(x-)2这里逆用了()2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.练习

公开使用请删除标识问题3：填一填，你发现了什么？a(a≥0)20.10…a240.010…20.10…平方运算算术平方根观察两者有什么关系？

公开使用请删除标识思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？a(a＜0)﹣2﹣0.1﹣3…a240.013…20.13…平方运算算术平方根

公开使用请删除标识把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.归纳小结

公开使用请删除标识运算顺序先开方，后平方先平方，后开方取值范围a≥0a取任何实数运算结果a｜a｜表示意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根讨论：如何区别

与

？

公开使用请删除标识例3

化简：（1）

；

（2）.解：（1）

==4；（2）

==5.

公开使用请删除标识3.说出下列各式的值：【选自教材第4页练习第2题】（1）

；

（2）

；（3）

；

（4）.0.3﹣π练习

公开使用请删除标识

公开使用请删除标识问题4：回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，﹣ab，

，﹣x3，

，(a≥0)，这些式子有哪些共同特征？含有数或表示数的字母；用基本运算符号连接数或表示数的字母．

用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.整式分式二次根式

公开使用请删除标识4.下列式子：(1)x;(2)a-b；(3)；(4)

；(5)m=1+n；(6)2x>1；(7)﹣2.其中是代数式的有().A.4个B.5个C.6个 D.7个B方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“>”或“<”等.练习

公开使用请删除标识2.当1<x<3时，的值为().A.3

B.﹣3 C.1 D.﹣11.化简的结果是().A.±4 B.±2 C.4 D.﹣43.在下列各式中，不是代数式的是().A.3

B.3＞1+1 C. D.CDB随堂练习

公开使用请删除标识4.a，b，c为三角形的三边长，化简：.解：由三角形两边之和大于第三边得：a+b-c>0，a+c-b>0.∴=a+b-c+(a+c)-b=2a.

公开使用请删除标识已知a为实数，求代数式

的值.解：由题意可知﹣a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0.∴==2-3+0=﹣1.拓展提升

公开使用请删除标识二次根式的性质拓展a为全体实数课堂小结

公开使用请删除标识1.从教材习题中选取；2.

《创优作业》相应课时训练.课后作业

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识R·八年级数学下册16.2二次根式的乘除二次根式的乘法

公开使用请删除标识

学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？数学就在我们身边

公开使用请删除标识计算下列各式：（1）=_______，=_______；（2）=_______，=_______；（3）=_______，=_______；2×3=64×5=205×6=30观察计算结果，你能发现什么规律？探索新知

公开使用请删除标识观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式:你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？

公开使用请删除标识一般地，二次根式的乘法法则是二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.语言描述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.a、b

必须都是非负数！在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.归纳小结

公开使用请删除标识例1计算：解：(1)；(2)

公开使用请删除标识想一想：可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.解：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：

公开使用请删除标识想一想：可类比单项式乘单项式的法则计算.解：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：

公开使用请删除标识一般地，由等式的对称性，反过来：这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”.语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.

公开使用请删除标识例2化简：解：(1)(2)

被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽方的因数或因式.

公开使用请删除标识化简二次根式初步达到求简意识：（1）被开方数进行因数或因式分解;（2）分解后把能开尽方的开出来.例2变式化简：解：

公开使用请删除标识1.把被开方数分解因式（或因数）；2.把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式

(a≥0)把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.化简二次根式的步骤

公开使用请删除标识思考与交流：这位同学的做法对吗？如果不对，请改正.×不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.改正：

公开使用请删除标识例3计算：解：二次根式的性质

公开使用请删除标识解：例3变式计算：

公开使用请删除标识

学校教学楼后有一矩形空地（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪.若全部铺满，预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？

公开使用请删除标识1.分组答题.【选自教材第7页练习第1、2题】练习15627712点击标签1、2触发动画

公开使用请删除标识2.一个长方形的长和宽分别是和．求这个长方形的面积.解：长方形的面积S【选自教材第7页练习第3题】练习

公开使用请删除标识3.化简二次根式.解：根据题意，知，所以x＜0.所以原式=易错提醒：中，a，b必须是非负数！

公开使用请删除标识设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2y-=17+

，则的平方根是多少？解：因为x，y为有理数，所以x+2y为有理数，又因为x+2y-=17+，所以，解得.所以的平方根是±1．拓展探究

公开使用请删除标识二次根式乘法：正用：计算逆用：化简简单应用课堂小结

公开使用请删除标识1.教材第10,11页习题16.2第1,5,6,7,12题；2.

《创优作业》相应课时训练.课后作业

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识16.2二次根式的乘除二次根式的除法R·八年级数学下册

公开使用请删除标识二次根式的乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.计算公式逆用：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.化简复习回顾

公开使用请删除标识计算下列各式：（1）=_______，=_______；（2）=_______，=_______；（3）=_______，=_______.观察计算结果，你能发现什么规律？探索新知

公开使用请删除标识一般地，二次根式的除法法则是语言描述：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根.归纳小结

公开使用请删除标识

公开使用请删除标识例4计算：（1）

；（2）.解：（1）（2）像(2)中除式是分数或分式，先要转化为乘法再进行运算.

公开使用请删除标识计算：（1）

；（2）

；（3）.解：（1）（2）=3；（3）类比单项式除以单项式法则.思考：是否是最简的形式？巩固练习

公开使用请删除标识类比有理数的乘法法则，把有理数的除法法则反过来，也有类似的性质.语言描述：两个数商的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的化简.

公开使用请删除标识例5化简：（1）

；（2）.解：（1）（2）还有其他解法吗？补充解法：

公开使用请删除标识

你能从上面的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)；③分母中不含二次根式.最简二次根式的概念归纳小结

公开使用请删除标识下列二次根式是否是最简二次根式.（1）

；（2）

；（3）

；（4）.×××√①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)；③分母中不含二次根式.最简二次根式的概念：小试牛刀

公开使用请删除标识解：（1）问：你还能想出其他的方法吗？解法1解法2：当分母中含有二次根式时，可以利用分式的基本性质，分子、分母同乘一个适当的因式，化去分母中的根号，即进行分母有理化.例6计算：（1）

；（2）

；（3）.

公开使用请删除标识例6计算：（1）

；（2）

；（3）.解：（2）（3）小结：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化成最简二次根式.

公开使用请删除标识例7设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a,b.已知S=

，b=

，求a.解：因为S=ab，所以

公开使用请删除标识1.计算：练习【选自教材第10页练习第1题】（1）

；（2）

；解：（1）（2）

公开使用请删除标识1.计算：【选自教材第10页练习第1题】（3）

；（4）

；（3）（4）解：练习

公开使用请删除标识2.把下列二次根式化成最简二次根式：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；【选自教材第10页练习第2题】练习

公开使用请删除标识3.设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知S=16，b=，求a.【选自教材第10页练习第3题】解：因为S=ab，所以练习

公开使用请删除标识在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功（单位：焦耳），I表示电流（单位：安培），R表示电阻（单位：欧姆，t表示时间（单位：秒），如果已知W、R、t，求I，则有.若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I.解：当W=2400，R=100，t=15时，（安培）拓展提升

公开使用请删除标识一、二次根式的除法法则：(a≥0,b>0)二、最简二次根式特征：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)；③分母中不含二次根式.三、利用商的算术平方根的性质：(a≥0,b>0)四、思想方法：类比思想，转化思想课堂小结

公开使用请删除标识1.从教材习题中选取；2.

《创优作业》相应课时训练.课后作业

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识二次根式的加减R·八年级数学下册

公开使用请删除标识活动一、创设情境，导入新课

问题现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？5dm7.5dm8dm218dm2

公开使用请删除标识活动二、问题引入，自主探究1.活动一中问题的关键是要比较与7.5的大小，用计算器算一下成立吗？5dm7.5dm8dm218dm2不成立.探究点1可以合并的二次根式

公开使用请删除标识5dm7.5dm8dm218dm22.将与化为最简二次根式，看看它们可以合并吗？

为什么？,,可以合并，由于它们有共同的因数，可以利用分配律进行合并.即

公开使用请删除标识5dm7.5dm8dm218dm2归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式.

公开使用请删除标识3.若和最简二次根式可以合并，则m=______.2m-1=53

公开使用请删除标识[对应训练]1.下列各式中，能与合并的是（）A.

B. C. D.2.下列各组二次根式中，化简后能合并的是（）A.

B. C. D.DD

公开使用请删除标识探究点2二次根式的加减（1）；例1计算：（2）.解：（1）；（2）.[选自教材P13]

公开使用请删除标识例2计算：（1）；（2）.解：（1）（2）.[选自教材P13]

公开使用请删除标识1.计算，并说明其中的依据.将看成共同的因式，依据是分配律.2.教材P13例1和例2的计算中先做了什么？后做了什么？先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并.

公开使用请删除标识

一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.归纳总结：

公开使用请删除标识3.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？二次根式的加减,第一步是化简,第二步是合并被开方数相同的二次根式,第二步类似于整式的加减中的合并同类项.

公开使用请删除标识[对应训练]（1）；（3）.（2）；1.下列计算是否正确？为什么？错误，因为；错误，因为；正确.[选自教材P13]

公开使用请删除标识原式=；（1）；2.计算：[选自教材P13]（2）；（3）；（4）.

原式=；原式=；原式=.

公开使用请删除标识3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12.56和25.12.

求圆环的宽度d（π取3.14，结果保留小数点后两位）.d[选自教材P13]解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，答：圆环的宽度d

约为0.83.

公开使用请删除标识[巩固练习]1.可以合并的二次根式例1若最简二次根式与二次根式可以合并，求a，b

的值.解：首先把二次根式化为最简二次根式，即由题意得解得故a=1，b=1.4a+3b=2a-b+6，3a-b=2，a=1，b=1.

公开使用请删除标识2.二次根式的加减例2已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求的值.解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0，∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0，∴(2x-1)2+(y-3)2=0.∴x=，y=3.当x=，y=3时，

公开使用请删除标识3.二次根式的大小比较方法：比较二次根式的大小，通常有

平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子

有理化法等.（1）运用平方法如：比较和的大小.解：∵()2=32×2=18，()2=22×3=12，又18>12，∴>

.

公开使用请删除标识（2）运用作差法如：比较和的大小.解：∵()2=32×2=18，()2=22×3=12，∴>

.

公开使用请删除标识（3）运用作商法如：比较和的大小.解：∵，∴>

.

公开使用请删除标识（4）运用倒数法如：比较和的大小（其中n

为正整数）.解：∵，又n为正整数，∴，∴.

公开使用请删除标识（5）运用分子有理化法如：比较和的大小.解：∵，又，∴

，即.

公开使用请删除标识[课堂总结]什么样的二次根式可以合并？二次根式的加减的一般步骤是怎样的？类比整式的加减二次整式的加减化简合并计算应用

公开使用请删除标识[作业布置]1.教材P15习题16.3第1，2，3，5题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识二次根式的混合运算R·八年级数学下册

公开使用请删除标识活动一：创优情境，导入新课【情境导入】生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面.如果一个梯形的上、下底边长分别为，，高为，那么它的面积是多少？状状是这样算的：他的作法正确吗？正确

公开使用请删除标识活动二：问题引入，自主探究探究点1二次根式的混合运算1.对比(a+b)c=________，想想成立的依据是什么？ac+bc分配律

公开使用请删除标识2.类似地，参考(a+b)÷c=_____________，(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn，计算：a÷c+b÷c

公开使用请删除标识（1）；计算：[选自教材P14]（2）

；解：

[对应训练]

公开使用请删除标识（3）

；

公开使用请删除标识探究点1二次根式的混合运算1.对比(a+b)(a-b)=______，想想该怎么计算？a2–b2

公开使用请删除标识（1）

；2.类似地，参考(a+b)2=_________；(a-b)2=_________，计算：a2+2ab+b2a2-2ab+b2（2）

；

公开使用请删除标识[对应训练]计算：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

.

公开使用请删除标识[对应训练]计算：（1）

；（2）

；（3）

；（4）

；（5）

.

公开使用请删除标识活动三：重点突破，提升探究例1计算：（1）

；（2）

；（3）

.

公开使用请删除标识（1）

；（2）

；（3）

.

公开使用请删除标识例2已知a=3+，b=3-，求a2b-ab2

的值.

公开使用请删除标识[对应训练]1.计算：（1）

；（2）

；（3）

.

公开使用请删除标识2.先化简，再求值：，其中.

公开使用请删除标识【习题16.3】1.下列计算是否正确？为什么？（1）

；（2）

；（3）

；（4）

.不正确，

与

不能合并；不正确，

与

不能合并；不正确，

；不正确，.[选自教材P15]

公开使用请删除标识2.计算：[选自教材P15]（1）

；（2）

；解：

公开使用请删除标识（3）

；（4）.

公开使用请删除标识3.计算：[选自教材P15]（1）

；（2）

；解：

公开使用请删除标识（3）

；（4）

；

公开使用请删除标识（1）

；4.计算：[选自教材P15]（2）

；解：

公开使用请删除标识（3）

；（4）

.解：

公开使用请删除标识5.已知

，求

的近似值（结果保留小数点后两位）.[选自教材P15]解：

公开使用请删除标识6.已知

，

，求下列各式的值：[选自教材P15]

公开使用请删除标识7.如图，在Rt△ABC

，∠C=90°，CB=CA=a，求

AB

的长.（提示：作出

AB

边上的高，借助△ABC的面积求解.）[选自教材P15]解：如图，过点

C

作

CD⊥AB于点

D.因为

CB=CA，∠ACB=90°，所以∠A=∠B=45°.又CD⊥AB，所以∠A=∠DCA=45°，所以

CD=AD.同理

CD=BD，故

CD=AB.由三角形面积公式可知

AB·CD=AC·CB，即

AB·AB=a·a，所以

AB==.ABCD

公开使用请删除标识[选自教材P15]8.已知

，求

的值.（提示利用

与

之间的关系.）

公开使用请删除标识9.在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，

从中找出方程的解：[选自教材P15]解：运用代入法检验得到：

公开使用请删除标识【课堂总结】以前学过的运算律、运算法则和乘法公式在二次根式的混合运算中依然适用吗？二次根式的混合运算最后的计算结果有什么要求？类比整式的混合运算二次根式的混合运算运算顺序运算律化简最简形式

公开使用请删除标识同学们，说说这节课你学到了什么呢？

公开使用请删除标识谢谢大家

公开使用请删除标识第十六章二次根式单元解读R·八年级下册

公开使用请删除标识了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力.课标要求

公开使用请删除标识本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.教材分析

公开使用请删除标识二次根式的纵向联系七年级上册第一章有理数第二章整式的加减七年级下册第六章实数八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解第十五章分式八年级下册第十七章勾股定理九年级上册第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数教材分析

公开使用请删除标识概念二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式的加法二次根式的减法混合运算运算分母有理化最简二次根式二次根式化简的一般步骤化简性质二次根式教材分析二次根式的横向联系

公开使用请删除标识教材分析16.1二次根式研究二次根式的概念和性质.教材通过几个具体问题，引导学生根据已学的平方根和算术平方根的知识写出结果，并概括它们的共同特点，引出二次根式的概念.理解被开方数不能是负数的要求是理解二次根式概念的关键，教材结合例题对此进行了具体分析.16.2二次根式的乘除通过探究，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字的运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则、除法法则.最简二次根式的概念是加减运算的基础，实际上也是对二次根式运算结果的一种要求，同时也为二次根式的运算明确了方向.16.3二次根式的加减采用归纳的方法，从特殊到一般，引导学生概括了二次根式加减运算法则，并通过几个二次根式混合运算的例题，引导学生认识二次根式和整式在性质、运算法则上的一致性.

公开使用请删除标识学习目标经历探索二次根式的性质以及有关运算法则的过程，理解二次根式的有关运算的算理，进一步发展观察、操作、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力01了解二次根式、最简二次根式的概念，会辨别最简二次根式，理解二次根式的性质02能熟练地进行二次根式的化简和二次根式的加、减、乘、除四则运算03能利用二次根式的知识解决实际问题，在解决问题的过程中体会数学的应用价值04教材分析

公开使用请删除标识01教学重点（1）二次根式的化简与运算方法，关键是正确了解与运用二次根式的概念与性质；（2）学习二次根式的有关概念与性质，直接目的就是为了熟练地掌握二次根式的化简与运算.02教学难点正确理解与运用二次根式的性质加强符号意识、运算能力的培养教材分析

公开使用请删除标识概念性质运算引入二次根式的加法与减法.然后，二次根式的乘法与除法.最后，在二次根式四则运算的基础上，讲述二次根式的简单混合运算通过观察、操作、归纳、类比等方法，给出二次根式的概念介绍二次根式的性质，包括一个非负数的平方的算术平方根的性质、积的算术平方根和商的算术平方根的性质，并归纳出最简二次根式的概念教材分析设计思路

公开使用请删除标识本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章.实际上，二次根式并不是一个全新的概念，它是一个非负数，是非负数的算术平方根概念的一般表示.因此，本章内容的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会运算律在代数中的基础地位.本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：教学内容建议课时16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除3课时16.3二次根式的加减2课时数学活动实践作业章末小结2课时单元整体规划

公开使用请删除标识3个概念：二次根式，代数式，最简二次根式4个性质：()2=a(a≥0)；=｜a｜=积的平方根的性质(a≥0，b≥0)；商的平方根的性质(a≥0，b＞0)3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算2个互逆过程：

(a≥0，b≥0),二次根式的乘法积的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)二次根式的除法商的算术平方根的性质3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想本章内容要点

公开使用请删除标识注意代数学的整体性01作为初中阶段“数与式”内容的最后一章，本章不仅承担二次根式的知识教学任务，而且也有整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.因此，教学时一定要有整体观.具体包括：（1）从运算的角度提出学习任务，在分析开方运算的意义中使学生认识被开方数为非负数的合理性，并通过简单的变式，使学生养成“看到根号就要注意被开方数的符号”的习惯；（2）对于二次根式的性质，要注意从“考察特例”的角度提出问题，并注意从联系性中发现它们的关系；（3）对于二次根式的运算，要注意放在代数运算这个大系统下，加强“从概念到法则”“利用运算律进行运算”“利用乘法公式简化运算”等思想方法的教学；（4）教学中，结合具体内容进行“联系性的教学”，使学生通过本章学习建立完整的代数知识结构，并进一步地体会代数问题的基本研究方法.本章教学建议

公开使用请删除标识前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商)的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后归纳出二次根式的乘法、除法法则.本章教学建议加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程02

公开使用请删除标识运算技能的训练是代数教学的基本任务，本章的“训练点”在两个方面：一是“用二次根式的运算法则进行运算”，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则、除法法则，其中将各式转化为最简二次根式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与“数感”“符号意识”等相关，具体可以从“先观察，后计算”“先化为最简二次根式，后计算”“利用乘法公式进行计算”等方面着手.本章教学建议加强运算技能训练，提高运算能力03

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公开使用请删除标识Supporterssaythattheeaseofuseofpresentationsoftwarecansavealotoftimeforpeoplewhootherwisewouldhaveusedothertypesofvisualaid—hand-drawnormechanicallytypesetslides,blackboardsorwhiteboards,oroverheadprojections.Easeofusealsoencouragesthosewhootherwisewouldnothaveusedvisualaids,orwouldnothavegivenapresentationatall,thedifferenceinneedsanddesiresofpresentersandaudienceshasbecomemorenoticeable.样，也可能因讨厌一位老师而讨厌学习。一个被学生喜欢的老师，其教育效果总是超出一般教师。无论中学生还是小学生，他们对自己喜欢的老师都会有一些普遍认同的标准，诸如尊重和理解学生，宽容、不伤害学生自尊心，平等待人、说话办事公道、有耐心、不轻易发脾气等。教师要放下架子，把学生放在心上。“蹲下身子和学生说话，走下讲台给学生讲课”;关心学生情感体验，让学生感受到被关怀的温暖;自觉接受学生的评价，努力做学生喜欢的老师。教师要学会宽容，宽容学生的错误和过失，宽容学生一时没有取得很大的进步。苏霍姆林斯基说过：有时宽容引起的道德震动，比惩罚更强烈。每当想起叶圣陶先生的话：你这糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛顿，在你的讥笑里有爱迪生。身为教师，就更加感受到自己职责的神圣和一言一行的重要。善待每一个学生，做学生喜欢的老师，师生双方才会有愉快的情感体验。一个教师，只有当他受到学生喜爱时，才能真正实现自己的最大价值。义务教育课程方案和课程标准（2022年版）简介新课标的全名叫做《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，文件包括义务教育课程方案和16个课程标准（2022年版），不仅有语文数学等主要科目，连劳动、道德这些，也有非常详细的课程标准。现行义务教育课程标准，是2011年制定的，离现在已经十多年了；而课程方案最早，要追溯到2001年，已经二十多年没更新过了，很多内容，确实需要根据现实情况更新。所以这次新标准的实施，首先是对老课标的一次升级完善。另外，在双减的大背景下颁布，也能体现出，国家对未来教育改革方向的规划。课程方案课程标准是啥？课程方案是对某一学科课程的总体设计，或者说，是对教学过程的计划安排。简单说，每个年级上什么课，每周上几节，老师上课怎么讲，课程方案就是依据。课程标准是规定某一学科的课程性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件，也就是说，它规定了，老师上课都要讲什么内容。课程方案和课程标准，就像是一面旗帜，学校里所有具体的课程设计，都要朝它无限靠近。所以，这份文件的出台，其实给学校教育定了一个总基调，决定了我们孩子成长的走向。各门课程基于培养目标，将党的教育方针具体化细化为学生核心素养发展要求，明确本课程应着力培养的正确价值观、必备品格和关键能力。进一步优化了课程设置，九年一体化设计，注重幼小衔接、小学初中衔接，独立设置劳动课程。与时俱进，更新课程内容，改进课程内容组织与呈现形式，注重学科内知识关联、学科间关联。结合课程内容，依据核心素养发展水平，提出学业质量标准，引导和帮助教师把握教学深度与广度。通过增加学业要求、教学提示、评价案例等，增强了指导性。教育部将组织宣传解读、培训等工作，指导地方和学校细化课程实施要求，部署教材修订工作，启动一批课程改革项目，推动新修订的义务教育课程有效落实。

本课件是在MicorsoftPowerPoint的平台上制作的，可以在Windows环境下独立运行。本课件集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学生的视觉、听觉等器官，使课堂教育更加直观、形象、生动，提高了学生学习的主动性与积极性，减轻了学习负担，有力地促进了课堂教育的灵活与高效。部分内容取材于网络，如有侵权，请联系删除！作品整理不易，仅供一线教师教学参考使用，禁止转载！

公开使用请删除标识整理与复习二次根式人教版八年级下册

公开使用请删除标识知识梳理知识梳理概念二次根式的定义二次根式有意义的条件二次根式的加法二次根式的减法混合运算运算分母有理化最简二次根式二次根式化简的一般步骤化简性质二次根式

公开使用请删除标识知识梳理知识梳理3个概念：二次根式，代数式，最简二次根式4个性质：()2=a(a≥0)；=｜a｜=积的平方根的性质

(a≥0，b≥0)；商的平方根的性质

(a≥0，b＞0)3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算2个互逆过程：

(a≥0，b≥0),二次根式的乘法积的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)二次根式的除法商的算术平方根的性质3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想

公开使用请删除标识1．当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根式的例子吗？

3．请你分别举例说明二次根式的加、减、乘、除运算法则。被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.回顾与思考

公开使用请删除标识1.当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）3+x≥0x≥-3（2）2x-1＞0（3）2-3x＞0（4）x-1≠0x≠1【选自教材第19页复习题16第1题】复习巩固复习巩固x＞x＜

公开使用请删除标识2.化简：解：（1）原式=（2）原式（3）原式【选自教材第19页复习题16第2题】复习巩固复习巩固

公开使用请删除标识（4）原式（5）原式（6）原式复习巩固

公开使用请删除标识3.计算：解：（1）原式=【选自教材第19页复习题16第3题】复习巩固复习巩固

公开使用请删除标识（2）原式=复习巩固复习巩固

公开使用请删除标识（3）原式（4）原式复习巩固复习巩固

公开使用请删除标识（5）原式复习巩固复习巩固

公开使用请删除标识（6）原式复习巩固

公开使用请删除标识4.正方形的边长为

acm，它的面积与长为

96cm、宽为

12cm的长方形的面积相等.求

a的值.解：由题意得：答：a的值为【选自教材第19页复习题16第4题】复习巩固

公开使用请删除标识5.已知x=，求代数式的值.【选自教材第19页复习题16第5题】综合运用解：将代入得：

答：代数式

的值为

公开使用请删除标识6.已知x=，求代数式的值.【选自教材第19页复习题16第6题】综合运用解：代数式变形得：

答：代数式的值为

公开使用请删除标识7.电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q=.已知导线的电阻为5Ω，1s时间导线产生30J的热量，求电流I的值（结果保留小数点后两位）.【选自教材第19页复习题16第7题】综合运用解：由题意得：答：电流

I的值约为2.45A.

I≈2.45

公开使用请删除标识8.已知n是正整数，是整数，求n的最小值.【选自教材第19页复习题16第8题】拓广探索解：又

n是正整数，也是正整数所以n的最小值是21.

公开使用请删除标识9.（1）把一个圆心为点O,半径为r的圆的面积四等分.请你尽可能多地设想各种分割方法.解：(1)如图所示：【选自教材第19页复习题16第9题】拓广探索

公开使用请删除标识（2）如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积四等分.求这三个圆的半径OB,OC,OD的长.AOBCD拓广探索解：由题意得：故：

公开使用请删除标识10.如图，判断下列各式是否成立：类比上述式子，再写出几个同类型的式子，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明.【选自教材第20