2026届高考数学专项复习：立体几何小题篇

第七章立体几何第1节小题篇

考向1空间点线面的位置关系

题型1三垂线定理速证垂直

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂

直.

已知是平面e的垂线，垂足为O,是平面a的斜线，斜足为直线/ua.

求证：(1)若/_LR1,贝/_LO/；

(2)若,贝.

POLa\

证明：(1)/ua,n/_L平面。为，又CMu平面故/_LCM；

IVPA,POr>PA=P

POla]

.、>PO_LI-r-W,,

(2)luaJ平面O/M,又为u平面故/_LR1.

ILOA,POr\PA=P

【例1】如图，正长方体4BCD-&81GA中，体对角线与面对角线助的位置关系一定是（)

A.平行B.相交C.垂直D.异面

【例2】（2021•浙江）如图，已知正方体-4月G3，M,N分别是其。，08的中点，贝!］（）

A.直线4。与直线。垂直，直线//平面4BC。

B.直线4。与直线23平行，直线MN_L平面3。口片

C.直线4。与直线。3相交，直线血W//平面48CD

D.直线4。与直线02异面，直线MN_L平面8£）〃耳

【例3】（2024天津卷）若加，〃为两条不同的直线，。为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加//a,〃ua,则加〃〃B.若加〃a,〃〃a,则加〃〃

C.若加〃则切_L〃D.若加〃a,〃_La,则加与〃相交

【例4】（2024年甲卷）设&、〃是两个平面，加、〃是两条直线，且a口尸=加.下列四个命题:

①若加〃〃，则〃//a或〃///②若加"L",则6

③若n!la,且〃//£,则加〃〃④若〃与a和6所成的角相等，则加，〃

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

题型2几何法求解距离问题

①两点间的距离：构造直角三角形，利用勾股定理处理；

②点到平面的距离：等体积法；

③直线到平面的距离：转化为求点到面的距离；

④平面到平面间的距离：转化为求点到面的距离.

注意：若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离，如训练5.

【例1】在矩形/BCD中，AB=1,AD=5沿对角线/C将矩形折成一个直二面角B-/C-。，则点8

与点。之间的距离为（）

A.V3B.V5C.—D.立

22

【例2】如图，已知在矩形/BCD中，4D=4,AB=3,M为边3C的中点，将分别沿着

直线必）翻折，使得3,C两点重合于点尸，则点尸到平面的距离为.

2

【例3】已知正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AB=2,CC1=272E为CCi的中点，则直线ACi与平面BED

的距离为

A.2B.V3C.V2D.I

【例4】直四棱柱ABCD-AMn中，底面ABCD为正方形,边长为2,侧棱N/=3,M、N分别为4稣4A

的中点，E、尸分别是G2,耳G的中点，求平面与平面£7吆。的距离.

【例5】（2024甲卷）如图，在以N,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形4BCD与四边形ADE尸

均为等腰梯形，BCIIAD,EFI/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=2框,M为AD

的中点.

（1）证明：8M〃平面CD£；

（2）求点〃■到尸的距离.

题型3几何法处理夹角问题

知识点1：线与线的夹角

平行直线

共面直线

（1）位置关系的分类:相交直线

、异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点

（2）异面直线所成的角

3

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点O作直线优〃a,把，与〃所成的锐角（或

直角）叫做异面直线。与6所成的角（或夹角）.

②范围：（0,1]

③求法：平移法：将异面直线a,6平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

②范围：[0,1]

③求法：

常规法：过平面外一点2做39,平面e,交平面a于点外；连接/9，则即为直线N8与平

面a的夹角.接下来在用△/88'中解三角形.即g（其中/Z即点8到面a的距离，

AB斜线长

可以采用等体积法求〃，斜线长即为线段的长度）；

知识点3：二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱,

这两个平面称为二面角的面.（二面角a-/-6或者是二面角/-C。-8）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于

棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0,加.

（3）二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，

如图在二面角□-/-£的棱上任取一点。，以。为垂足，分别在半平面a和。内作垂直于棱的射线ON和

OB,则射线。/和03所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就

相当于求两条异面直线的夹角即可）.

在面a或面月内找一合适的点/，作NO_L£于。，过/作N8_Lc于3,则8。为斜线43在面月内的

4

射影，ZABO为二面角tz-c-夕的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点N,作于。；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过/作N3_Lc于3,连接3。；

③计算：ZA8。为二面角tz-c-。的平面角，在放△48。中解三角形.

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面

积公式（cos，=E=色3,如图2）求出二面角的大小；

S斜S、ABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为

补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面

积法解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：过二面角内一点4作A8La于8,作于C,面48c交棱。于点。，则ZBOC就是二面

角的平面角.如图3.此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了.

角度1几何法求异面直线所成角

【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所

在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余

弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

【例1】（2021•乙卷文）在正方体/BCD-中，尸为的中点，则直线出与/口所成的角为（）

兀7171

A.—B.一C.-D.

2346

5

角度2几何法求二面角

【例1】（2013•全国大纲卷理）己知正四棱柱/BCD—48心。中，AAt=2AB,则CD与平面BDQ所成

角的正弦值等于（)

06

A21

A，3B.—D.-

333

角度3射影面积法求二面角

【例1】如图，在正方体4BCD-中，43=3,CE=2EQ,求二面角。一一C的余弦值.

考向2静态立体几何

题型1常见几何体与重要特殊几何体

1.常见空间几何体的结构特征

（1）多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

S

A

>

图形礼

AB

ABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一定

侧棱平行且相等延长线交于一点

相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

6

（2）旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

18\o

全A

图形

1S

互相平行且相等，垂

母线相交于一点延长线交于一点

直于底面

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面

侧面展开图矩形扇形扇环

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

a

侧面展开图

七㈤一如__」舂/

侧面积公式S圆柱侧s圆锥侧=4〃S圆台恻=%&+-）/

3.空间几何体的表面积与体积公式

表面积体积

几何

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S侧+2S底V=Sh

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=§侧+8底V=-Sh

3

)

台体（棱台和圆台）S表面积=§侧+S上+S下V=|(S±+ST+7^X-h

V=3»R3

球S=4兀F

3

3.常考其他几何体

阳马和鳖席是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样

的三棱柱，称为堑堵.

再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的

7

四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖席.

4.正四面体

如图，设正四面体48C。的的棱长为a,将其放入正方体中，则正方体的棱长为迈a,显然正四面体和正

2

方体有相同的外接球.（正四面体的棱长为正方体棱长也倍）

在棱长为。的正四面体中

结论1：高〃=^-a.

3

结论2：内切球半径厂=近。.

12

结论3：外切球半径夫=四0.

4

【例1】（2024新I卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为G，则圆锥的

体积为（）

A.2百兀B.3百兀C.6百兀D.9扃

［例2］（2024甲卷）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为。和小母线长分别为2（々-弓）和3&-。），

则两个圆台的体积之比1=

8

【例3】（2023•多选•新高考II）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，为底面直径，ZAPB=120°,

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P-/C-0为45。，贝!]（）

A.该圆锥的体积为万B.该圆锥的侧面积为4百万

C.AC=242D.AP/C的面积为＞5

【例4】（2024天津卷）一个五面体/8C-DE7L已知AD"BE"CF,且两两之间距离为1.并已知

ZD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

V3

T

【例5】（2020•新课标III）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为

【例6】（2024新H卷）己知正三棱台NBC-48]G的体积为5，45=6,4名=2,则Z/与平面

/2C所成角的正切值为（）

A.1B.1C.2D.3

9

【例7】正四面体/BCD中，棱长为。，高为h,外接球半径为R,内切球半径为尸，45与平面所成

角为a,二面角/-2D-C的大小为。，贝I"）

C.sina=—D.cos=~

3

【例8】已知正四面体N8CD,点M为棱CD的中点，则异面直线与8C所成角的余弦值为.

【例9】《九章算术・商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖席，阳马居二，鳖腌居一.”

如图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖席的过程.在一个长方体截得的堑堵和鳖席中，若

堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1,则鳖腌体积的最小值为（）

【例10］《九章算术・商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖席.阳

马居二，鳖席居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面4月。截正方体可得两个堑堵，再沿平

面用G。截堑堵可得一个阳马（四棱锥。-4AG2），一个鳖席（三棱锥。-耳qc）,若尸为线段。上一

动点，平面e过点P,CD,平面。，设正方体棱长为1,PD=x,。与图中的鳖席截面面积为S,则点尸

从点。移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）

10

11

题型2截面问题

一、立体几何与截面问题

1.定义

①截面：一个无限长的平面去截几何体.该平面与几何体的交面，为该几何体的截面

②截线:该平面与几何体表面上的交线叫做截线.

③截点:该平面与几何体各棱上的交点叫做截点.连接各截点形成的线段即为截线(在表面上)，连接各截线

形成的封闭图形即为截面.

2.作截面的基本逻辑

⑴找截点一连截线一围截面

⑵作截面的理论依据：

①任意两点确定唯一直线，不共线的三点确定唯一平面；

②处于两个平面中的两条直线的交点，在这两条直线所在的平面的交线上；

③若两个平面互相平行，且第三个平面与它们相交，则两条交线平行；

④若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与该此平面相交，则直线与交线平行：

⑶如何确定该截面是否“完整”

①所画的线是否围成了一个封闭图形？

②题目所要求过的点是否都在截面上？

③该截面的各个边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)?

3.作截面的具体方法

(1)平行线法：适用于有两个或两个以上截面线段在表面上

(2)延长线法：适用于只有一个截面线段在表面上

12

【例1】正方体/BCO-N'B'CTX的棱长为2,E为棱的中点，用过点/,E,U的平面截取该正方体,

则截面的面积为（）

A.2A/6B.2eC.5D.472

［例2］正方体ABCD-中，M,N分别是CG，5G的中点，则过4，M,N三点的平面截正

方体所得的截面形状是（）

A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.三角形

【例3】如图正方体48co-棱长为1，P为3C中点，0为线段CG上的动点，过点/、P、Q

的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是①②④（写出所有正确命题的编号）.

①当0<CQ<g时，S为四边形；

②当C0=g时，S为等腰梯形；

a

③当—<。。<1时，S为六边形；

4

④当。。=1时，S的面积为乎.

13

二、正方体截面问题：

1.正方体的基本截面:

正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形.

2.正方体截面面积最大值:

截面为三角形一正三角形

截面为四边形一矩形

截面为六边形f正六边形

注意：正方体的体对角线与所有棱所成角都相等.

【例11（2018•新课标I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等，则a截此正

3V2

C.

~T~D-T

14

【例2】（2023•多选•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：〃。的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99机的球体B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01俄，高为18”的圆柱体D.底面直径为1.2加，高为0.01%的圆柱体

【例3】（2025・T8第一次联考•多选）已知正方体/8CA-43。。的棱长为1,M是44,中点，P是4B

的中点，点N满足西=2^;Qe[0,1]）,平面"7W截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分

别为匕，V2,则下列判断正确的是（）

A.2=工时，截面面积为走

22

B.儿=；时，匕=匕

C.|匕-匕|随着2的增大先减小后增大

D.|匕-匕|的最大值为《

三、球体的截面问题

I.球的截面一定是圆或者是圆的一部分；

2.确定球心与半径，建立直角三角形，计算截面与球心的距离;

3.最大的截面半径/=A，最小的截面半径，=5去一心”.

15

【例1】正四面体/5C。的棱长为4,E为棱45的中点，过石作此正四面体的外接球的截面，则该截面面

积的取值范围是（）

A.[4〃，6刈B.[4乃，12TI]C.[71,4刈D.［乃，6笈］

【例2】【多选】在边长为4的正方形N8CD中，如图1所示，E,F,M分别为3C,CD,的中点,

分别沿AE,AF及EF所在直线把AAEB,AAFD和AEFC折起，使B,C,D三点重合于点P,得到三

棱锥P-/E尸，如图2所示，则下列结论中正确的是（)

图1图2

A.PALEF

B.三棱锥M-AEF的体积为4

C.三棱锥尸-/EF外接球的表面积为24万

D.过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为［万，6幻

【例3】已知三棱锥尸-48C的各个顶点都在球。的表面上，PA1ABC,ABLAC,AB=6,AC=8,

D是线段AB上一点，且ND=5DB.过点D作球0的截面,若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28万,

则球。的表面积为（）

A.128%B.132万C.144〃D.156〃

16

题型3几何体外接球

一、长方体切割体的外接球

图1墙角体图2鳖臆图3挖墙角体图4对角线相等的四面体

【例1】（2020•天津）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（)

A.12〃B.24iC.36兀D.144〃

【例2】（2019•新课标I）已知三棱锥尸-N8C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AA8C是边

长为2的正三角形，E,尸分别是尸N,48的中点，NCEF=90。,则球。的体积为（）

A.8n兀B.兀C.兀D.a兀

二、锥体的外接球

【例1】（2021•甲卷）已知N,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且/C_L3C,AC=BC=1,

则三棱锥。-N3C的体积为（）

拒

A•®DR.^3V•D.6

121244

【例2】（2020•新课标I）已知/,B,C为球。的球面上的三个点，oq为A48c的外接圆.若。Q的

面积为4%，AB=BC=AC=OOX,则球。的表面积为（）

A.64^B.48〃C.361D.32兀

17

【例3】（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为两个

3

圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.34B.4〃C.9〃D.12%

【例4】（2024•九省2月份联考）在正三棱锥尸-/8C中，侧棱P/与底面/3C所成的角为二,且/3=3,

3

则三棱锥尸-A8C外接球的表面积为（）

A.8/rB.12TTC.167rD.18〃

三、含垂面and二面角的外接球

1.双半径单交线公式：R2=R12+R^--

i/2

222222222222

R=OD=0(?1+。⑷2=Q2£+O1D=(O2C-C£)+O1D=O2C-(-5C)+O1D=R：+7?2--.

【例1】已知在三棱锥A-BCD中，面ABD±面BCD,NBCD和\ABD均是边长为2省的正三角形，贝1J该

三棱锥的外接球体积为.

18

【例2】已知平面图形尸48CD,42C。为矩形，AB=4,尸4D是以P为顶点的等腰直角三角形，如图所

示，将△尸/。沿着40翻折至△P4D,当四棱锥P-43co体积的最大值为屿，此时四棱锥P-/3C。外

3

接球的表面积为（）

A.127r

2.双距离单交线公式：区2=拼一+"2一;mncosa卡匚.证明：如图，若空间四边形/以力中,

sina4

二面角C-48-。的平面角大小为a,的外接圆圆心为。］,/8C的外接圆圆心为。2，

E为公共弦N8中点，贝口/。1£。2=&，OlE=m,O2E=n,4E=g,OA=R,

由于。、OPE、。，四点共圆，且。£=2R=%2.,余弦定理|OQ,『uff?+/-z,Mcosa,

sina

2m2+n2-2mncosaI2

得R2+|/同=---------------+一•

sina4

【例1】已知三棱锥。-/8C所有顶点都在球。的球面上，△/日?为边长为2g的正三角形，AABD是以

为斜边的直角三角形，且/。=2,二面角C-/8-。为120。，则球。的表面积为（）

19

题型4几何体内切球

1.棱锥的内切球半径：等体积法

第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积.

第二步、设内切球半径为厂，建立等式：

Vp-ABC=^O-ABC+^O-PAB+—O-PAC+^O-PBC=^P-ABC~MBC+^PAB+^PAC+)"•

3—P—ABC

第三步、解出一

SWBC+S"AB+S"AC+S"BC

注意：正四面体（棱长为。）的外接球半径R与内切球半径一之比为R"=3:1.

外接球半径：R=—a,内切球半径：厂="a.

412

【例11正三棱锥S-N3C,底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是多少?

2.圆锥的内切球问题

【例2】（2023•合肥月考）已知某圆锥的高为4,其内切球的体积为3乃，则该圆锥的侧面积S=（）

A.7iB.3兀C.6兀D.12〃

20

【例3】点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，血W是该四面体内切球的一条直径，则而•丽的最大

值是.

【例4】(2025•八省第一次联考)如图，在三棱锥P-42C中，PA=PB=CA=CB=2,ZAPB=ZACB=-,

2

E,F,G分别为尸/,PB,PC上靠近点尸的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥尸-N8C的

四个面均相切，且小球同时还与平面MG相切，则PC=()

A.V6+V2B.V6-V2C.V13+1D.V13-1

题型5几何体棱切球

1.常用结论:

①已知正方体的棱长为0,则它的棱切球半径为R=

②已知正三棱柱的棱长均为a,则它的棱切球半径为R=半

③已知正四面体的棱长为0,则它的棱切球半径为尺=容.

2.解题技巧:

①找切点，找球心，构造直角三角形.

②正〃棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点。，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过

对称性或者截面圆心的垂心确定.

③棱长都为。的正"棱柱，则棱切球的半径为五=」^

2sin—

n

21

【例1】已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为

A4乃口A仄C24-767TD8及兀

A.—B.4A/3万C.---

,3

【题2】已知球。的表面积为9兀，若球。与正四面体S-43C的六条棱均相切，则此四面体的体积为（）

A.9B.34C.苧

【题3】已知正三棱柱的高等于1,一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（）

A7B.弋C.”：D,也

3

考向3动态立体几何

立体几何中的动态翻折问题

1.关于点的轨迹：某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹的关键是找

到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系.

2.证明或探索位置关系：

①确定翻折前后变与不变的关系，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，

而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而

对于变化的关系则要在立体图形中解决.

②确定翻折后关键点的位置，所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会

带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只

有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与

计算

3.关于体积最值问题，将一个多边形沿一条线折叠得到一个棱锥，当该棱锥的体积最大时，以折线为交线的

两个半平面垂直，当在折叠过程中棱锥的底面积和高度同时变化时，则需要构建目标函数，通过自变量的

范围，求函数最值解决.

4.旋转问题，两线段距离之和最值问题，将不共面的两线段旋转到同一平面，再利用平面几何知识进行求

解.

22

题型1轨迹问题

【例1】如图，矩形/8CD中，AB=2AD=2,E为边N8的中点，将△/£>£沿DE翻折成△/QE,若M为

线段4c的中点，则在翻折过程中，M点的轨迹为（）

A.椭圆的一段B.直线的一段C.抛物线的一段D.一段圆弧

【例2】已知正方形A8CD的边长为2,将沿/C翻折到△/C。的位置，得到四面体。-48C,在翻

折过程中，点。始终位于08c所在平面的同一侧，且BD'的最小值为血,则点D的运动轨迹的长度为（）

A.nB.2万C.哀友D.

33

题型2最值问题

【例3】（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周

上的一个动点，则AA8C的面积的取值范围为.

［例4］在梯形ABCD中,ZABC=ABAD=90°,AB=BC=-AD=\,将“BC沿直线AC翻折成△48C,

当三棱锥片-/CD的体积最大时，三棱锥瓦-NCD的外接球的表面积为.

23

【例5】（2017•新课标I）如图，圆形纸片的圆心为。，半径为5cm,该纸片上的等边三角形/3C的中心

为。.D、E、尸为圆。上的点，NDBC,NECA,A7M8分别是以BC,CA,为底边的等腰三角形.沿

虚线剪开后，分别以8C,CA,为折痕折起AD8C,AECA,AFAB,使得D、E、尸重合，得到三

棱锥.当A43C的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：c疝）的最大值为

【例6】（2024叮8联考模拟）已知正方体4BCD-4⑸GO的棱长为2，P为线段GA上的动点，则三棱

锥P-3。外接球半径的取值范围为（）

A.[孚2]B•哼，我c.呼，向D.哼，我

4

【例7】（2025•武汉二调）如图，直角梯形48。中，BCHAD,AB1AD,BC=8,AD=9,AB=243,

点E为线段BC不在端点上的一点，过E作48的平行线交4D于E,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂

直，得到六面体N3CDE1厂.

（1）若CB_L8。，求BE的长;

（2）求异面直线3C与/。所成角余弦值的最小值.

24

题型3旋转问题

【例1】如图，正方体/BCD-481G2的棱长为2，P是面对角线BG上一动点，。是底面4BCD上一动

点，则。/+尸。的最小值是

【例2】（多选）在棱长为1的正方体48co-4瓦。1。中，点尸满足方=2函+〃52,2e[0,1],〃e[0,

1],则以下说法正确的是（）

A.当;1=〃时，3P//平面

B.当〃=；时，存在唯一点尸使得。尸与直线的夹角为?

C.当％+〃=1时，DP+PB的最小值为也+亚

D.当点尸落在以耳为球心，血为半径的球面上时，2+〃的最小值为2-正

题型四体积分割之动态定直线

例1.（2025•武汉二调）四棱锥尸-43C。中，4B=AD=牺,CB=CD=5,ABAD=90°,尸8=4,PC=3,

△PBC内部点。满足四棱锥0-/8CD与三棱锥0-P/D的体积相等，则尸。长的最小值为.

25

题型5折叠构造旋转面求最值

例2.(2025・T8第二次模拟)在平面四边形45CD中，AB=AC=CD=1,ZADC=30°,ZDAB=120°,

将△/CD沿NC翻折至△/CP,其中尸为动点.

(1)设三棱锥尸-N8C的各个顶点都在球。的球面上.

⑶证明：平面PNC_L平面；

(ii)求球。的半径；

(2)求二面角/-CP-3的余弦值的最小值.

拓展思维2折叠中的向量不变性

1.斯坦纳定理

对角线向量定理之折痕向量乘积不变性

就前=(勾+赤)-("+万)①

2

如左图所示，在A43c中，由余弦定理的向量式有声・而=0"+°82-―-；在AC。中，同理有

CA-CD=所以在四边形/BCD^,AC-BD=AC-(CD-CB)=⑷-心+C”1),

即二•丽S+睢)一函+。2),这就是对角线向量定理(斯坦纳定理).

推论1：cos(AC,BD^=②

I\AC\\BD\

说明：式子①②既适用于平面向量也适用于空间向量

推论2：在空间向量中涉及折叠的问题，一定有折痕的向量与任意向量在折叠前后对应的向量的乘积不变;

证明：如右图所示，在四边形/8C〃中，沿着3。折叠后，/移到了4位置，贝IJ

AD2+BC1-AB2-CD2A'D2+BC2-A'B2-CD2

AC-BD==A'CBD.

22

26

【例1】（2005•浙江）如图所示，M、N是直角梯形N8C。两腰的中点，DE_LAB于E,现将A4DE沿

DE折起，使二面角为45。，此时点/在平面3CDE内的射影恰为点8,则/、N的连线与/£

所成的角的大小为.

【例2】（2015•浙江）如图，三棱锥/-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点、M,N分别

是/£）,BC的中点，则异面直线NN,CM所成的角的余弦值是.

【例3】（2009•浙江）如图在长方形/5CD中，AB=2,BC=\,E为。C的中点，尸为线段EC（端点

除外）上的动点，现将△NFD沿N尸折起，使平面，平面423,在平面内过点。做,

K为垂足，设/K=/,贝卜的取值范围是.

【例4】（2012•浙江）己知矩形N5CD,48=1,BC=亚,将A48。沿矩形的对角线2。所在的直线进行翻

折，在翻折过程中（）

A.存在某个位置，使得直线/C与直线2。垂直

B.存在某个位置，使得直线与直线C。垂直

C.