空间向量及其运算的坐标表示（4知识点+七大题型+思维导图+过关检测）学生版-2025年新高二数学暑假专项提升（人教A版）

专题04空间向量及其运算的坐标表示

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8析教材学知识

知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点。和一个单位正交基底色，眉，以。为原点，分别以\/,左的方向

为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立

了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：。叫做原点，左都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。孙

平面、2yz平面、阳平面，它们把空间分成八个部分.

2、空间向量的坐标表示

(1)空间一点的坐标：在空间直角坐标系。孙2中，为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向

量。4,且点A的位置由向量。4唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(X,%Z),使

OA=xi+yj+zh在单位正交基底｛i,j,k｝下与向量OA对应的有序实数组(％,%z)叫做点A在此空间直

角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，V叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐

标.

(2)空间向量的坐标：在空间直角坐标系。qz中，给定向量°,作。4=a.由空间向量基本定理，存在唯

一的有序实数组(x,y,z)=xi+yj+zk.有序实数组(％y,z)叫做£在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,

上式可简记作a=(x,y,z).

(3)右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方

向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明，我们建立的坐标系都是

右手直角坐标系.

知识点02：特殊的的坐标及点的对称坐标

1、几类特殊位置的点的坐标

（1）x轴上的点的坐标为（九,0,0）

（2）y轴上的点的坐标为（0,y,0）

（3）z轴上的点的坐标为（0,0,z）

（4）O孙平面内的点的坐标为（尤,y,0）

（5）Ozr平面内的点的坐标为（尤,0,z）

（6）0yz平面内的点的坐标为（0,y,z）

2、空间中点的对称点的坐标：设点尸（x,y,z）为空间直角坐标系中的点，则

（1）与点P关于原点对称的点是《（—匕―％—z）

（2）与点P关于x轴对称的点是E（x,-y,-z）

（3）与点尸关于y轴对称的点是鸟（-x,y,-z）

（4）与点P关于z轴对称的点是A（-x,-y,z）

（5）与点P关于。孙平面对称的点是g（x,y,-z）

（6）与点P关于Ozx平面对称的点是《（X,-y,z）

（7）与点P关于Oyz平面对称的点是？（-x,y,z）

注：对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论.

知识点03：空间向量运算的坐标表示

1、设“=（%,a2,°3）力=（仇，%%）,空间向量的坐标运算法则如下表所示:

运算坐标表示

加法

〃+匕=（。1+4，tz2+z?2,4+&）

减法a—b-{ax一如a2一b2,a3一b3）

数乘之见，九。3）,AE.R

数量积a-b=a2b2+a3b3

2、两个向量的平行与垂直

Q二(%,a2,%)力=(2，%%)

=做

平行(。b)ab(bw0)=〃=肪=<a?-也(％eR)

a3=丸4

垂直(aJ_6)〃_L。=。/=。0+。2,2+。3°3=。均非零向量)

ax-独

特别提醒：在。6sH0)={4=彳4(4€尺)中，应特别注意，只有在b与三个坐标平面都不平行时，才

生—劝3

a.%a.a,

能写成U=U=U•例如，若b与坐标平面九0y平行，则4=0,这样,就没有意义了.

3、向量长度的坐标计算公式

若4=(%,a2,%)，则Ia|二J|a『==7a；+a：+d，即|a|={a；+??+a；

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

5、两个向量夹角的坐标计算公式

、a-b_01bl+a2b2+a3b3

设a=(%,%,"=(4,b2,b3),则cos<a，。>=|a||b|=Jd+；"枢+>

知识点04：空间中两点的距离公式

4

若孙力乌)，B(X2,y2iz2),则

(1)AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(jq,=(j^一%，%——4)

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

(2)|AB|=dAB=J(%2—Xi)?+(%—M)~+G2—Z])~，

或^A,B=’(%2-尤])~+(%-%)+(Z[-Z]).

一题型01:空间向量中点的坐标表示

.［题型02:空间向量中点的坐标对称问题'

题型03:空间向量运算的坐标表示

__________________________________/

空间向量及其运算的坐标表示—［题型04:空间向量坐标中平行、垂直关系的运算

［题型05:空间向量坐标中夹角的运算'

］题型06:空间向量坐标中模长的运算'

题型07:空间向量坐标中投影向量的运算'

【题型01：空间向量中点的坐标表示】

一、单选题

1.（23-24高二上.北京西城•期中）在如图所示的空间直角坐标系中，A8CD-aqGR是单位正方体，其

中点A的坐标是（）

A.（―1,-1,-1）B.（―1,1,-1）C.（1,-1,1）D.（1,—1,—1）

2.（24-25高二上•河北邢台•阶段练习）已知点M是点N（6,7,8）在坐标平面X。内的射影，则口河卜（）

A.785B.10C.Vn3D.100

3.（24-25高二上•福建三明•阶段练习）如图，在长方体0ABe-QA瓦G中，04=4,0c=6,OO1=2,

点尸是8c的中点，则点P的坐标为（）

(3,4,2)C.(4,6,2)D.(6,2,1)

4.（24-25高二上•广西南宁•阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中,正方体的棱长为2,卜3|尸网,

(1,2,3)C.(3,2,1)D.(1,2,1)

二、解答题

5.（24-25高二下・甘肃定西•阶段练习）如图所示，在长方体AB。-ABC2中，|AB|=|AD|=3,=2,

点河在AG上，点N在RC上且为AC的中点，以A为坐标原点，分别以A民ARAA所

在的直线为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-孙Z如图.

⑴求G，2的坐标；

（2）求线段"N的长度.

6.（24-25高二上•全国•课后作业）在直三棱柱中，ZAOB=^,AO=4,BO=2,M=4,

I111IULM

。为A内的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求。O，A.B

的坐标.

【题型02：空间向量中点的坐标对称问题】

一、单选题

1.（24-25高二上•广东广州•阶段练习）在空间直角坐标系。肛z中，点M（2,3,-1）关于平面yOz对称的点的

坐标是（）

A.（2,3,1）B.（2,—3,-1）C.（—2,3,-1）D.（2,—3,1）

2.（24-25高二上•辽宁抚顺・期末）已知点4（3,-1,1）关于z轴的对称点为点3,则网=（）

A.2MB.2C.V10D.6

3.（24-25高二上•河南驻马店•阶段练习）在空间直角坐标系。孙z中，点M（3,6,9）与点N（3,6,-9）关于（）

对称

A.Ozx平面B.z轴C.。砂平面D.Oyz平面

4.（24-25高二上•北京丰台•期中）在空间直角坐标系。孙z中，若点3（-1,2,3）关于>轴的对称点为点9，

点C（l,l，-2）关于。yz平面的对称点为点C"则（）

A.（—2,—1,1）B.（0,—3,5）

C.（2,1,-1）D.（0,3,-5）

5.（24-25高二下•全国•课后作业）已知点A（-3,l,4）,8（7,1,0）,则线段AB的中点M在yOz平面上的射影

点的坐标为（）

A.（0,1,2）B.（2,1,2）C.（2,-1,2）D.（-2,1,-2）

6.（23-24高二上.湖北•期中）一束光线自点玳-1」,1）发出，被W>z平面反射后到达点。（-3,3,3）被吸收，

则光线所走的路程是（）

A.2也B.6C.2A/6D.473

【题型03：空间向量运算的坐标表示】

一、单选题

1.（24-25高二上•云南昆明•期末）已知向量a=（-2,3,1）力=（0,-1,4）,则立+30=（）

A.（-4,6,14）B.（<0,6）C.（T3,6）D.（-4,3,14）

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知向量a=（2,-3,1）"=（2,0,3）,c=（0,0,2）,贝仙«26-c）=（）

A.12B.-12C.9D.-9

3.（24-25高二上•海南•期末）在空间四边形ABC。中，AB=（1,3,2）,BC=（-2,-3,1）,AD=（3,1,2）,则cr>=

（）

A.（4,1,-1）B.（T,—1,1）

C.（0-5,1）D.（O,5,-l）

4.（24-25高二下•湖北•阶段练习）棱长为2的正方体4BCD-A与G2中，点E是BG的中点，则=

（）

A.0B.1C.2D.5/3

5.（24-25高二上•辽宁大连•期中）已知向量。=（苍1,-1）,。=（2,1,尤），若a-b=2,则实数x等于（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（24-25高二上•江西上饶•期末）已知向量；=（一2,1,-5）,3。一2力=（一10,5,-13）贝必力=（）

A.10B.2C.0D.-2

【题型04：空间向量坐标中平行、垂直关系的运算】

一、单选题

1.（24-25高二下•江苏泰州•期中）已知向量a=（x,4,-2）,二（-2,刈,若力/九则（）

A.孙=一8B.xy=-2C.xy=2D.A^=8

2.（24-25高二上•安徽阜阳•阶段练习）已知向量。=（1,7〃,-1）为=（1,-1,1）,若+贝心篦=（）

A.4B.3C.2D.1

3.（24-25高二上•陕西咸阳•期中）已知：=（1,1,0）,方=（-1,0,2）,且入+6与2a垂直，则上的值为（）

A.-B.-C.-D.-

3556

4.（24-25高二上•河北保定•阶段练习）与向量4=（2,0,-2）同向的单位向量为（）

5.（24-25高二上•山东威海•期中）已知A（x,3,2）,B（-l,y,l）,C（5,l,4）,若AB〃AC，则》+>=（）

A.-2B.3C.5D.6

6.（23-24高二上.广东茂名•期末）如图，正三棱柱的棱长都是1,加是的中点，CN=ACCl

,且贝1］几=（）

AB

A.—■B.—C.—D.一

2345

【题型05：空间向量坐标中夹角的运算】

一、单选题

1.（24-25高二上•湖南邵阳•期中）已知空间向量。=（2,3,6）,b=（3,-4,l）,J回（）

,71「71一冗一兀

A.—B.—C.-D.一

2346

与b的夹角余弦为正，则4

2.（24-25高二上•山东青岛•阶段练习）若向量£=（1,4,1）,6=（2,-1,一2）且£

6

等于（）

A.2B.&C.一0或&D.-V2

3.（24-25高二上•云南玉溪•阶段练习）已知。+6=（2,-1,0）,。4=（0,3,-2），则COS,1）的值为（）

A.-B.-立C.3D.五

3333

4.（24-25高二上•陕西宝鸡•期中）已知向量。=（0,-1,2）,6=（2,0,1）,以“，b为邻边的平行四边形的面

积为（）

A.J21B.昱C.2D.12

2

5.（24-25高二上•安徽淮南•期中）已知空间向量。=（2,-1,1）,b=（〃?,_3,3）,若。与。的夹角是锐角，则加

的取值范围是（）

A.（-<x）,-6）u（-6,3）B.（-<x）,3）

C.（-3,6）（6,d-oo）D.（-3,+oo）

二、解答题

点A的坐标为（¥，；,0）,点

6.（16-17高二上•河北衡水・周测）如图，BC=2,坐标原点。是的中点，

。在平面yOz上，且/8DC=90。，NDCB=30°.

（1）求向量CD的坐标；

⑵求AD与BC的夹角的余弦值.

【题型06：空间向量坐标中模长的运算】

一、单选题

1.（24-25高二下•福建漳州•期中）已知x，yeR,向量a=b=（2,y,2）,c=（x,y,2）,若°/小，

则ld=（）

A.3B.5C.7D.9

2.（24-25高二下•江苏南京•阶段练习）设x,yeR,向量D=（x,l,l）,6=（l,y,l）,C=（2,-4,2）,且ac,6//c,

则|a+b|=（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25高二上•河北沧州•阶段练习）已知。是坐标原点，空间向量OA=（1,1,2）,08=（-1,3,4）,OC=（2,4,4）,

若线段AB的中点为O,贝小。卜（）

A.272B.3C.8D.9

4.（24-25高二下•河北石家庄•开学考试）已知长方体48。-4月62中，AB=2,AD=AAi=l,向量

AM=xAAi+yAB+ZAD>且x+2y+z=2,则卜解的最小值为（）

A.BB.9C.6D.史

333

二、填空题

5.（24-25高二上•山东荷泽•阶段练习）已知向量。=（0,-1,1）"=（4,1,0）,向+可=回，且/1>0,则彳=.

三、解答题

6.（23-24高二下.全国•课后作业）如图所示，在四棱锥Q-OBC中，建立空间直角坐标系。-孙z,若

OD=2,Q4=4,OC=6,M是8。的中点，求的长度.

a

【题型07：空间向量坐标中投影向量的运算】

一、单选题

1.（24-25高二下•江苏南京•阶段练习）已知空间向量&=（2,-1,2）,6=（1,2,1）,则向量6在向量“上的投影

向量是（）

A-E'WB.（2,一1,2）C.件一|，（）D,（1,-2,1）

2.（24-25高二上•浙江杭州•期中）已知向量）=（2,0,2）,c=（l,-2,3），则下列列结论正

确的是（）

A.°与b垂直B,。与6+c共线

C.。与c所成角为钝角D.7a在：上的投影向量为4c

二、填空题

3.（24-25高二上•重庆秀山・期末）在空间直角坐标系。-孙z中，已知向量a=（1,0,3）,贝筋在》轴上的投

影向量为.

4.（23-24高二上•福建莆田•阶段练习）已知向量“在向量b上的投影向量是-,且6=（1,1,-1）,则

a-b=•

5.（23-24高二上•福建福州・期末）已知。为单位向量.8=（1,0,0）,若卜-同|=1,则a在b上的投影向量

为.

三、解答题

6.（23-24高二上.全国.课后作业）已知正方体ABC。-A瓦G。的棱长为2,E,尸分别为棱B与，的

中点，建立空间直角坐标系，如图所示.

⑴写出正方体ABCD-A4CQ各顶点的坐标;

(2)写出向量石尸，BtF,AE的坐标；

⑶求向量AC在向量上的投影向量的坐标.

空间直角坐标系的概念

一、空间直角坐标系

右手直角坐标系定义

点的坐标表示

空间向量及其运算

二、空间向量的坐标表示点的对称点的坐标表示

的坐标表示

向量的坐标表示

加、减、数乘、数量积运算

平行与垂直运算

三、空间向量运算的坐标表示模长运算

夹角运算

距离公式

一、单选题

1.(24-25高二上•河南开封•期末)已知点B是点2,3)在坐标平面。町内的射影，则()

A.V5B.V10C.而D.5

2.(24-25高二上•海南省直辖县级单位•阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-ABCI中，底面三角形ABC为

直角三角形48=4^=44=1,P为qG的中点，则AC/3P=()

,33i

A.—B.1C.—D.—

242

3.(24-25高二上.安徽亳州・期末)若向量)=(1,0,-1),=(-1,2,3),C=(l,2,。共面，则［c|=()

A.6B.«C.30D.屈

4.（24-25高二上.四川达州.期末）已知向量a=（2,0,-3）,。=（3,1,尤）c=(l,l,l),aVb，贝必在6-2c方

向上的投影向量为（）

A.（1-1,0）

C.72,0^

5.（24-25高二上•贵州黔东南•期末）已知AB=（1,-1,尤）,AC=（3,1,-y）,AP=（y,2,l）,若AP2平面ABC,

贝IJ|AB|=（）

A.11B.VTTC.3D.百

6.（24-25高二下•福建•期中）如图，在棱长为2后的正四面体（四个面都是正三角形）ABC。中，瓦厂分

别为8C,。的中点，且A尸在DE方向上的投影向量为;I避，则力的值为（）

Vx.----

6

D.一渔

6

7.（24-25高二下.江苏常州•期中）已知动点P是棱长为1的正方体ABC。-44G2的对角线5,上一点,

记当/Ape为钝角时，％的取值范围为（）

DD]

ab1c

-M-Q'）-H}D/|,“

8.（23-24高二上•浙江湖州•期中）设空间两个单位向量OA=（九n,0）,OB=（0,",p）与向量OC=（1,1,1）的夹

■7T

角都等于:，贝!JcosNAO6=（）

4

A.”昱B.2C.”@或2D.竺昱或丝也

424422

9.（24-25高二上•河南•期中）如图，在多面体EF-ABCD中，底面A3CL＞是边长为1的正方形，M为底

面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD,C产，底面ABCD,S.AE=CF=2,则的

最小值与最大值分别为（）

二、多选题

10.（24-25高二下•河南•期中）在空间直角坐标系。孙z中，己知点A（2,l,-1）,3（a,6,c）（与点。不重合），

则下列结论正确的是（）

A.若点A,B关于。町平面对称，则a+b+c=-2

B.若点A,8关于x轴对称，贝|a+6+c=2

C.若OA_L0B,则2a+b—c=0

D.若08=AB=l,则2。+6-。=-3

11.（24-25高二上•河南商丘•期中）已知向量。，b满足a+6=（-M,3）,。-26=（＜-2,-3）,c=（2,2,4）,

则下列结论正确的是（）

A.a=（2,0,-1）