矩形的性质与判定 预习练（含解析）-北师大版九年级数学上册

L2矩形的性质与判定

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，矩形A30C的边B。、。。分别在.1轴、），轴上，点A的坐标是（-6,4）,点。、石分别为AC、

OC的中点，点P为08上一动点，当叨+PE最小时，点P的坐标为（）

C.(-3,0)D.(-4,0)

2.如图,在V/WC中,NHAC=9（）。，AB=AC,。为边卜一动点,连接4/）.以A/）为底边，在

A。的左侧作等腰直角三角形VAOE,点尸是边AC上的定点,，连接小，当AE+FE取最小值时，若

ZAFE=a,则ZAEF为（）（用含a的式子表示）

C.90°+«D.180°-2«

2

3.如图，矩形A4C。中,直线MN垂直平分AC,与CD,A8分别交于点M,N.若DM=1,

CM=2,则矩形的对角线AC的长为（）

A.2>/3B.6C.75D.4

4.如图，在矩形48C。中，连接8。，分别以反。为圆心，大于:必的长为半径画弧，两弧交于P、

。两点，作直线尸Q,分别与4。、BC交于点M、N,连接BW、DN.若AO=4,45=2.则四边形

M8NQ的周长为（）

5C.10D.20

2

5.如图，矩形ABC。中，P为AB边上一动点、（含端点），广为CP中点，E为CD中点,当点。由4

向A运动时，下面对放变化情况描述正确的是（）

C.先变大后边小D.先变小后变大

6.如图，在VA8C中，点。，E,〃分别在边8C,A3,CA上，且DE〃C4,DF//BA.下列四

种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果N8AC=90。，那么四选形AEZ）尸是矩形

③如果AD'F分一必C,那么四边形是菱形；

④如果AO/4C,且AA=AC,那么四边形AE£）户是菱形.

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，AB=CD=ED,AD=EB,BE上DE于点、E.则下列条件中，不能使四边形A8C。成为矩

形的条件是（）

£

I)

A.AB//CDB.BE=BC

C.Z4=ZED.ZADC=9Ci°

8.如图，矩形ABC。的对角线AG8。相交于点。，点E是线段AC上一点，连接ED.若&BED

9.如图，在矩形48co中，点M在边上，把48cM沿直线CM折叠，使点8落在4力边上的点

E处,连接比，过点B作2尸，反1,垂足为F,若CO=l,b=2,则线段4£的长为（）

A.x/5-2B.痒1C.-D.y

10.在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,CE=2BEtEF=2,连按人F,将线段人“绕着点人顺时针旋

转90。得到AP,则线段PE的最小值为（）

A.2亚B.734-2C.4D.x/34+l

II.如图，矩形AAC7）的两条对角线相交于点0,CE垂直平分。O,AA=4,则BE等于（）

A

17.如图，在直角坐标系中，点B的坐标为(15,8),若直线)，=；、+，〃与长方形。48c的边AA,OC

有交点，且恰好将长方形Q48C分为面枳相等的两部分，则加的值为.

y/k

C----------------\B

OAx

三、解答题

18.如图所示，在V42C中，CE,团)分别是人〃，4C边上的高，求证；R,C,D,E四点在同

一个圆上.

BC

19.如图，在矩形ABC。中，A8=4,BC=6,若点尸在AO边上，连接8八尸C,一8PC是以尸8为腰

的等腰三角形，求/W的长.

20.有两个全等的三角形纸片V4JC和J）所，其中NA8c=/。£/=90。，ZC=ZF,将VA8C和

4）所按如图所示方式摆放，斜边4。和。尸的中点重合（标记为点0）,DE交AB于点G.当

DFA3时，试判断四边形AGDO的形状，并说明理由.

21.如图①，平面直角坐标系中，长方形ABCD的边在x轴上，OC边在)'轴上，月.=10,OC=8.

O0

图①图②

⑴在长方形的AB边上找一点“，使得直线OM将长方形。48c的面积分成1:3两部分，则点M的坐

标为

⑵如图②，已知点E在48边上，且AE=3,请你在AC边上找一点尸，将△£»尸沿后产翻折，使得

点〃恰好落在x轴上的点8'处.

①求线段跖所在直线的函数表达式；

②在线段所上是否存在一点P,使得直线0P将四边形OA印的面积分成2：3两部分？若存在，求

出符合条件的所有点?坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图，在长方形纸片A3CD中，AZ)=5,A4=8,点E为射线QC上一个动点，把丫4)£沿直线

AE所在直线折叠，当点的对应点厂刚好落在线段A4的垂直平分线上时，求的长.

23.如图，已知以△A8C的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形AB。、BCE^ACF.

⑴求证：四边形ADEb是平行四边形；

(2SA4C满足什么条件时:四力形从。£尸是菱形？是矩形？并说明理由;

⑶这样的平行四边形AOEE是否总是存在？请说明理由.

24.已知线段AC,以AC为斜边作RtZ\A8C和RtADC,连接8。，M、N分别是线段AC、8力的中

点，连接MN、MB.

⑴如图1,RtZXABC和RtADC在线段4c的两侧.

①求证：MN1BD；

②若N84C=45。，ND4C=28。；请求出的度数;

⑵如图2,RtZ\AyC和RiSDC在线段AC的同侧，若NHAC=a、乙DAC=/3（a>0）,则N8MV的

度数为（用含a、4的代数式表示）

《1.2矩形的性质与判定》参考答案

题号12345678910

答案ADACBDCAAB

题号1112

答案CB

1.A

【分析】本题主要考查了矩形的性质.釉对称最短路径问题.坐标与图形.求一次函数与坐标轴的交

点坐标，取点七关于x轴的对称点£，连接PE',连接。£交工轴于点〃，则孔）+正最小值为

此时点P位于P，处，利用矩形的性质得到AC=6,OC=4,则。（-3,4）,£（0,-2）,再求出直线。£

的解析式为y=—2工一2,即可求出点产的坐标.

【详解】解：取点E关于x轴的对称点£,连接PE',连接DE交工轴于点〃,

；•PE=PE,

*/PD+PE=PD+PENDE',

,PD+PE最小值为DE,此时点P位于P'处,

•・•四边形48OC是矩形，点A的坐标是（-6,4）,

AAC=6,OC=4,

•・•点。、E分别为人C、OC的中点，

AD（3,4）,E（0,2）,

・•・E（0,-2）

设直线DE的解析式为y=依+〃，

-3k+b=4

[k=-2

解得

b=-2

•••直线DE的解析式为y=-2A-2,

当y=0时，0=-2x-2,

解得x=-l，

〃(-1,0),

即当包＞+小最小时，点。的坐标为（一1，。）,

故选：A.

2.D

【分析】如图，取8C的中点从连接A”，交ED于I,作直线”石，交A8于G,设ZHAD=0,

取A。的中点J,连接正，JH,证明NEH4=45。，则E在直线“E上运动，且当6,E,

/三点共线时，AE+EF=BE+EF=BF,此时最短，从而可得结论.

【详解】解：如图，取/3C的中点从连接A”，交于/,作直线交A5于G,

VZfiAC=90°,AR=AC,

/.AH=BH=CH,ZBAH=ZABC=ZACB=45°,AHIBC,

丁等腰直角三角形AEO,AE=ED,

AZE4D=ZEZM=45°,

设4HAD=0,

取AD的中点/,连接九，JH,

：,JE=JH=JA=JD,EJLAD,

：・4JAH=4JHA=。，ZJEH=4HE,

：.ZHJD=/JAH+ZJHA=2p,

.・・NEJH=\80。-90。-2/7=90°-2/?,

:.NJHE=g(180。-90。+2〃)=45。+〃=NEHA+0,

/.ZE/M=45°,

・•・E在直线上运动，且“EJLA6,

:HA=HB,

:.HE是A8的垂直平分线,

AAE=BE,43AE;ZABE,

当B,E，尸三点共线时，

AE+EF=BE+EF=BF,此时最短，

,/ZBAE+ZEAF=90°=ZABE+NAFB,

/.4EAF=ZAFB=a,

/.ZAEF=180°-2«,

故选D.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定

与性质，三角形的内角和定理的应用，证明E在直线"E上运动是解本题的关键.

3.A

【分析】本题考杳矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接AM,根据矩形的性质可■得？。90?,

再根据垂直平分线的性质可得A"=MC=2,利用勾股定理求得人。=6,再由QC=3,利用勾股

定理求解即可.

【详解】解：连接AM,

•••四边形八"C。是矩形，

，？力90?,

•・•直线MN垂直平分AC,

，AM=MC=2,

再中，AD=\l22-I2=V3»

,/DC=DM+MC=\+2=3,

，在肋AA/X?中，AC=^32+|>^)1=2>/3»

故选：A.

4.C

【分析】先根据矩形的性质可得4=90。,八。BC,再根据线段垂直平分线的性质可得

BM=DM、BN=DN,根据等腰三角形的性质可得NMOB==,从而可得

/MBD=/NDB,根据平行线的判定可得8MON,然后根据菱形的判定可得四边形M8VQ是菱形，

设8M=£>M=x(x>0),则AM=4-x,在RjABM中，利用勾股定理可得了的值，最后根据菱形的

周长公式即可得.

【详解】解：四边形A8C。是矩形，

.•.4=90。)。BC,

:.ZMDB=ZNBD,

由作图过程可知，P。垂直平分30,

:.BM=DM、BN=DN,

..XMDB=乙MBD、MNBD=乙NDB,

；.ZMBD=/NDB,

：.BMDN,

二.四边形是平行四边形，

又BM=DM,

二平行四边形是菱形，

设何=x(x>U),则AM=AO_/W=4—x,

在Rt二A8W中，AB2+AM2=BM^即22+(4-幻2=丁,

解得.|,

则四边形MBND的周长为48M=4x=4x-=10,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌

握菱形的判定与性质是解题关犍.

5.B

【分析】连接。P，则£尸为△COP的中位线，当点P由4向A运动时，OP由大变小，利用中位线的

性质即可得到结论.

E为CD中点,F为CP中点,

EF=-DP

2f

在Rt.DAP中，山勾股定理得，

DP=y]DA2+AP2»

当点尸由8向A运动时，

AP的长度逐渐减小，

；.DP减小,

二.E尸由大变小.

故选:B.

【点睛】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线.

6.D

【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据/龙〃。，DFBA,得出AEZ）厂为平

行四边形，得出①正确；当NB4C=90。，根据推出的平行四边形AED尸，利用有一个角为直角的平

行四边形为矩形可得出②正确；若AO平分N8AC,得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等

乂得到一对角相等，等量代换可得NE4O=N£D4,利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相

等的平行四边形为菱形可得出③正确；由A/3=AC,4。工4C,根据等腰三角形的三线合一可得A。

平分NR4C,同理可得四边形'是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数.

【详解】解：DECA,DFBA,

二•四边形ATO厂是平行四边形，选项①正确：

若N8AC=90。，

二平行四边形A£DE为矩形，选项②正确；

若AD平:分^BAC,

:.ZEAD=ZFAD,

又。上〃C4,

:.ZEDA=ZFAD，

.\ZEAD=ZEDA,

;.AE=DE,

・•・平行四边形AEDE为菱形，选项③正确；

若A3=AC,ADJ.BC,

.〃。平分一朋。，

同理可得平行四边形人以邛为菱形，选项④正确，

则其中正确的个数有4个.

故选：D.

【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有；平行线的性质，角平分

线的定义，以及等腰三角形的判定与性质.

7.C

【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定

方法，先证明得出/A=NE=90。，然后根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可.

【详解】解：

:."=90°,

•:AB=DE,AD=BE,BD=BD,

/\ABD^/\EDB，

AZA=ZE=90°；

A.VAB//CD,AB=CD,

・•・四边形43CO为平行四边形，

VZA=90°,

・•・四边形A4c。为矩形，故A不符合题意；

B.VBE=BC,AD=EB,

，AD=BC,

•・•AB=CD

・•・四边形48co为平行四边形，

VZA=90°,

・•・四边形A5c。为矩形，故B不符合题意；

C.根据N4=NE不能判定四边形ABC。为矩形，故C不符合题意；

D.VZA7X?=90°,NA=90。，

・••ZADC+ZA=180°,

・•・AB//CD,

*/AB=CD,

，四边形A8co为平行四边形，

,:Z4=90。，

・•・四边形A8CO为矩形，故D不符合题意.

故选：C.

8.A

【分析】作QM_ZAC于M,BN±AC于N,由矩形的性质推出&AN降CMD(S),得至ijBN=DM,

=，)

由二角形面积公式得到$ADOE由SBED=$HEC»推出$H(X.=3sHOE,由SM)A=SC(H,得•到

11

SABE=4SBQE，又5£><7£=58&?,即可求出44花和式?£)£的面积比.

【详解】解：作。M1AC于M,8N_LAC于N,

/.AB=CD,AB//CD,AO=OCf

：.NBAN=NDCE,

•・•ZANB=/DMC=90。，

・••一AA8"CV〃)(AAS),

：.BN=DM,

•:SM,F=-OEBN,Sf)OF=-OEDM,

2z

••SgOE=S^DOE，

**SBED~SBEC，

••SBEC=2SBOE，

,,S,BOC=3sBOE，

,/AO=OC,

••SBOA=SCOB,

•q一4Q

,,力ABE-f'BOE»

,zS/“，='cEBN,SIXT=-CEDM,

.ocv2.2

•q-q

••Jr)CE-uBEC，

:...ABE和XDE的面积比等于2:1.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面枳，关键是由三角形面积公式

=

得到S&BOESN)QE，S=sBEC•

9.A

【分析】先证明△BR7安△CDE,可得DE=CF=2,再用勾股定理求得CE=45，从而可得4D=BC=V5，

最后求得AE的长.

【详解】解：•・•四边形ABC。是矩形，

：,BC=AD,NA8GNO=90。，AD//BC,

:.ZDEC=ZFCB,

•:8F±EC,

：.NBFC=NCDE,

•・•把"CW沿直线CM折叠，使点8落在4。边上的点E处，

:,BC=EC,

在ABFC与aCDE中，

/DEC=NFCB

NBFC=NCDE

BC=EC

:•△BFC/MCDE(AAS),

:・DE=CF=2,

,CE=ylcif+DE2=Vl2+22=加，

:・AD=BC=CE=«,

：.AE=AD-DE=45-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本

题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题.

10.B

【分析】连接AE，过点A作AG_LA,截取AG=AE,连接PG,GE,通过SAS证明△AE/乡△AGP,

得PG=EF=2,再利用勾股定理求出GE的长，在AGPE中，利用三边关系即可得出答案.

【详解】解：连接AE,过点A作AGJLAE,截取AG=4E,连接尸G,GE,

AD

•・•将线段八F绕着点A顺时针旋转以)。得到AP,

：.AF=AP,ZPAF=90Q,

ZME+ZB4E=ZME+ZMG=90°,

/.ZME=ZMG,

在AAE尸和^AG尸中，

AF=AP

«/FAF.=/PAGt

AE=AG

/.(SAS),

・・・PG=EF=2,

*：BC=3,CE=2BE,

工BET,

在MzMBE中.由勾股定理得：

AE=JAB2+BE?=V42+l2=历,，

*：AG=AE,/G4E=90。，

/.GE=&AE=>/34,,

在AGPE中，PE>GE-PG,

・・・PE的最小值为GE-PG=y/34-2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助

线构造出全等三角形是解题的关键.

11.C

【分析】由矩形的性质得出O4=N=OD=OC，证明OOC,Z\OA8都是等边三角形即可解决问题.

【详解】解：四边形AG8是矩形，

:.OA=OB=OD=OC,

“垂直平分相等0。，

:.CO=CD,

.-.OC=OD=CD,

.•.18C是等边三角形，则△Q4B是等边三角形，

;.OB=AB=OD=4,OE=DE=-CD=2,

2

:.HE=OHiOE=4i2=6,

故选：c.

【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决诃题.

12.B

【分析】以0A为边作等边三角形AOF，连接M,证明NBAFHEOB，得到？EBO?BFA,OB=OF,

进而求出N/30=40。，得到？。打尸2OFB70?,推出？EBO2BFA10?,最后根据三角形的外

角性质求解即可.

【详解】解：如图，以Q4为边作等边三舛形AOF,连接8尸，

=FO=OA,ZMO=60°,

1ACB?CAD10?,

?BAF?BAD?FAO?CAD90?60?10?20?,

由矩形的性质可得。4=08=OC=O£>,

?OBC20cB10?,

..?AOB?OBC?OCB20?,

•••4BAF=ZAOB,

在△84f和工EOB中，

[BA=EO

NBAF二NEOB,

AF=OB

FORMAS),

A?EBO2BFA,

AOB=OF,

A?BOF?AOF?AOB60?20?40?,

A?OBF?OFB70?,

A?BFA1OFB1AFO70?60?10?,

..?EBO?BfA107,

?EBO?AOB10?20?30?,

故选；B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，

构造等边三角形AO尸是解题的关键.

13.1或9

【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定.解题的关键是根据题意

分情况讨论.

由勾股定理可以求出的长，设=在直角三角形OCP中，有勾股定理列方程即可，另一种情

况先证明岸二。。尸，再利用勾股定理即可.

【详解】解：根据题意得：AO=8C=5,A8=OC=3,N8=NC=90。，

分情况讨论：

当点P在线段8C上时，

根据折叠性质：AB=AE=3,BP=PE,NB=ZAEP=90°,

在心一花中，£>E=VA£>2-AE2=A/52-32=4»

设AP=x,则PE=x,PC=5-x,

在才中，(4+X)2=(5-A)2+32,

解得：x=l,

当点尸在线段AC的延长线上时,

根据折叠性质：A3=AE=3,BP=PE/B=ZAEP=90。,

QNEAD+NADE=90°,ZADE+NCDP=90°,

4bAD=4CDP,

在△4E。和中,

<NEAD=NCDP,

AE=CD

:2ED94DCP,

：.DP=AD=5,

在Rf_DCP中,PC=y]PD2-DC2=4-

.•.«P=BC+PC=5+4=9,

综上：4P的长为1或9,

故答案为：1或9.

14.12

【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得8。的长.

【详解】•・•四边形A8CO是矩形，A0=6cm,

BD=AC=2A0=12cm,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键.

15.78

【分析】首先根据勾股定理，可求得BE的长，再根据折叠的性质及平行线的性质，可证得花=。£,

据此即可求得结果.

【详解】解：四边形A3CZ）是矩形，

/.ZA=90o,AD//BC,

•.在RtZXABE中，BE=>JAB2+AE2=V122+52=13»/EDB=/DBC,

将一张长方形纸片A3co按图中那样折叠，

ZEBD=NDBC,

:.ZEDB=^EBD,

:.DE=BE=\3,

...%=goEA8=gxl3xl2=78,

故答案为：78.

【点睛】本题考杳了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，证得是解决本题的

关键.

16.6或旧/旧或不

【分析】连接CD，根据题意可得，当NAOQ=90。时，分。点在线段C£＞上和。C的延长线上，且

CQ=CP=\,勾股定理求得AQ即可.

【详解】如图，连接CD，

在RiaABC中，N4CB=90。，AC=BC=2>/2»

.\AB=4,CD1AD,

:.CD=-AI3=2,

2

根据题意可得，当NADQ=90。时，。点在C。上，且CQ=CP=1,

:.DQ=CD-CQ=2-\=\,

如图，在RlZXA。。中，AQ=y]AD2+DQ2=722+12

Q

在RtZXAQQ中，AD=CD=2、QD=CD+CQ=3

AQ=y]AD2+DQ2=>/22+32=V13

故答案为：旧或屈.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q的位置是解题

的关键.

-7

【分析】本题土要考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，表示出点石、下的坐标是解

题的关键.

计算出所围矩形的面积S=15x8=120,直线y=9+”恰好将矩形OA8C分为面积相等的构部分,

所以直线把矩形分为两边均为60，根据梯形面积求解阳的值.

【详解】解：点3的坐标为(15,8),

•••氏方形OWC的面积为15x8=120.

如图，设直线)，=白+机与A8的交点为E(15,5+〃z),与y轴交点为

直线y=9+〃?恰好将长方形Q48c分为面积相等的两部分,

.•・四边形。4£尸的面积为60,

/.gx(OF+AE)xOA=60,

m+5+m)x\5=60,

18.见解析

【分析】求证E,B,C,。四点在同一个圆上，△8CO是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为

圆心的圆上，因而只要再证明E到8C得中点的距离等于8C的一半就可以.此题主要考查了确定圆

的条件，求证儿个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等.

【详解】证明：如图所示，取AC的中点尸，连接。尸，EF.

QBD,CZT是VA4c的高,

.•.△8C。和8CE都是直角三角形.

：.DF,EF分别为RtABCD和Rt,4CE斜边上的中线,

，DF=EF=BF=CF.

：.E,B,C,。四点在以f总为圆心，!6c为半径的圆上.

19.6或5

【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键.先依题意,

作图，证明四边形人/〃7。是矩形，再进行分类讨论，第一种情况：当月夕=?。时，再结合么股定理列

式计算尸8=了不=5,第二种情况：当4《=3C=6,即可作答.

【详解】解：依题意，如图所示：

-H~~3c

•・•四边形ABC。是矩形

，Z4=90。，/ABH=90°.AD\BC

过点P作PH工BC

工NPHB=9()。

:・PHAB

，四边形A8”尸是平行四边形

「ZAI3H=900

，四边形人8”是矩形

，PH=AB=4,

•••第一种情况：当时，二8PC是等腰三角形,

:.BH=CH=-x6=3,

,PB=,3?+4?=5，

，第二种情况：当8£=BC=6时，二BPC是等腰三角形，

综上：满足条件的胆的长为6或5

20.菱形，理由见解析

【分析】根据菱形的判定定理，全等三角形的性质，结合直角三角形的性质证明即可.

本题考查了直角三角形的性质，三角形全等的性质，菱形的判定，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：四边形AGDO是菱形，理由如下：

ZABC=/DE”=90。，ZC=，

.*.ZA=ZD,

DFAR,

:2BGD=/D,

NBGD=ZA,

・•.DG//AOf

二•四边形AGDO是平行四边形，

二ABCWDEF,

..AC=DFt

又.,点。是斜边AC和。尸的中点，

/.AO=-AC=-DF=DO

22f

・•・平行四边形AGQO是菱形.

21.（1）（104）

（2）①y=-：x+8；②存在，或（?'；）

IQ

【分析】（1）设M（10,m）,分别求出S体形OABC=80,Sgw=5〃?，再由题意得到5m=x80或5湄=彳x80,

求出加的值即可求点M的坐标；

（2）①过点尸作尸。_Lx轴交于点。，由折叠可知，BE=B'E=5,则

CF=OD=10-BF,DB'=BF-4,在Rt&FDB'中,BF2=（5F-4）2+64,求出3万二10,可知尸点

与。点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；

②设P。，一卜+8）,分别求HS'w=25,Swc=80,S帝形OA杯=55,S小曲,根据题意可得

4r=-2x55p£4/=3|x55,求出/的值即可求P点坐标.

【详解】（1）解：•••。4=10,OC=8,

/.A（10,0）,C（0,8）,

•.•/-10x8=8。，

M点在A3上，

设M（10,加）（04〃?48）,

/.SOAM=gx10x加=5rn,

直线OM将长方形。48C的面积分成1:3两部分，

13

5m=-x80或5m=—x80,

44

解得〃?=4或相=12(舍)，

4),

故答案为:(10,4)；

(2)解：①-AE=3t

E(10,3),

过点”作尸。_Lx轴交于点。,

AE=3,

.•M=4,

：.OB'=6,

;.DB=BF-4,

在Rt▲尸D&中,BF2=(BF-4)2+64,

解得8F=10,

二•产点与C点重合,

...产(0,8),

设直线EF的解析式为y=H+b,

7?=8

"<\0k+b=3,

k=--

解得2,

b=8

/.),=-；4+8；

②存在一点P,使得直线。。将四边形Q4£F的面积分成2：3,理由如下:

设P,，-1r+8j(0<r<10),

〈BE=5,Z?C=10,

•*,S.BEC=—X5X10=25,

S,形。皿=10x8=80,

,,S梯形OAEF=55,

SCPO=^x8x/=4r,

23

41=一x55或4/=一x55,

解得/=£11或/=］33，

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角三角

形的性质，折叠的性质是解题的关键.

22.。石=3或。石=10

2

【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理.根据题意进行分类讨论①当点E在线段0c上

时，②当点E在线段。。延长线上时，点尸作的平行线，交DC于点、H,交48于点G,先求出

FGNAF'AG=3,再求出用，设。E=根据勾股定理列出方程求解即可♦

【详解】解：①当点E在线段0c上时，

过点尸作A。的平行线，交。C于点”，交A8于点G,

•・•四边形A8CO为矩形，GH//AD,

•••四边形AG”。为矩形,

/.AD=GH=5,GH工AB,

•・•点F在线段AB的垂直平分线上，

/.AG=-AB=4,则=4G=4,

2

：VAOE沿直线AE折叠得到AAFE,

・•・AF=AD=5,

根据勾股定理可得：FG=y]AF2-AG2=752-42=3,

，FH=GH-FG=5-3=2,

设Z）£=x,则EH=4-x,EF=DE=x,

根据勾股定理可得：EH2^-FH2=EF2,即（4—X『+22=J,

解得：x=g，

②当点E在线段。。延长线卜时.

过点尸作AO的平行线，交DC于点H,交于点G,

•・,四边形A3CO为矩形，GH//AD,

・•・四边形4G”。为矩形,

/.AD=GH=5,GH1AB,

•••点尸在线段AB的垂直平分线上，

AAG=-AB=4,则O〃=AG=4,

2

,/VAOE沿直线AE折叠得至lj△APE,

/.AF=AD=5，

根据勾股定理可得：FG=JAF?-AG?=5/52-42=3,

:.FH=GH+FG=5+3=S,

设=贝i」E〃=x-4,EF=DE=xt

根据勾股定理可得：EH2+FH2=EF2t即（x—4）2+82=/,

解得：x=10,

即。石=10.

综上：。后=生或"七二1().

23.(1)证明见解析；

⑵当4?=月。时・，四边形