一元二次方程（考点归纳+知识梳理专项训练）原卷版

专题01一元二次方程

.考点归纳

【考点01】一元二次方程的相关概念

【考点02］一元二次方程的解

【考点03］解一元二次方程

【考点04］根据判别式判断一元二次方程根的根的情况

【考点05］根据一元二次方程根的根的情况求参数

【考点06】一元二次方程根与系数的关系

【考点07］变化率问题

【考点08】传播问题

【考点09］树枝分叉问题

【考点10］单循环和双循环问题

【考点11】销售利润与一次函数综合问题

【考点12】销售利润每每问题

【考点13］几何图形问题

【考点14］几何中动点问题

由知识梳理__________________________

知识点1：一元二次方程的概念

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

知识点2：一元二次方程的一般形式

一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0(a^0),其中ax?叫作二次项，a是二次项系数；

bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

知识点3：一元二次方程的解

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的

根或解反代回去再进行求解.

知识点4：一元二次方程的重要结论

(1)若a+b+c=0,则一元二次方程ax'+bx+cR(a#0)必有一根为x=l;若x=l是一元二次方程ax?+bx+c=0

(a#0)的一个根，则a+b+c=Oo

(2)若a-b+c=O,则一元二次方程ax?+bx+c=O(aNO)必有一根为x=T;若x=ll是一元二次方程ax2+bx+c=O

(a#0)的一个根，则a-b+c=O»

知识点5：解一元二次方程

1.直接开方

(1)如x、p(P>O)或(nx+根y=p(p2O)的一元二次方程可直解用直接开平方解

一元二次方程。

⑵如果化成x2=P的形式，那么可徵=±而2.配方法

⑶如果方程能化成(0\.+根)2=2520)的形式，那么nx+〃7=±6进而得出方程的根

用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(kW0)的一般步骤是：

①化为一般形式；

②移项，将常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b>0就可以

用两边开平方来求出方程的解；如果bWO,则原方程无解.

总结：

3.公式法

用公式法求一元二次方程的一般步骤：

(1)把方程化成一般形式a%2+fox+c=0,确定a、b、c的值(注意符号)

(2)求出判别式A=b2-4ac的值，判断根的情况

(3)在A=b-4acN0(注：此处A读“德尔塔”)的前提"把a、b、c的值代入公式

x=-b±0=外土匠4ac进行计算,求出方程时艮。

2a2a

4.因式分解

因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：

(1)移项，使方程的右边化为零；

(2)将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；

(3)令每个因式分别为零；

(4)两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

如：X?+(p+q)x+pq=0因式分解后>(%+p)(x+q)=0

知识点6：一元二次方程的判别式

根的判别式：

①b?-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

③b?-4ac<0时，方程无实数根，反之亦成立

知识点7:一元二次方程的根与系数

9he

根与系数的关系：即ax+bx+c=o的两根为Xi'X2，则Xi+x2=—，X/X2=—利用韦达定理

'一aao

M+W=($+/)'-2X|/

可以求一些代数式的值(式子变形)，如

【解题技巧】

当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理

知识点8：一元二次方程的实际应用

1.变化率问题

设基准数为a,两次增长(或下降)后为b；增长率(下降率)为X,第一次增长(或下降)

后为ax(l土工)；第二次增长(或下降)后为a(l±x)2.可列方程为«(l±x)2=b

2.传染、枝干问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染

中平均一个人传染了x个人：

1第一轮传染后第二轮传染后

4+x+x(l+x)

3.握手、比赛问题

握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握—I次手。赠卡问题：n个人相互之间送

2

卡片，总共要送n(n-1)张卡片。

4.销售利润问题

(1)常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润X销售量;

5.几何面积问题

(1)如图①，设空白部分的宽为X,则S腿=(a-2x)(b-2x)；

(2)如图②,设阴影道路的宽为X,则S空白=(a-x)(b-x)

ab

(3)如图③，栏杆总长为a,BC的长为b,则S=三小

6.动点与几何问题

关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.

(2)每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量2xy件

a

m真题训练.................

【考点01】一元二次方程的相关概念

1.(23-24九年级上•四川南充•阶段练习)下列方程中，一定是关于久的一元二次方程的是()

A.产+*=0B.ax2+bx+c^0

C.x2+x—2—0D.3x—2xy+5y2=0

2.(24-25九年级上•广东肇庆•期中)将方程3/-4=-2x改写成a/+bx+c=0的形式，则mb,c

的值分别为()

A.3,—2,-4B.3,2,4

C.3,-2,4D.3,2,-4

3.(24-25九年级上•四川广元•期末)将一元二次方程3/一久=2化成一般形式是()

A.3%2—%+2=0B.3/+*-2=0

C.-3%2—%+2=0D.3%2—%—2=0

4.(2025•黑龙江佳木斯•二模)若关于x的方程(k-2)/+3x-1=0是一元二次方程，贝必的取值范围是

()

A.k力0B.k手2C.k>2D.k>0

【考点02】一元二次方程的解

1.(24-25九年级上•四川眉山•期末)关于彳的一元二次方程/+5+6=0,若1-a+6=0则方程必有

一根为（）

A.1B.-1C.0D.2

2.（24-25九年级上•福建漳州•期中）若一元二次方程有一个根是x=1,则这个方程可以是（）

A.（%+1）（%+2）=0B.X2—1—0

C.%2—2%—1=0D.x2+x=0

3.（24-25八年级下•浙江温州•期中）根据下列表格的对应值，判断方程a/+人刀+。=o（a力o,b,

4.（24-25九年级上•江苏扬州•期末）已知m是方程3/+2x-1=。的一个根，则代数式3爪2+2m+2024

的值为.

【考点03］解一元二次方程

1.（24-25八年级下•浙江杭州•阶段练习）解方程:

（1）2--5x+1=0

（2）（久-I）2-2（x-1）=0

2.(24-25八年级下•山东济南•阶段练习)解方程:

(l)x2—6%+5=0.

(2)x2-3x-2=0.

3.（2025八年级下•江苏南通・专题练习）解方程:

⑴久2-4%—7=0；

（2）3x（2x+1）=4x+2.

4.（24-25八年级下•湖南长沙•阶段练习）解方程:

(l)x2—6x—6—0；

(2)2x2-x-15=0.

【考点04］根据判别式判断一元二次方程根的根的情况

1.（2025・江苏•三模）关于x的一元二次方程/+©-2=0中，则该一元二次方程根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法判断

2.（2025•河南商丘•模拟预测）若％=2是方程/—3x+m=0的一个根，则此方程的根的情况是（）

A.有一个实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.租<0时，没有实数根

3.（2025,云南楚雄•二模）关于x的一元二次方程/+nix—1=0的根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

4.（2025•黑龙江哈尔滨•二模）定义运算：mEn=mn2--mn+1.方程1回久=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

【考点05］根据一元二次方程根的根的情况求参数

1.（2025•河南信阳•三模）若关于x的一元二次方程/—2x+a=0有实数根，贝必的取值范围是（）

A.a>1B.a<1C.a>1D.a<1

2.（2025年天津市河西区中考二模数学试题）若关于x的方程之久2一x+c=。有两个相等的实数根，贝Ue的

值为（）

1

A.0B.-C.1D.2

3.（23-24九年级上•湖北黄石•期中）已知关于万的一元二次方程（k+1）/一2x+1=0有实数根，贝狄的

取值范围是.

4.（24-25八年级下,山东济南•阶段练习）设小、n是方程/一久一2025=0的两个实数根，则/一2m-

n=.

5.（2025•北京海淀•二模）已知关于x的一元二次方程M+2x-m=0有两个不相等的实数根.

⑴求小的取值范围；

（2）若x=1是一元二次方程/+2x-m=0的解，求该方程的另一个解.

【考点06】一元二次方程根与系数的关系

1.（24-25八年级下,江西宜春,期中）已知一元二次方程久2-3久一5=0的两根为久1，%2，则+冷-与久2

的值为（）

A.2B.-2C.8D.-8

2.（2025•四川乐山•模拟预测）已知关于x的一元二次方程/―以―12=0的两根为石，如则好犯+修好

的值为..

3.（2025•湖南长沙•三模）已知修,％2是方程2/—4x+l=0的两根，求下列两个代数式的值：

（2）（与+2）（叼+2）.

【考点07］变化率问题

1.（2025•安徽合肥•三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，

某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1

月份增加了2100辆.设每个月销量的平均增长率为X,则下列方程正确的是（）

A.1000（1-%）2=2100B.1000（1+x）2=2100

C.1000（1+2%）=1000+2100D.1000（1+%）2=1000+2100

2.（2025・云南昆明•二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸

引众多游客纷至沓来.2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增

长至约125万人次.设厂3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为久，则下列方程正确的是（）

A.80（1+2%）=125B.125（1+2x）=80

C.80（1+x）2=125D.80（1+久）+80（1+x）2=125

3.（24-25八年级下•辽宁盘锦,期中）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书

阅览室的投入.已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金2.88万元，假定每年投入资金的增长

率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率.

4.（2025•辽宁大连•一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投

入.已知2022年投入资金2万元，2024年投入资金2.88万元，假定每年投入资金的增长率相同.

⑴求该社区2022年至2024年投入资金的增长率；

（2）如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在2025年投入资金多少万元？

【考点08】传播问题

1.（23-24九年级上•福建厦门•阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每

轮传染中平均一个人传染的人数为（）

A.8人B.9人C.10人D.11人

2.（24-25九年级上•广西南宁•期中）近期爆发的流感，叫甲型"iM流感，简称甲流，该病毒传染性超强.某

人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方

程（）

A.1+2%=81B.1+x2=81C.1+x+x2=81D.1+x+x（l+x）=81

3.（24-25九年级上•全国•阶段练习）"埃博拉〃病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传

染病毒，传染性极强.一个美国人在非洲旅游时不慎感染了"埃博拉"病毒，经过两轮传染后，共有64

人受到感染.

⑴每轮传染中平均一个人传染了几个人？

⑵如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【考点09】树枝分叉问题

1.（23-24九年级上•湖北黄石•期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的

分支，主干，分支和小分支的总数是57,则每个支干长出（）根小分支

A.5B.6C.7D.8

2.（24-25九年级上•河北石家庄•阶段练习）某校"研学"活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主

干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57,则这

种植物每个支干长出的小分支的个数是（）

A.8B.7C.6D.5

3.（24-25九年级上•江苏宿迁•开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数

目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出尤个小分支，问：

⑴请列出该方程；

（2）请解出x的值.

【考点10】单循环和双循环问题

1.（24-25九年级上•河北廊坊•阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场

比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）

A.x（x+1）=240B.|x（x+1）=240

C.x（x-1）=240D.|x（x—1）=240

2.（24-25九年级上•辽宁葫芦岛•期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员

赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有X名同学，根据题意，列出方程为（）

A.x（x+1）=1892B.=1892

C.2x（x+l）=1892D.x（x-1）=1892

3.（2024九年级上,内蒙古•专题练习）双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友

转发，每个好友转发后，由各组邀请尤个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，

则可列方程为.

4.（24-25九年级上•天津武清•阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短

信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向X个

人发送短信.则根据题意列出的方程是—.

5.（24-25九年级上•广东江门•阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一

份合同，共签订合同45份，则共有个商家参加了交易会.

【考点11】销售利润与一次函数综合问题

1.（2025,辽宁葫芦岛•二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量y

（件）与每件售价无（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示:

每件售价X/元908070

日销售量y/件102030

⑴求y与x之间的函数关系式；（不要求写出自变量工的取值范围）

（2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.

2.（2025•辽宁抚顺•模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价,

且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示.

⑴求y与x之间的函数关系式;

（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元?

3.（2025•湖南常德•三模）当今社会，"直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销

售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价式（元）满

足一次函数关系，它们的关系如下表：

销售单价比（元）2530

销售量y（件）150100

⑴求y与％之间的函数关系式;

（2）该商家每天想获得2000元的利润，应将销售单价定为多少元?

【考点12】销售利润每每问题

1.（2025・陕西渭南•一模）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火

爆.某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调

查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利

润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？

2.（2025•辽宁锦州•一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆.某电

商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价.当售价为52元/个时，每天可销售

30个.经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个.设该款文创水杯的售价为X元/

个，每天的销售量为y个.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？

3.（24-25八年级下•安徽宣城•期中）在2024年W7T大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了

体育迷们的"仪式感”.商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售.经统

计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件.

⑴求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率.

⑵从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每

降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由.

4.（24-25八年级下•浙江•期中）某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费

者欢迎.已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根.价格每

降低1元，日销量可增加5根.设智能跳绳降价X元.

（1）日销售量为根（用含》的代数式表示）.

（2）该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由.

【考点13］几何图形问题

1.（2025•新疆喀什•模拟预测）在一幅长80cm,宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一

幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2,设白色纸边的宽度为久cm,则所列方程正确的

是（）

壮志凌云,

80---------------►

A.80x40+2x8Ox+2x40x+2x2—4500

B.(80+x)(40+x)=4500

C.80x40+2x80x+2x40x=4500

D.(80+2x)(40+2x)=4500

2.(24-25九年级下•广东茂名•期中)如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用12m长的篱笆围成一个矩

形力BCD场地，若垂直于墙的一边4B长为xm,它的面积为ym?.

AD

BC

⑴求矩形的面积y与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；

⑵当长为4m时，求矩形场地的面积.

3.（23-24九年级上•福建厦门•阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为6米的矩形场地，计划在该场地

上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪.

⑴如图，请写出道路的面积（用含。、》的代数式表示）；

（2）已知a:b=2:l,并且四块草坪的面积之和为312m2,试求原来矩形场地的长与宽各为多少米?

4.（24-25九年级上•江苏苏州•期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地力BCD改建成一

个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域,其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，己知AD=50

米，48=32米，且停车区域（即阴影部分）的面积为880米，求道路的宽度x（米）.

5.（2024九年级下•广东潮州•学业考试）一农户要建一个矩形猪舍4BCD,猪舍的一边利用长为18米的

住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的

门.

⑴设矩