中考数学专项复习：二次函数中的四边形问题

专题29二次函数中的四边形问题

知识对接

考点一、二次函数中的四边形问题

1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分；

2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单；

3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。要点补充：

专项训练

一、单选题

1.下列命题是真命题的是()

A.同弧所对的圆心角相等

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.二次函数y=依2+bx(ab0)的图象与坐标轴有两个交点

D.若a>b,贝!

【答案】C

【分析】

利用圆心角的知识、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

解：A、在圆中，同一条弧对的圆心角只有一个，因此A选项说法有问题，是假命题；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项是假命题；

C、•二次函数y=+bx(ab0)中_=匕2-4qx0=62>0

图象与坐标轴有两个交点

故C选项是真命题，符合题意；

D、当“=1、b=-l时，满足a>。，但/=从，故D选项是假命题

故选：C.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆心角，菱形的判定方法，二次函数的图象与性质以及

不等式的性质.

2.如图，四边形ABCO中，已知AB〃C£）,AB与C。之间的距离为4,AD=5,CD=3,/ABC=45。，点

P,Q同时由A点出发，分别沿边A3,折线AOCB向终点2方向移动，在移动过程中始终保持尸。，人8,

已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点尸的移动时间为尤秒，△42。的面积为》则能反映y与尤

之间函数关系的图象是（）

DC

【答案】B

【分析】

依次分析当0〈xV3、3<x<6,6<xW10三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即

可确定正确选项.

【详解】

解：如图所示，分别过点。、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点产

已知AB〃CD,AB与CD之间的距离为4

：.DE=CF=4

,:点P,。同时由A点出发，分别沿边折线ADCB向终点2方向移动，在移动过程中始终保持PQLA8

:.PQ〃DE〃CF

\'AD=5

AE=y/AD2-DE2=3，

...当04x43时，尸点在AE之间，此时，AP=t

..AP=PQ

'AE~DE'

4

二尸。二丁，

2

2

•**SAPQ=^AP-PQ=^X^X=^X

2

因此，当0<x<3时，其对应的图像为y=,x2（ow尤43）,故排除C和D；

'：CD=3

：.EF=CD=3

...当3<xW6时，P点位于EP上，此时，。点位于。C上，其位置如图中的P0,则S蝴乌=gx4x尤=2尤

因此当3<xW6时，对应图像为y=2x（3<xW6）,即为一条线段；

ZABC=45°

:.BF=CF=4

.,.AB=3+3+4=10

...当6<xW10时，尸点位于EB上，其位置如图中的22。2,此时，PiB=10-x

同理可得，QP2=P2B=10-X

S2

.APA=1X(10-%)X=-1%+5X

因此当6<xW10时，对应图像为y=-gx2+5x（6<xV10）,其为开口向下的抛物线的6<xW10的一段图像;

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像

等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思

想方法等.

3.下列命题中，真命题是（）

A.2x-1=—

lx

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形

3

D.已知抛物线y=/-4x—5,当一l<x<5时，y<0

【答案】D

【分析】

根据零次幕、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、2r'=-,错误，故不符合题意；

X

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；

D、由抛物线y=f-©-5可得与x轴的交点坐标为（-1,0）,（5,0）,开口向上，然后可得当-1<%<5时，y<0,

正确，故符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查零次嘉、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次暴、菱形的判

定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键.

4.已知二次函数）=〃?（尤-1）（%-4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C,点C关

于无轴的对称点为。点，若四边形ACBD为正方形，则用的值为（）

2223

A.-B.——C.±-D.±-

3332

【答案】C

【分析】

根据已知条件得到A（1,0）,8（4,0）,得到抛物线的对称轴为直线尤=券=9,设顶点C的坐标为§,。），

根据已知条件列方程即可得到结论.

【详解】

解：.,二次函数y="《xT）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点

A（l,0）,B（4,0）

二抛物线的对称轴为直线1=速4=]+15

设顶点C的坐标为（|,。），

4

四边形AC5D为正方形

\a\=—

112

5353

把C点的坐标代入得：■|=(1'一机或一■|=1|■一”(I'一”加

2

解得：m=±~

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的图象与几何变换，正方形的性质，正确的理解题意是解

题的关键.

一113

5.在平面直角坐标系中，点A(1,—),B(4,—),若点-a),N(a+3,-a-4),则四边形

22

MNBA的周长的最小值为()

13IQ

A.10+^-y/2B.10+^-y/3C.5+13y/2D.5+13-^3

【答案】A

【分析】

根据题意，得AB={(4一1¥+0一%=5

AM=3a-I)2+(-a-y)2=-l)2+(a+y)2

MN=J(a+3-4+j-4-(-a)f=5

BA^=^(a+3-4)2+(-a-4-1)2=^(«-1)2+(a+y)2

由此得四边形MN54的周长为10+2，a_l)2+m+m2,利用二次函数求得ja-l)?+(a+£y的最小值即

可.

【详解】

113

二,点A(1,—),B(4,—),若点A/(〃，-〃)，N(a+3,-a-4)

22

・"J(4—1)2+§心=5

AM=-1)2+(―。-y)2=J(a-1)2+(4+斗2

MN=^(a+3-d)2+(-a-4-(-a))2=5,

5

5N=J(Q+3—4y+(—〃—4—g)2=^-l)2+*48(6i+y)2

・•・四边形MNBA的周长为10+2,-1)2+(〃+m2

令y=(Q-1)2+(a+—)2

99121

-a—2Q+1+Q+11QH------

4

=2a2+9a+—,

4

V2>0

・••抛物线有最小值

W99.七日一士口d〜9、2c9125169

a=~~一~=~7n时，y有取小值，且为y=2(--)-9x—

2x244448

J(a—I)。+(a+的最小值为

，四边形MNBA的周长的最小值为10+2xU也=10+丹72

42、

故选A.

【点睛】

本题考查了两点间的距离公式，二次函数的最值问题，灵活运用两点间的距离公式将周长的最值转化为二

次函数的最值是解题的关键.

6.已知点A(l,1)、B(3,1)、C(4,2)、D(2,2),若抛物线y=ax2(a>0)与四边形ABCD的边没有交点，

则a的取值范围为()

A.-<a<lB.-<a<1

89

C.a>l或0<a<；D.a>l或0<a<j

【答案】D

【分析】

把A(l,1),B(3,1)分别代入丫=2*2求得a=l,a=g,然后根据图象即可求得答案.

【详解】

解：如图所示：把A(1,1)代入y=ax2得，a=l

把B(3,1)代入丫=a*2得2=^

・・,抛物线的开口越小，间的绝对值越大，

6

二抛物y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为：a>l或（Xacg

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系，数形结合

是解题的关键.

7.如图所示，于点A,COLA。于点。，ZC=120°.若线段8c与CD的和为12,则四边形A8CD

的面积可能是（）

A.24退B.306C.45D.

【答案】A

【分析】

过C作于推出四边形AOCH是矩形，四边形ABC。是直角梯形，求得NBCH=30。,设2C=

x,则CO=12-x,得到AH=12-x,BH=\x,CH=^x,根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可得

22

到结论.

【详解】

解：过C作于H,

7

'：AB±AD,CD上AD

：.ZA=ZADC=ZAHC=90°,CD//AB

，四边形ADCH是矩形，四边形ABC。是直角梯形

：.ZDCH=90°,CD=AH

'：ZBCD=nO°

：.ZBCH=30°

设BC=x,则CO=12-x

：.AH=n-x,BH=gx,CH=BX

22

四边形A3。的面积=《(CD+AB),CH=g(12-x+12-x+^-x)x也x

2222

四边形ABC。的面积=一空(尤-8)2+24有

8

...当x=8时，四边形ABC。的面积有最大值24百

即四边形ABC。的面积可能是24百

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，梯形的面积公式和二次函数的性质，得出二次函数解析式是解题关键.

8.已知：如图，正方形A3C。中，AB=2,AC,8。相交于点。，E,尸分别为边BC,C。上的动点(点、E,

/不与线段BC,C。的端点重合)且B£=CF,连接。E,OF,EF.在点E,尸运动的过程中，有下列四个

结论：

①△。跖是等腰直角三角形;

②△OEF面积的最小值是g；

8

③至少存在一个4ECF,使得AECF的周长是2+6；

④四边形OECF的面积是1.

所有正确结论的序号是()

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】

证明△O3E04OCF,即可得出①是正确的；设BE=CF=x，则EC=2-x,其中0<x<2,表达出AOEF面积,

用二次函数求出最小值，进行比较即可判断②是正确的；假设存在一个△ECF,使得△ECF的周长是2+出，

求出EF的长度即可说明③是正确的；根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出，④正确.

【详解】

:四边形ABCD是正方形

：,OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°

在△O3E1和△OCF中

OB=OC

<ZOBE=ZOCF

BE=CF

：.OBE^AOCF(SAS)

...OE=OF,NBOE=ZCOF

：.NBOE+ZEOC=ZCOF+ZEOC

ZBOC=ZEOF=90°

XVOE-OF,

...△OEF是等腰直角三角形，故①正确；

,/AOBE^^OCF,

：.设BE=CF=x，则EC=2-x,其中0<x<2

在RtAEFC中，EF=VEC2+FC2=^2-xf+x2=j2x?-4x+4

在RtAEFO中，OE2+OF2=EF2

•••2OE~=EF2

OE=OF=—EF=—V2X2-4X+4

22

9

：4°EF=g0Ex0F

=—x-yjlx1-4x+4x\j2x2-4x+4

222

1/,x21

=-(x-l)+-

2V)2

・•・当x=l时4OEF的面积取得最小值g,故②正确;

假设存在一个△ECF,使得△ECF的周长是2+4;

・・・EC+FC+EF=(2-x)+x+EF=2+君

,,EF=A/2X2—4X+4=8

解得：xx=l-^-,x2=1+^-

1222

，BE=CF=1—等或BE=CF=1+#时，△ECF的周长是2+百

，至少存在一个AECF,使得AECF的周长是2+出，故③正确;

•/△OB*△OCR

-S&OBE=S/XOCF

+

一S四边形OECF=S^COE+S^OCF=^ACOE^AOBE=^AOBC=S正方形钻00—,*2x2-1

故④正确；

故选：D.

【点睛】

此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形

的性质，二次函数的最值问题，注意掌握全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题是解此题的关键.

h

9.如图，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,j<a<3b,AE=AH=CF=CG,则四边形EFGH的面积的最

大值是（）

10

11,11

A.—(〃+/?)9B.—(Q+/?)9C.—(6J+/?)9D.万(〃+/?)9

168

【答案】B

【分析】

先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可.

【详解】

^AE=AH=CF=CG=x,贝U==x,BF=DH=b-x

设四边形EFGH的面积为V

依题意，得丁="一%2一（。一%）仅一工）

即：)7=-2X2+(a+b)x

-2<0,抛物线开口向下

;.X=中时，有最大值

4

—<a<3b

3

0<x<a

函数有最大值为^^!=：（。+力.

4x（-2）8V）

故选：B.

【点睛】

根据面积的和差关系，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

10.如图，四边形ABCO中，ZBAD=ZACB=90,AB=AD,AC=4BC,设的长为工,四边形ABC。

的面积为y,则y与％之间的函数关系式是

c42

A.y=­x2B.y=——xD.y=—x2

25255

【答案】C

11

【分析】

四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90。到AADE的位置，求四边形

ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把

梯形上底DE,下底AC,高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积.

【详解】

作AELAC,DE±AE,两线交于E点，作DFLAC垂足为F点

ZBAD=ZCAE=90°,即ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZDAE

NBAC=NDAE

又：AB=AD,ZACB=ZE=90°

/.△ABC^AADE(AAS)

；.BC=DE,AC=AE

设BC=a,贝|DE=a,DF=AE=AC=4BC=4a

CF=AC-AF=AC-DE=3a

在RSCDF中，由勾股定理得

CF2+DF2=CD2,即(3a)2+(4a)2=x2

解得：a=1

，y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=；x(DE+AC)xDF

=yx(a+4a)x4a

=10a2

2,

=—x2.

5

故选C.

【点睛】

本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理

在解题中的作用.

12

二、填空题

11.如图，P是抛物线y=N-2尤-3在第四象限的一点，过点P分别向无轴和y轴作垂线，垂足分别为A、

B,则四边形OAPB周长的最大值为.

?1

【答案】y-

【分析】

设x2-2r-3)(0<x<3),根据矩形的周长公式得到。=-2(彳-m2+^.根据二次函数的性质来求最

值即可.

【详解】

解:•.>=x2-2x-3

当y=0时,x2-2x-3=0即(x+1)(x-3)=0

解得x=-l或x=3

故设P(x,y)

设P(x,x2-2x-3)(0<x<3)

:过点尸分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B

..•四边形OAPB为矩形

/.四边形0APB周长C=2PA+2OA

=-2(尤2-2x-3)+2x

=-2x2+6x+6

--2(x2-3x)+6

73、221

=-2(无--)2+y.

•••当■3时，四边形依周长有最大值，最大值为2号1.

22

?1

故答案为：—.

【点睛】

13

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的

性质.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线;y=依2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点

B,点、C、。在线段上，分别过点C、。作x轴的垂线交抛物线于E、F两点.当四边形。FE为正方形

时，线段的长为.

【答案】-2+26

【分析】

点A(2,4)代入抛物线中求出解析式为y=f,再设CD=2x,进而求得E点坐标为(x,4-2x),代入y=V中即

可求解.

【详解】

解：将点A(2,4)代入抛物线了=取2中，解得。=1

二抛物线解析式为＞=/

设CD、EF分别与V轴交于点M和点N,

14

y

当四边形CDFE为正方形时，设CO=2x,IjJiJCM=x=NE,NO=MO-MN=4-2x

此时E点坐标为（元,4-2x）,代入抛物线y=/中

得到：4-2元=尤2

解得看=—1+A/^,%=—1—（负值舍去）

/.CD=2x=-2+2小

故答案为：-2+26.

【点睛】

本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及

性质是解决本题的关键.

13.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形.根据规定判断

下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义

菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若/、N的坐标分别为（0,2）,

（0,-2）,尸是二次函数y=图象上在第一象限内的任意一点，尸。垂直直线y=-2于点°,则四边形

O

PMN。是广义菱形.其中正确的是.（填序号）

【答案】①③④

【分析】

①正方形与菱形对边平行，邻边相等.②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行

的条件.③通过对边平行与角平分线可得邻边相等.④数形结合，计算出PM与PN的长度作比较.

【详解】

15

解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足题意.

②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，不满足题意.

③如图，四边形ABC。，ADHBC,C4平分/BCD

ADIIBC

Z3=N2

CA平分NBC。

/1=N2

Z3=Z1

DA=DC,满足题意.

④如图

设点P坐标为(根,1府)

O

2

则/M二,.2+'北2_2)2=lm+2.

11

PQ=—m29—(—2)=—m29+2.

88

/.PM=PQ

PQ//MN

二.四边形PMNQ是广义菱形满足题意.

故答案为：①③④.

16

【点睛】

本题考查新定义，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，二次函数的图象与性质.

14.定义：在平面直角坐标系中，。为坐标原点，设点尸的坐标为(X,y),当x<0时，点P的变换点P的

坐标为(T,y)；当X20时，点尸的变换点P，的坐标为(-y,x).抛物线y=(尤-2)?+〃与无轴交于点C,D

(点C在点。的左侧)，顶点为E,点P在该抛物线上.若点尸的变换点尸'在抛物线的对称轴上，且四边

形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为.

【答案】-13

【分析】

根据四边形ECP'D是菱形，点E与点P关于x轴对称，可求P(2,，根据变换当点P在y轴左侧，尸(-2,

-n),当点尸在y轴右侧，P点P在y=(x—2)+〃上，—n=(—2—2)+〃或—2=(—2)+“解方

程即可.

【详解】

解：：四边形ECP'D是菱形，点E与点P关于x轴对称

,:E(2,,

：.P'(2,力)，

当点尸在y轴左侧，》〈。，「的坐标为伍:^点2的变换点尸烟坐标为・%,)；

：.P(-2,-n),

:点尸在y=(x-2)2+〃上

一“=(-2-2)2+〃

—8；

当点P在y轴右侧，x>0,尸的坐标为(x,y),点P的变换点P，的坐标为(-y,x).

：.P(-力,-2)

:点尸在y=+"上

••—2=(—n—2y+n

整理得川+5〃+6=0

因式分解得(力+2)5+3)=0,

17

解得％=-2，z=-3；

/.«=-8或-2或-3.

-8-2-3=13

故答案为-13.

【点睛】

本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键.

15.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=4,BC=6,AD=3,E为对角线上的动点,

点尸在边A8上，且满足冬=罢.连接AE,记打的S面积为Si,ABCE的面积为若［=〃，

ECAB%

则a的取值范围是.

Q1

【答案】~22~a~^

【分析】

过点E作于点H,作EGLBC于点G,证明△BHES/XBR。，得到当=熬=箓，根据2=空

ABkiDEGECAB

得到名=罢，可证明△EHFs^EGC,可得CELEF,设EH=x,表示出Si和S2,得到0=*=9(¥-条］,

ECEGJ?o\2.12J

分别得到由最大和最小时的情况，可得对应即值，代入可得〃的取值范围.

【详解】

解：过点E作于点H,作EGL3C于点G,则四边形HEGB为矩形

U：HE//AD

:•△BHEs^BAD

.ADHEHE

.,耘一丽—瓦

°EFAD

ECAB

.EFHE

••一，

ECEG

18

,/ZEHF=ZEGC=90°

:•△EHFsgGC

：.ZHEF=ZGEC

：.ZHEG=ZFEC=90°,即

..HEAD3

设EH=x,

・HB~AB4

4»ncrCGCEAB

：.HB=EG=^x,CG=BC-BG=6-x——=——=——=

fHFEFAD

343259

/.HF=—（6-x）,BF=BH-HF=-x——（6-x）=-x——

34V7122

AF=AB-BF=4—[259、1725

——x----=-----------X

122j212

AFxEH^-x（--—x]

S-S=­x

AEFl2（212J

114

S/\BEC=Sz=5xBCxEG=—x6x—x=4x

.AlflZ

,,fl=S=8x12

212J

:点尸在AB上

3354

，当歹与B重合时，EH最小,此时EH=6x『m=不

当E与。重合时，EH最大,此时EH=AD=3

.•一V小

322

Q1

故答案为：~yy-a-2'

【点睛】

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段的最值问题，解题的关键是求出即的最大值和最

小值.

三、解答题

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-；x2+fcr+c的图象经过点A(l,0),且当x=0和x=5

19

时所对应的函数值相等.一次函数y=-x+3与二次函数产-+公+c的图象分别交于8,。两点，点、B

在第一象限.

(1)求二次函数y=-；/+6x+c的表达式；

(2)连接求AB的长；

(3)连接AC,M是线段AC的中点，将点8绕点M旋转180。得到点N,连接AN,CN,判断四边形A8CN

的形状，并证明你的结论.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=-；9+1_x-2；(2)A8=0；(3)四边形ABCN是矩形，证明见解析

/2

【分析】

(1)根据当尤=0和X=5时所对应的函数值相等，可得(5,c),根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得8、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；

(3)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形ABCN是平行四边形，再根据勾股定理的逆

定理证明/AfiC=90。，即可解答.

【详解】

解：(1)当％=0时，尸c,即(0,c).由当x=0和；c=5时所对应的函数值相等，得(5,c).

将(5,c)(1,0)代入函数解析式

[25°

------\-5b+c=c

得：

——+b+c=0

I2

“'日b=-

解得＜2.

c=-2

故抛物线的解析式为广--2；

125c

(2)联立抛物线与直线，得,y——2xH—2x—2,

j=一龙+3

20

x-2x=5

解得

J=1y=-2

即B(2,1),C(5,-2).

由勾股定理，得A8=J(2-l)2+(l-0六&；

(3)四边形ABCN是矩形

证明：如图：

是AC的中点

：.AM=CM.

:点2绕点M旋转180。得到点N

：.BM=MN

四边形A2CN是平行四边形

VA(1,0),B(2,1),C(5,-2).

AB2=(2-l)2+(l-0)2=2

AC2=(5-l)2+(-2-O)2=20

2

BC=(5-2)2+(-2-1)2=18

，AB2+BC2=AC-

...ZABC=90°

/.,ABCN是矩形.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，并联立函数解析式解方程组得出交点坐标,

利用了勾股定理求两点之间距离并判定直角三角形.其中利用函数值相等得出点(5,c)是函数图像的点

是解题关键

17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-尤2+版+,经过4(-3,0)、以1,0)两点，与y轴交于点C

21

连接BC.点P是位于％轴上方抛物线上的一个动点，过P作轴，垂足为点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点尸，使得以A、P、E为顶点的三角形与30c相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，说明理由；

(3)是否存在点P,使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=*-2x+3；⑵存在，爪-羽或心已詈⑶存在，P的坐标为「右胃

【分析】

(1)把A(-3,0)、3(1,0)代入、=-/+云+°求出6、c的值即可求出该函数表达式；

(2)设网加,-m2-2加+3),表示出尸£、AE的长，分装=：或装=；两种情况讨论即可找到P的坐标;

(3)连接AC交PE于点H,把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S»AC+SAABC即可根据二次函数最值

找到P的坐标.

【详解】

解：(1)把A(—3,0)、8(1,0)代入y=—/+6x+c得：

[0=-9-3b+c

[o=-l+b+c

[b=-2

解得：。

抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；

(2)VA(-3,0),5(1,0),C(0,3)

AOC=3,OB=1

设尸伽，一M-2m+3),

22

**«PE=-m2-2m+3，AE=m+3

若AAPEABCO,则有笠=也

PECO

口rm+31

即：一、-------二一

-m2-2m+33

解得：叫=-2,e=-3（舍去）

•••田-2,3）

若AAPEACBO,则有笠=8

PEBO

m+33

即an：一、-------二一

-m-2m+31

2

解得：叫=§，牝=-3（舍去）

由A（-3,0）,C（0,3）得直线AC的表达式为：户工+3

设P（见一加2-2m+3）,则7/（m,m+3）

**•PH=—m2—3m

2-。+6二,"+。3

**S四边形4cp=S△24c+5=

5AABC222

375<315

当m=—£时，s最大=?，此时点尸的坐标为］一31

【点睛】

23

本题属于二次函数综合大题，考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二

次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键.

3

18.如图1,在平面直角坐标系中，直线分别与无轴、y轴交于点A,C,经过点C的抛物线y

图1图2

(1)求抛物线的表达式.

(2)M为抛物线上的动点.

①N为x轴上一点，当四边形为平行四边形时，求点"的坐标；

②如图2,点M在直线CD下方，直线OMCOM//CD的情况除外)交直线CD于点8,作直线BD关于直

线对称的直线当直线BDC与坐标轴平行时，直接写出点〃的横坐标.

【答案】(1)y=^x2-x+l；(2)①点M的坐标为(犯逅，g)或(土逅，g)；②点M的横坐

442222

标为3或;或上晅

32

【分析】

(1)先由直线解析式求出A,C,。的坐标，再由C,。坐标求出抛物线解析式；

(2)①设N5,0),由平移与坐标关系可得点M的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；②因为直

线8g与坐标轴平行，所以轴和2搦〃y轴分类讨论，以2搀〃无轴为例，画出草图，由于8M平

分/DBM又/AOB=NWBM,等量代换，可以证得△AO8是等腰三角形，求出AB的长度，并且有A

和D点坐标,求出ZDAO的三角函数值,过8作BHLx轴于H,在直角△ABH中，利用AB的长度，和

的三角函数值，求出A"和的长度，得到8点坐标，进一步得到直线的解析式，联立直线和抛

物线解析式，求得交点M点坐标，当2必〃y轴，用同样的方法解决.

【详解】

3

解：(1)令x=0,则y=]x+l=l

；.C点坐标为(0,1),

24

3

令尸0,则片+1=0,①

3

4

・・・A点坐标为0）

311

令x=6,贝!Jy=j%+1=5

点坐标为（6,二）

2

将C,D两点坐标代入到抛物线解析式中得

C=1

<〃11

9+6Z?+c=——

I2

解得，b=--4

C=1

•••抛物线的表达式为：>=：1尤2-=3尤+1；

44

（2）①设N（〃，0）

V四边形CQMN为平行四边形

二MN//CD

9

.•.由平移与坐标关系可得M（”+6,—）

2

•点M在抛物线上

13Q

—（n+6）2——（〃+6）+1=一

442

n2+9n+4=0

,—9土屈

••n=------------

2

•••点M的坐标为（3+夜,1_）或/一而,苫）；

2222

②第一种情况：如图1,当〃）轴时，分别过2,D作尤轴的垂线，垂足分别为X,Q

25

42211

在直角△ADQ中，AQ=6+-=—,DQ=—

・••由勾股定理得：AD=—

6

DQ3

•\tanXDAQ==—

4

.'.cosZDAQ=—

9：ZBAH=ZDAQ

cos/BAH==—

AB5

•・•直线BD与直线3房关于直线0M对称

ZDBM=ZD^BM

•・・5oC〃x轴

ZHOB=ZDCBM=/DBM

4

：.AB=AO=-

3

AH4

.。k

3

.人口一16

••Ari———

15

：.OH=AH+AO=—

5

1234

令x=-三，则y=--x+l

5-45

1?4

•'•B点坐标为（-（，）

设直线。8的解析式为y=fcr，代入点8得，k=；

直线。8的解析式为y=；x

1

y=—x

3

联立

12

y=x~—x+l

44

4

x=­

13%2=3

解得

4%=1

4

・••点M的横坐标为3或

26

第二种情况，如图2,当轴时，设8以交x轴于G

图，

：.ZCOB=ZOBG

•・,直线BD与直线BDC关于直线0M对称

ZCB0=Z0BG=ACOB

：.CB=CO=\

过C作CEJ_8G于石

・・・CE/a轴

：.ZBCE=ZCA0

tanXCAO==—

AO4

4

•\cosXCAO=—

5

,“aCE4

..cosABCE=----=—

BC5

44

/.CE=—BC=—

55

・•・BE=^BC2-CE2=|

•：CE_LBG,86，入轴

・・・ZCEG=ZBGO=ZCOG=90°

・・・四边形CEGO为矩形

4

：.EG=C0=UCE=0G=-

5

Q

：.BG=BE+EG=-

5

48

・••点5的坐标为（不二）

・・・直线0B的解析式为y=2x,

27

y=2x

联立1123,

y=—x——x+l

I44

化简得，x2—llx+4=0

.n±Vio5

**X­

2

・・♦点M在直线CO下方

.*.x<6

.._11-Vi(j5

••X------------

2

/.点M的横坐标为上巫1

2

即点M的横坐标为3或2或上巫1.

【点睛】

本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时，对于“平行线十角平分线”这种条件,

要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求.

19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=履+以左NO)的图象与二次函数，=依2(。力0)的图象交于第

一、二象限内的A,B两点，与y轴交于点C.过点8作创轴，垂足为M,BM=OM,OB=y/2,

点A的纵坐标为4.

6

(1)求该二次函数和一次函数的解析式；

(2)连接MC,A0,求四边形CMOA的面积.

【答案】(1)，=/,y=x+2.(2)3

【分析】

(1)根据题意，得出交点8的坐标，带入二次函数解析式，求出二次函数解析式；根据二次函数解析式求

出A