云南省曲靖市陆良县2024-2025学年高二年级下册期末考试数学试题

云南省曲靖市陆良县2024-2025学年高二下学期期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.样本数据5,7,1,10,12的平均数为（）

A.7B.8C.6D.7.5

2.已知集合4={虫2-2*-340},B={y\y=x2},则AB=（）

A.[-1,3]B.[0,3]C.[0,1]D.[1,3]

3.已知曲线C:（/+8）（y2-8x）=0,则。为（）

A.一条抛物线和两条互相平行的直线

B.一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为（-2,0）

C.一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为（2,0）

D.两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4

4.已知半径为r的球的体积为V（r）,当时，V&）的瞬时变化率为（）

A.4兀3B.4K2C.8兀D.8/

5.从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（）

A.gB.工C.D,1

4824163

6.若直线y=®+a+l与圆C:*+（y-2a）2=；/相离，则。的取值范围是（）

A.[W]B.（-，0）《0』

c-H）D.

7.设随机变量X〜N（3,10）,a=P（X<3）,=log5（1+72）,c=ln3-ln2,则（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

8.在VA3C中，A=|,角A的平分线AD与BC交于点。.已知AO=6，BDCD=4,则

VABC的面积为（）

7

A.3B.V7C.2y[3D.—

二、多选题

9.已知复数2="—,贝I］（）

1-71

71

A.z的共轨复数为-今点

C.Z+*为纯虚数D.z在复平面内对应的点位于第二象限

10.下列判断正确的是（）

A.sin(a—/)+sin(a+/)=2sinasin/

B.cos（2a-cos（2a+4）=4sinacosasinp

C.若两个单位向量a,b满足卜+。卜,一2可，则cos（a,b）=g

D.存在两个单位向量a,b,满足卜+耳=卜-44

22

11.已知。为坐标原点，椭圆C:=+2=l（a>6>0）的左、右焦点分别为与工，点

ab

一在C上，A（0,r）（r>0）,OBO/^=5）4同=|4闾，且尸为C上一个动点，则（）

B.C的长轴长为4

C.怛胤的最小值为2-6

17

D.|%+|3|的最大值是不

三、填空题

12.一个圆锥的底面半径为&,母线长为30，则这个圆锥的表面积为—.

13.在（2+x）,+（2+元了的展开式中，含/项的系数是.

/、fa-2sin2x,x<0「、

14.已知函数〃x）=.+］_05工彳>0在区间［-2兀，+e）上恰有5个零点，则a的取值范围

是—.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费

2000元，省外每个景点均需花费6000元.小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景

点的选择机会均等.

(1)求小亦省内、省外景点都选择的概率；

(2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望.

16.在数列｛叫中,%=1,且3匚-炉=1

a

%+1n

n

(1)证明：一为定值.

an

⑵求数列—的前n项和Sn.

〔。仍+1J

⑶若以1=24b3=a5,求数列也｝的通项公式.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，ACD为正三角形，AB±BC,PA^AB=1,PB=母,

CD=2,PD=45.

⑴证明：上4,底面ABCD.

(2)过点A作平面尸3C的垂线，指出垂足H的位置，并求四面体ABC”的体积.

(3)求二面角8-尸。-。的正弦值.

2

18.已知双曲线C:尤2-2=1仅＞0)的左顶点为离心率为3,A3是C上的两点.

b

(1)求C的标准方程；

(2)若线段AB的中点为H)，求直线AB的方程；

(3)若MA.M3=0(M不在直线A5上)，证明：直线A3过定点.

19.已矢口函数/(%)=%?—2x—mei—4.

(1)当根=1时，证明：/(尤)在R上单调递减.

⑵若有两个极值点4，%,且2%-IV%，求机的取值范围.

试卷第4页，共4页

《云南省曲靖市陆良县2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABCBCBADACDBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据平均数的定义运算求解.

【详解】样本数据5,7,1,10,12的平均数为5+7+；1°+12=7

故选：A.

2.B

【分析】解不等式得集合A,再确定集合5,然后由交集定义计算.

【详解】由题意得4=[一1,3],8=[0,+“），

所以AB=[O,3].

故选：B.

3.C

【分析】方程的两个因式中至少有一个必须为零，通过分析每个方程是否有实数解，结合抛

物线方程的标准形式，即可得出选项.

【详解】因为V+”8>0,且02+8）（/_8尤）=0,

所以y2-8x=0,即;/=8x,

因此C为一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为（2,0）.

故选：C.

4.B

【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求.6时V&）的瞬时变化率.

【详解】因为V⑺号儿所以口⑺=4+,故/=正时，丫⑺的瞬时变化率为丫'阿=4/.

故选：B

5.C

【分析】根据已知条件确定大于1且小于50的整数个数和质数个数，即可解出.

【详解】大于1且小于50的整数共有48个，

答案第1页，共11页

其中质数包含2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,共15个，

因此所求概率为《.

4816

故选：C.

6.B

【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解.

【详解】圆C的圆心为C（0,2a）,半径R=g,

C（0,2a）到直线广氐+。+1的距离［=卜1,解得°,

又R=g>0,所以ae（-e,0）u（0,；］

故选：B.

7.A

【分析】由正态分布的性质得a=g,由作差法、对数的性质比较a,瓦。大小，即可得.

【详解】因为X~N（3」0）,所以o=P（X<3）=；.

因为（夜+1『-5=2（直-1）>0,所以近+1>6，

所以Qlogs石=；,c=|lnf|'|<ilne=1,

所以cva

故选：A

8.D

［分析］在NABC中，根据勾股定理得AB2+AC2=BC2,BC2=BD2+a>2+8.在^ABD和,ACD

中，利用余弦定理得等式，结合化简A8+AC=哭，从而根据三角形面积公式计算得答案;

【详解】

在VABC中，AB2+AC2=BC2,

BC2=(BD+C£>)2=BD2+CD2+2CD-BD=BD2+CD2+8.

答案第2页，共11页

在中，BD2=AB2+AD2-2AD-AB-cos45°=AB2+3-46AB.

在，ACD中，CD2=AC2+AD2-2AD-AC.cos45。=AC2+3-娓AC，

14

^^AB2+AC2=AB2+3-^AB+AC2+3--j6AC+8,则AB+4C=/.

故VABC的面积

S=-AB-AD-sin45o+-AC-A£>-sin45o=-(AB+AC)xV3x^l=ix^x^x^=-.

22222n22

故选：D.

9.ACD

【分析】利用复数的除法法则将复数z化简，结合复数共轨复数的定义，模的计算，纯虚数

的定义，复数的几何意义依次判断选项即可.

【详解】-2+L昨=噜的共轨复数为一十―

505044,z

z+焉*i为纯虚数,

z在复平面内对应的点位于第二象限,所以选项ACD正确;

故选:ACD

10.BC

【分析】应用和差角正余弦公式及二倍角正弦公式整理化简判断A、B；应用向量数量积的

运算律及夹角公式判断C、D；

【详解】sin(a-/7)+sin(a+=sinacos^-cosasin^+sinacos77+cosasin/7=2sinacos£,A错

误.

cos(2a-cos(2a+0)=cos2acos0+sin2asin(3-cos2acosp+sin2asinp

=2sin2asin/=4sinacosasin/7,B正确.

若两个单位向量々，b满足卜+可二,一2可，贝"=|tz-2Z?|2,

1/,\a-b1

则1+2。小+1=1—4〃1+4,所以〃•/?=—,cos^,/?^=—7-|=-yc正确.

2回回2

若两个单位向量q,6满足卜+4=卜-训，则1+2〃力+1=1-8内。+16,

所以cos(a,Z?)=〃.Z?=T>l,所以不存在两个单位向量a,b,满足,+。|=卜-训，D错误.

故选：BC

11.ABD

【分析】根据数量积的坐标运算求得C=l,然后由|回|=|9|求得f=g判断A,将点B的

答案第3页，共11页

坐标代入椭圆方程，结合C=1列式求解判断B,根据焦半径的性质判断C,结合椭圆的定义

利用三点共线最短求解判断D.

【详解】设区（c,0），因为。3.。工=半。=半，所以c=l,

因为|AB|=|A闾，所以j平］+（1-/）2=1+?,解得f=g,A正确.

在c上，所以/+针=1'解得＜

因为点8则C的长轴长为4,B正确.

d12—b1=1,

怛司的最小值为a-c=2—l=l,C错误.

S17

因为|PA|+|尸用=4+|尸4|一|尸用＜4+卜用=4+§=可，

17

当且仅当尸、从旦共线时等号成立，所以|朋+|「£|的最大值为三，D正确.

故选：ABD

12.8兀

【分析】根据圆锥的表面积公式计算的结果;

【详解】根据题意『=0,/=30

这个圆锥的表面积为兀〃+兀户=6兀+2兀=8兀

故答案为：8兀.

13.30

【分析】根据二项式定理，（a+b）"的通项为北产仁“j-bk，把（2+4+（2+x＞分成（2+域

和（2+x）4两部分，分别求其/项的系数再求和即可.

【详解】根据二项式定理，g+g"的通项为人=《「俄士火

原式（2+苫丫+（2+X），可分成（2+彳丫和（2+尤户两部分：

对于（2+X）3,求x?项（即左=2）：

答案第4页，共14页

2

T3=C；♦23T•尤2=3•2•炉=6X,因此刀项的系数是6.

同理,对于(2+01求炉项(即4=2)：

=C；♦2"2.尤2=6.22.炉=24/,因此/项的系数是24.

将两部分的尤2项系数相加：6+24=30.

故答案为：30.

14.(-1,0］

/、f2sin2x,x<0,、「、

【分析】设函数g(x)=/、八，作出g(x)在区间［-2万，口)上的大致图象可得答案.

0.2)—1,X之U

2sin2x,x<0

【详解】设函数g(x)=，作出g("在区间［-2肛”)上的大致图象,

0.5x-l,x>0

如图所示.令〃x)=0,得g(x)=a,由图可知,当ae(-1,0］时,

直线y=a与g(x)在区间卜2兀,+8)上的图象恰有5个不同的交点,

即〃x)在区间［-27i,+e)上恰有5个零点.

15.⑴|

(2)分布列见解析，E(X)=7200

【分析】(1)结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可.

(2)先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公

式求解即可.

【详解】(1)记小亦选择y个省外景点，则P(y=i)=-JU=而=y，

3

即小亦省内、省外景点都选择的概率为

(2)X的可能取值为4000,8000,12000,

答案第5页，共11页

C2301013021

贝”(X=4000)=e而，P(X=8000)=-^=j,P(X=12000)=浸

C510

所以X的分布列如下表所示：

X4000800012000

331

P

10510

331

所以E(X)=4000x^+8000x-+l2000x—=7200.

16.(1)证明见解析;

⑵S-

n+\

⑶2=2"-”.

„2

【分析】(1)由题设及等差数列的定义可得一=〃，即可证;

an

(2)由(1)得。“="，应用裂项相消法求和；

(3)根据已知得%।+"+1=2(“+”),结合等比数列的定义写出通项公式.

【详解】(1)因为色切--匚=1,

=1,

an

所以数列］，，是首项为1，公差为1的等差数列，

所以一=l+("T)xl=〃，故一为定值1；

anan

1111

(2)由(1)矢口所以-----=(上［\=-----yr,

anan+ln^n+1)nn+1

故s〃J+,+

aaaa

01a223nn+\\2J123J

(3)由(2)知2=%=5,

因为%=2〃+4-1,所以%=2%+〃-1

所以%+“+1=2(%+〃),

Q

而4+3=8,所以4+1=9=2。0,

所以数列也+〃｝是首项为2,公比为2的等比数列,

答案第6页，共11页

所以a+〃=2",即2=2"-“.

17.(1)证明见详解

⑵点H在P8中点，理由见详解；走

12

⑶巫

4

【分析】(1)根据勾股定理可得丛，AB和再利用线面垂直的判定即可证明；

(2)由题知点H在尸8中点，先证3C_L平面得到3C_LAH,又PBLAH,即可证

平面P3C,即点H在尸B中点；由底面A2CD,点打为尸3中点，得到

%一小=g即可求得四面体ABCH的体积；

(3)以A为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面BCP和平面CDP的一个法向量，利

用二面角与平面法向量的关系即可求解.

【详解】(1)证明：PA=AB=1,PB=垃,

PA1+AB2=PB2即F4_LAB,

又CD=2,PD=非,ACD为正三角形，所以AD=CD=2,

AD2+PA2=PD2^即

又AB4。=4M,短)<=平面/13。，

所以PAL底面A2CD

(2)点H在尸8中点，理由如下，

PA_L底面ABCD,BCu底面ABCD,:.PA±BC,

又AB工BC,AB尸4=446尸4<=平面245,

所以3CL平面又A"u平面所以BCLA//,

又H为PB中点，PA=AB,所以尸

又BCcPBu比BCPBu平面P2C,所以AHL平面「3C,

故点H在PB中点，

ABLBC,AB=1,AC=2,BC=^3,

R4JL底面ABCD,VHABC=~^VP_ABC=^-xjx^xlx>/3xl=^^-,

所以四面体ABC"的体积为也.

12

(3)设CD中点为E,连接AE,NC4E=30。，

答案第7页，共11页

A8=1,AC=2,=4c=60°,即ZBAE=90°,AB±AE,

上4,底面A3CD,所以以A为原点建立空间直接坐标系，

B（1,0,0）,P（0,0,1）,C（1,A/3,0）,D（-1,^,0）

设平面BC尸的一个法向量根=(x,y,z),

m-PC=x+也y-z=0

则，不妨取犬=1,则机=(1,0,1),

m-BC=yf3y=0

设平面CDP的一个法向量〃=(<y,/),

n-PC=%'+-z'=0

则不妨取y=L贝!j力=(。,1,班),

nDC=2xr=0

m-ng^6Jio

cosm，n=-_j^—r=——=~­,sinm,n=-----,

\m\-\n\V2x244

所以二面角5-PC-D的正弦值为典.

4

18.(1)/_21=1

8

⑵y=x+l.

(3)证明见解析

【分析】(1)利用离心率公式和双曲线。，瓦c的关系得到双曲线方程；

(2)根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；

(3)设直线AB的方程为彳="+",联立方程组消元得至1J(8产-1)丁+16〃少+8/-8=0通过

韦达定理有％+%=-*-，烂?，结合=化简得加-2〃-9=0,解得

ot-181—1

"=91或-1,当〃=-1和"=三9时，分别分析直线AB的方程，进而求得定点；

【详解】(1)因为a=l,e=-=Jl+^-=J1+/=3,

答案第8页，共11页

2

所以廿=8,故C的标准方程为/一匕=＞

8

设4(%,%),3(积％),根据题意易得x产超.

2

281-

2

因为AB是C上的两点，所以%

8一-

两式相减彳孔"-三皿即"=号?

因为玉+%2=,，%+为=:

8&+工2)=]

所以KB二21二也

占一尤2%+%

+江尤+1

所以直线48的方程为＞=

7

经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线A3的方程为y=x+L

(3)证明：依题意可设直线的方程为x=(y+〃.

2y2

由＜X-1"=,得(8/-l)y2+i6”"+8”2-8=0

x=ty+n

iI6nt8n2-8.八

则mi为+%=一口'A>0

M(—1,0),由(2)知M4=(%+l，x)=(“i+〃+l,yJ,MB=[x2+l,^2)=((y2+n+l,y2)

因为M4・M5=0，所以(阴+〃+1)(y+几+1)+乂％=0

即“2+1)X%+《〃+I)(M+%)+(〃+I)2=O

8H2-816tn

即(〃+：!)•+一+(n+l)2=0

8/2-18/—1

答案第9页，共11页

即(广+1)(8〃~—8)—16广77(〃+1)+(8广—+=0,得7〃2-2〃-9=0,解得”=,或—1.

当〃=-1时，直线AB:x="-1,直线AB过点河(TO),不符合题意，舍去；

当w=1■时，直线AB/M+q,满足△>(),则直线AB过定点

故直线A3过定点

19.(1)证明见解析

(2)(0,In2]

【分析】(1)经过两次求导即可证明了(x)的单调性；

(2)〃x)有两个极值点玉，%，即/'卜)=0至少有两个实数根，通过讨论俄的正负，利

用导数判断函数〃(x)=2x-2-mei的单调性和极值得到人(力=0的两根的范围，再利用

2^-1<x,即可得到1<%V1+In2,最后利用m=与J即可求解.

一9

【详解】(1)当m=1时，f(x)=x2-2x-e-l-4,则尸(x)=2x-2-e"\

令g(x)=2x-2-e"T,得g，(x)=2-e，T.

令g[x)=O,得x=l+ln2,

当x<l+ln2时，g'(x)>0,则g(x)在(—,l+ln2)上单调递增,

当x>l+ln2时，g'(x)<0,则g(x)在(l+ln2,+co)上单调递减，

，g(x)在x=l+ln2处取得极大值，即最大值，

JLg(l+ln2)=2(l+ln2)-2-e(1+ln2H=21n2-2,

•21n2-2<0,.■.(?(x)<0,即/(力<0,故〃x)在R上单调递减；

(2)f(-^)=x2-2x-mex~1-4,/.f'(x)=2x-2-mex~l,

“X)