2025年初中数学知识点总结及典型题解分析

2025年初中数学知识点总结及典型题解分析一、实数与代数式1.实数运算与性质题目1（3分）计算：$\sqrt{12}+\sqrt{48}-2\sqrt{3}$的值。题目2（4分）已知$a=\sqrt{5}-1$，求$a^2+2a-4$的值。题目3（5分）比较$\sqrt{10}$和$\sqrt{3}+\sqrt{2}$的大小。答案1.原式=$2\sqrt{3}+4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$2.$a^2+2a-4=(\sqrt{5}-1)^2+2(\sqrt{5}-1)-4=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4=0$3.$(\sqrt{10})^2=10$，$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{6}$，因为$10>5+2\sqrt{6}$，所以$\sqrt{10}>\sqrt{3}+\sqrt{2}$2.代数式化简与求值题目4（4分）化简：$(a+2b)(a-2b)-(a+b)^2$。题目5（5分）若$x^2-2x+1=0$，求代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。题目6（6分）已知$a-b=2$，$ab=1$，求$a^2+b^2$的值。答案4.原式=$a^2-4b^2-(a^2+2ab+b^2)=-5b^2-2ab$5.由$x^2-2x+1=0$得$(x-1)^2=0$，即$x=1$，所以$x^2+\frac{1}{x^2}=1+1=2$6.$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2^2+2\times1=6$二、方程与不等式1.一元一次方程与不等式题目7（3分）解方程：$3(x-2)+1=x+5$。题目8（4分）解不等式：$4x-7\geq3(x+1)$，并在数轴上表示解集。题目9（5分）某班同学参加植树活动，如果每人植树4棵，则余下10棵；如果每人植树5棵，则还差5棵。求该班有多少名学生。答案7.$3x-6+1=x+5\Rightarrow2x=10\Rightarrowx=5$8.$4x-7\geq3x+3\Rightarrowx\geq10$数轴表示：在数轴上标出10，向右画实线射线9.设有x名学生，则$4x+10=5x-5\Rightarrowx=15$2.二元一次方程组与一次函数题目10（6分）解方程组：$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$题目11（7分）已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,2)$和点$(3,0)$，求该函数的解析式，并判断点$(2,1)$是否在函数图象上。题目12（8分）某商品售价为x元，根据市场调查发现，售价每降低1元，日均销量增加10件。已知该商品原日均销量为200件，原日均收益为1000元。求该商品的进价，并写出日均收益y关于售价x的函数关系式。答案10.$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$由第二个方程得$x=y+1$，代入第一个方程：$2(y+1)+3y=8\Rightarrow5y=6\Rightarrowy=\frac{6}{5}$，所以$x=\frac{11}{5}$，解为$(x,y)=(\frac{11}{5},\frac{6}{5})$11.$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$解得$k=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$，所以解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$当$x=2$时，$y=-1+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\neq1$，所以点(2,1)不在图象上12.原售价为$\frac{1000}{200}=5$元，设进价为p元，则$200(5-p)=1000\Rightarrowp=3$元日均收益函数：$y=(x-3)[200+10(5-x)]=-10x^2+540x-1200$三、几何图形与证明1.三角形与四边形题目13（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2，DB=4，AE=1。求EC的长。题目14（8分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。题目15（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠BEF=45°。求证：AE=CF。答案13.因为DE∥BC，所以$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{2}{4}=\frac{1}{EC}\RightarrowEC=2$14.证明：因为AB∥CD，所以∠A=∠C。又AD=BC，∠B=∠D，所以△ABD≌△CDB（SAS），从而AB=CD，AD=CB所以四边形ABCD是平行四边形15.连接AC，因为正方形中∠BAC=45°，∠BEF=45°，所以∠CAE=∠CBF=0°，又AC=AC，所以△AEC≌△BFC（SAS），从而AE=CF2.圆与相似图形题目16（7分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，CD是⊙O的直径。若∠APB=60°，求∠ACB的度数。题目17（9分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=2，DB=4，AE=1，EC=3。求证：△ADE∽△CBF。题目18（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过D作DE⊥AC于E。若DE=2，求△ABC的面积。答案16.连接OA、OB，因为PA、PB是切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，又∠APB=60°，所以∠AOB=120°，从而∠ACB=∠AOB=60°17.因为AD=2，DB=4，所以AB=6，又AE=1，EC=3，AB=AE+EB=6，所以△ADE∽△CBF（AA）18.连接OD，因为AB是直径，所以∠ADB=90°，又DE⊥AC，所以四边形AODE是矩形，OD=AE=2，所以OB=1，AB=2，∠BAC=30°，所以BC=2$\sqrt{3}$，△ABC面积=$\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$四、统计与概率1.数据分析题目19（5分）某班同学身高统计如下表：|身高分组（cm）|140-145|145-150|150-155|155-160|160-165||-|||||||人数|3|5|8|12|7|求该班同学身高的平均数和众数。题目20（6分）为了解某校学生课外阅读情况，随机抽取了部分学生进行调查，结果如下：阅读时间（小时/天）:0.5,1,1.5,2,2.5频数:4,8,10,6,2求样本容量和阅读时间在1.5小时及以上的频率。题目21（7分）某校为了解学生对数学的兴趣，随机调查了100名学生，结果如下："感兴趣"的有60人，"一般"的有30人，"不感兴趣"的有10人。用扇形统计图表示这些数据。答案19.平均数=$\frac{3\times142.5+5\times147.5+8\times152.5+12\times157.5+7\times162.5}{35}=154.5$众数=155-160组（12人）20.样本容量=4+8+10+6+2=30频率=$\frac{10+6+2}{30}=\frac{18}{30}=0.6$21.扇形图各部分圆心角：感兴趣:$360°\times\frac{60}{100}=216°$一般:$360°\times\frac{30}{100}=108°$不感兴趣:$360°\times\frac{10}{100}=36°$2.概率计算题目22（4分）一个不透明的袋子里有5个红球、3个白球和2个黑球，它们除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？题目23（6分）如图，在一个边长为10的正方形内有一个内切圆，随机投掷一个点，求该点落在内切圆内的概率。题目24（8分）一个袋子里有编号为1、2、3、4、5的五个球，从中随机依次取出两个球，求两个球编号之和为6的概率。答案22.概率=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$23.正方形面积=100，内切圆半径=5，圆面积=25，概率=$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$24.列出所有可能：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)和为6的有：(1,5),(2,4),(3,3)概率=$\frac{3}{10}$五、综合应用题题目25（10分）某农场计划用120米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为了节约成本，羊圈的一边利用了现有的一堵墙（墙足够长）。设羊圈的长为x米，宽为y米。（1）求y关于x的函数关系式；（2）当羊圈的长为20米时，求羊圈的面积；（3）当羊圈的面积最大时，求羊圈的长和宽。题目26（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC。若DE=4，求四边形DECB的面积。题目27（15分）某商场销售一种商品，进价为每件50元。经市场调查发现，当销售单价为80元时，日均销售量为100件；单价每降低1元，日均销量增加10件。（1）求销售单价x元与日均销量y件之间的函数关系式；（2）求商场日均获得利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，商场日均获得的利润最大？最大利润是多少？答案25.（1）$2x+y=120\Rightarrowy=120-2x$（2）当x=20时，$y=120-40=80$，面积=$20\times80=1600$平方米（3）面积=$x(120-2x)=-2x^2+120x$，顶点坐标为$(30,1800)$，所以长=30米，宽=60米时面积最大，最大面积=1800平方米26.因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=