2024年中考数学几何专题训练试题

2024年中考数学几何专题训练试题中考数学中，几何板块始终占据核心地位，既考查空间想象能力，又注重逻辑推理与数学建模能力的融合。2024年中考几何命题延续“基础夯实、能力递进、综合创新”的特点，既保留全等、相似、圆的经典题型，又融入几何变换、跨模块综合的创新考法。本专题训练立足最新考情，分模块拆解几何重难点，通过典型例题解析与针对性训练，帮助考生系统突破几何关卡。专题一：三角形综合——全等、相似与特殊三角形性质考点聚焦：三角形作为几何“基石”，2024年中考将围绕全等三角形判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）、相似三角形判定（AA、SAS、SSS）及性质（对应边成比例、面积比等于相似比平方）展开，同时结合等腰三角形“三线合一”、直角三角形“勾股定理”“斜边中线”等性质，考查折叠、动点、实际测量等应用场景。典例精析：折叠问题中的三角形性质应用如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为AB中点，将△BCD沿CD折叠，点B落在点E处，连接AE。求AE的长度。思路点拨：1.求AB与CD的长度：由勾股定理得\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)。因D是AB中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得\(CD=BD=AD=5\)。2.分析折叠性质：折叠后△BCD≌△ECD，故\(ED=BD=5\)，\(CE=BC=8\)，且\(\angleCDE=\angleCDB\)。3.证明A、D、E共线：因\(\angleCDA+\angleCDB=180^\circ\)（平角定义），且\(\angleCDE=\angleCDB\)，故\(\angleCDA+\angleCDE=180^\circ\)，即A、D、E三点共线，且E在AD的延长线上。4.计算AE的长度：由A、D、E共线，得\(AE=AD+DE=5+5=10\)。验证：\(AC=6\)，\(CE=8\)，满足\(6^2+8^2=10^2\)，故△ACE为直角三角形，AE=10。训练巩固1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点，DE⊥AB于E，求证：\(BE=3AE\)。（提示：连接AD，利用等腰三角形“三线合一”及30°角的直角三角形性质）2.（动点题）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P从A出发沿AC向C运动（速度1单位/秒），点Q从C出发沿CB向B运动（速度2单位/秒）。当t为何值时，△PCQ与△ABC相似？（提示：分“△PCQ∽△ACB”和“△PCQ∽△BCA”两种情况）3.（综合题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在AC下方的点E处，若DE∥BC，求AD的长。（提示：利用折叠性质、相似三角形及平行线性质）专题二：四边形综合——特殊四边形的判定与性质考点聚焦：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定（从边、角、对角线切入）与性质（对边、对角、对角线的关系）是核心。2024年中考将强化“动态四边形”（动点、折叠、旋转形成的四边形）及“跨图形综合”（与三角形、圆、函数结合）的考查，需关注坐标系中四边形的存在性问题。典例精析：矩形折叠中的线段长度计算如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内点F处，连接CF，若CF=4，求BE的长。思路点拨：1.折叠性质：AF=AB=6，BE=FE，∠AFE=∠B=90°。设BE=x，则FE=x，EC=8−x。2.分析△EFC的形状：过F作FG⊥BC于G，结合坐标法（设A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)），设F(p,q)，则：\(AF=6\impliesp^2+q^2=36\)（AF的长度）；\(CF=4\implies(p-6)^2+(q-8)^2=16\)（CF的长度）。3.联立方程求解：展开并化简方程，得\(3p+4q=30\)，结合\(p^2+q^2=36\)，解得\(p=\frac{18}{5}\)，\(q=\frac{24}{5}\)。4.求BE的长度：由折叠后AE的中垂线性质，得BE=3（详细推导见解析）。训练巩固1.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在BC上（BE=1），点F在CD上（DF=1），连接AE、AF，求∠EAF的度数。（提示：证明△ABE≌△ADF，结合等边三角形性质）2.（动态题）在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，点P从A出发沿AD向D运动（速度1单位/秒），点Q从B出发沿BC向C运动（速度1单位/秒）。当t为何值时，四边形APQB为菱形？（提示：AP=BQ且AB=PQ，或AP=AB且PQ∥AB）3.（综合题）矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E在AD上（AE=4），将△ABE沿BE折叠，点A落在F处，连接DF，求DF的长。（提示：利用坐标法或勾股定理，分析F的位置）专题三：圆的综合——切线、圆周角与圆的综合应用考点聚焦：垂径定理（求弦长、半径）、圆周角定理（同弧所对圆周角与圆心角的关系）、切线的判定（\(d=r\)或“切线垂直于过切点的半径”）是高频考点。2024年将结合三角形、四边形、函数考查圆的综合题，如“圆与相似”“圆与几何变换”。典例精析：切线性质与相似三角形的应用如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线CD，AD⊥CD于D，连接AC、BC。求证：AC平分∠DAB；若AD=3，CD=4，求⊙O的半径。思路点拨：1.证角平分线：连接OC，因CD是切线，故\(OC\perpCD\)（切线性质）。又AD⊥CD，故\(OC\parallelAD\)，得\(\angleOCA=\angleDAC\)。因OA=OC（半径），故\(\angleOAC=\angleOCA\)，因此\(\angleDAC=\angleOAC\)，即AC平分∠DAB。2.求半径：在Rt△ADC中，由勾股定理得\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=5\)。因AB是直径，故\(\angleACB=90^\circ\)（圆周角定理），所以△ADC∽△ACB（∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°）。由相似得\(\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}\implies\frac{3}{5}=\frac{5}{AB}\impliesAB=\frac{25}{3}\)，故⊙O的半径为\(\frac{25}{6}\)。训练巩固1.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是AB上一点，OP=3，求AP的长。（提示：过O作OH⊥AB于H，用垂径定理求AH，再分P在H左侧或右侧）2.（切线判定）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，过D作DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线。（提示：连接OD，证OD∥AC）3.（综合题）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC交于E、F两点（AE=2，AF=6），∠ABC=90°，求BC的长。（提示：用切割线定理，设AD=x，BD=y，BC=z，列方程）专题四：几何变换——平移、旋转、轴对称的应用考点聚焦：旋转（尤其是“手拉手”“半角”模型）是2024年中考几何的热点，需掌握旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），通过旋转构造全等或相似三角形，解决线段和、角度问题；平移、轴对称则侧重“转化思想”，将分散的条件集中。典例精析：正方形中的半角模型（旋转法）如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：\(EF=BE+DF\)。思路点拨：1.旋转构造全等：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG，故△ADF≌△ABG（旋转性质），因此\(DF=BG\)，\(AF=AG\)，\(\angleDAF=\angleBAG\)。2.证明△EAF≌△EAG：因∠EAF=45°，∠DAB=90°，故\(\angleDAF+\angleBAE=45^\circ\)，即\(\angleBAG+\angleBAE=45^\circ\)，所以\(\angleEAG=\angleEAF=45^\circ\)。在△EAF和△EAG中，\(AF=AG\)，\(\angleEAF=\angleEAG\)，\(AE=AE\)，故△EAF≌△EAG（SAS），因此\(EF=EG\)。3.转化线段和：因\(EG=BE+BG\)，且\(BG=DF\)，故\(EF=BE+DF\)。训练巩固1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，将△ACD绕C逆时针旋转90°至△BCE，连接DE，求证：△CDE是等腰直角三角形。（提示：利用旋转性质，CD=CE，∠DCE=90°）2.（平移题）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，AB=5，BC=6，AC=7，求AD的长及四边形ABFD的周长。（提示：平移后AD=BE=CF，AB=DE，AC=DF）3.（半角模型）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=3，CE=4，求DE的长。（提示：旋转△ABD至△ACF，利用60°角构造全等）专题五：几何综合题——与函数、代数的融合考点聚焦：几何与二次函数、一次函数的综合是中考压轴题的常见形式，考查“存在性问题”（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形的存在性）、“最值问题”（线段和最小、面积最大），需结合坐标系、方程思想、分类讨论思想。典例精析：抛物线中三角形面积的最值问题如图，抛物线\(y=ax^2+bx+3\)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的动点，连接PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标及最大面积。思路点拨：1.求抛物线解析式：将A(-1,0)、B(3,0)代入解析式，解得\(a=-1\)，\(b=2\)，故抛物线为\(y=-x^2+2x+3\)，C点坐标为(0,3)。2.表示△PBC的面积：设P(t,\(-t^2+2t+3\))，过P作PD⊥x轴于D，交BC于E。BC的解析式为\(y=-x+3\)，故E点坐标为(t,\(-t+3\))，则\(PE=|-t^2+3t|\)（t∈(0,3)时，\(PE=-t^2+3t\)）。3.求面积的最大值：△PBC的面积\(S=\frac{1}{2}\timesOB\timesPE=\frac{3}{2}(-t^2+3t)\)（OB=3）。二次函数\(-t^2+3t\)开口向下，顶点在\(t=\frac{3}{2}\)，此时\(S_{\text{max}}=\frac{3}{2}\times\frac{9}{4}=\frac{27}{8}\)，P点坐标为\(\left(\frac{3}{2},\frac{15}{4}\right)\)。训练巩固1.（存在性问题）抛物线\(y=x^2-2x-3\)与x轴交于A、B，与y轴交于C，是否存在点P，使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求P的坐标。（提示：分“AB为边”或“AB为对角线”三种情况）2.（最值问题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D在AB上，点E在AC上，DE⊥AC，将△ADE沿DE折叠，点A落在F处，当F到BC的距离最小时，求AD的长。（提示：建立坐标系，用函数表示F的纵坐标，求最小值）3.（综合题）如图，抛物线\(y=-x^2+bx+c\)过A(0,4)、B(4,0)，点P在抛物线上，连接OP，当∠POB=45°时，求P的坐标。（提示：分P在x轴上方和下方，利用45°角构造等腰直角三角形）总结与备考建议2024年中考几何复习需把握“基础—能力—创新”三层逻辑：1.夯实基础：熟练掌握三角形、四边形、圆的基本性质与判定，牢记勾股定理、相似三角形判定、切线性质等核心定理，通过基础题巩固图形认知与逻辑推理。2.提升能力