2024年初中数学函数专题练习题

2024年初中数学函数专题练习题函数作为初中数学的核心模块，既是代数思维的深化体现，也是衔接高中函数学习的关键桥梁。2024年中考对函数的考查更注重数形结合与实际应用的融合，本专题通过分层练习题与精准解析，帮助学生夯实基础、突破难点。一、一次函数（\(\boldsymbol{y=kx+b}\)，\(\boldsymbol{k\neq0}\)）知识点梳理定义：形如\(y=kx+b\)（\(k\)、\(b\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，其中\(k\)决定直线的“倾斜程度”，\(b\)决定直线与\(y\)轴的交点。图像与性质：图像是一条直线，过点\((0,b)\)和\(\left(-\frac{b}{k},0\right)\)（\(k\neq0\)）；当\(k>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(k<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(|k|\)越大，直线越“陡”；\(b>0\)时，直线交\(y\)轴正半轴，反之交负半轴。实际应用：常结合行程问题（速度、时间、路程）、工程问题（效率、时间、工作量）、经济问题（单价、数量、总价）等，通过“设变量→列函数式→分析图像/最值”解决。练习题与解析基础巩固1.若函数\(y=(m-2)x+3\)是一次函数，求\(m\)的取值范围。*解析*：根据一次函数定义，\(x\)的系数不为\(0\)，即\(m-2\neq0\)，得\(m\neq2\)。2.已知一次函数过点\((1,3)\)和\((0,1)\)，求其解析式。*解析*：设解析式为\(y=kx+b\)，代入\((0,1)\)得\(b=1\)；再代入\((1,3)\)得\(k+1=3\)，故\(k=2\)，解析式为\(y=2x+1\)。能力提升3.直线\(y=-3x+5\)与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标分别为______，当\(x\)______时，\(y>0\)。*解析*：与\(x\)轴交点令\(y=0\)，得\(x=\frac{5}{3}\)，即\(\left(\frac{5}{3},0\right)\)；与\(y\)轴交点令\(x=0\)，得\((0,5)\)。由\(y>0\)即\(-3x+5>0\)，解得\(x<\frac{5}{3}\)。4.甲、乙两人分别从\(A\)、\(B\)两地出发，甲的速度为\(5\)km/h，乙的速度为\(3\)km/h，两人相向而行，初始距离为\(20\)km。设出发时间为\(x\)小时，两人距离为\(y\)km，求\(y\)与\(x\)的函数关系式，并指出\(x\)的取值范围。*解析*：两人相向而行，距离随时间减小，初始距离\(20\)km，每小时共走\(5+3=8\)km，故\(y=20-8x\)。当两人相遇时，\(y=0\)，即\(20-8x=0\)，\(x=2.5\)，因此\(x\in[0,2.5]\)。思维拓展5.已知一次函数\(y=kx+b\)的图像与直线\(y=2x\)平行，且过点\((1,-1)\)，求该函数与两坐标轴围成的三角形面积。*解析*：两直线平行则\(k=2\)，代入\((1,-1)\)得\(2\times1+b=-1\)，\(b=-3\)，故解析式为\(y=2x-3\)。与\(x\)轴交点\(\left(\frac{3}{2},0\right)\)，与\(y\)轴交点\((0,-3)\)，三角形面积为\(\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times3=\frac{9}{4}\)。二、反比例函数（\(\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}\)，\(\boldsymbol{k\neq0}\)）知识点梳理定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，自变量\(x\neq0\)，函数值\(y\neq0\)。图像与性质：图像为双曲线，关于原点和直线\(y=x\)、\(y=-x\)对称；当\(k>0\)时，双曲线在一、三象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(k<0\)时，双曲线在二、四象限，在每个象限内\(y\)随\(x\)增大而增大；\(k\)的几何意义：过双曲线上任意一点作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，所得矩形面积为\(|k|\)，三角形面积为\(\frac{1}{2}|k|\)。练习题与解析基础巩固6.若反比例函数\(y=\frac{k-1}{x}\)的图像在二、四象限，求\(k\)的取值范围。*解析*：图像在二、四象限，说明\(k-1<0\)，故\(k<1\)。7.已知反比例函数过点\((2,3)\)，求其解析式及当\(x=-1\)时的函数值。*解析*：代入点得\(3=\frac{k}{2}\)，\(k=6\)，解析式为\(y=\frac{6}{x}\)。当\(x=-1\)时，\(y=\frac{6}{-1}=-6\)。能力提升8.如图，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像过点\(A(2,3)\)，过\(A\)作\(AB\perpx\)轴于\(B\)，求\(\triangleAOB\)的面积。*解析*：由\(k\)的几何意义，三角形面积为\(\frac{1}{2}|k|\)。先求\(k=2\times3=6\)，故面积为\(\frac{1}{2}\times6=3\)。9.反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)与一次函数\(y=x+3\)的交点坐标为______。*解析*：联立方程\(\frac{4}{x}=x+3\)，两边乘\(x\)得\(x^2+3x-4=0\)，因式分解\((x+4)(x-1)=0\)，解得\(x=-4\)或\(x=1\)。代入\(y=x+3\)，得交点\((-4,-1)\)和\((1,4)\)。思维拓展10.点\(P(a,b)\)在反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)上，且\(a\)、\(b\)为整数，求满足条件的\(P\)点坐标。*解析*：由\(b=\frac{5}{a}\)，且\(a\)、\(b\)为整数，故\(a\)是\(5\)的约数，即\(a=\pm1,\pm5\)。对应\(b=\pm5,\pm1\)，因此\(P\)点坐标为\((1,5)\)、\((-1,-5)\)、\((5,1)\)、\((-5,-1)\)。三、二次函数（\(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\)，\(\boldsymbol{a\neq0}\)）知识点梳理三种表达式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（已知三点坐标时用）；顶点式：\(y=a(x-h)^2+k\)（已知顶点\((h,k)\)时用，对称轴为\(x=h\)）；交点式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（已知与\(x\)轴交点\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)时用）。图像与性质：图像为抛物线，对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；当\(a>0\)时，开口向上，顶点为最小值点；当\(a<0\)时，开口向下，顶点为最大值点；与\(x\)轴交点：令\(y=0\)，解方程\(ax^2+bx+c=0\)，判别式\(\Delta=b^2-4ac\)，\(\Delta>0\)时有两个交点，\(\Delta=0\)时有一个交点，\(\Delta<0\)时无交点。练习题与解析基础巩固11.二次函数\(y=-2x^2+4x+1\)的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为______。*解析*：\(a=-2<0\)，开口向下；对称轴\(x=-\frac{4}{2\times(-2)}=1\)；顶点纵坐标\(\frac{4\times(-2)\times1-4^2}{4\times(-2)}=\frac{-8-16}{-8}=3\)，故顶点\((1,3)\)。12.已知二次函数过点\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((3,0)\)，求其解析式。*解析*：设交点式\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\((0,3)\)得\(3=a(0-1)(0-3)\)，即\(3a=3\)，\(a=1\)，故解析式为\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)。能力提升13.二次函数\(y=x^2-2x-3\)与\(x\)轴的交点为______，当\(y<0\)时，\(x\)的取值范围是______。*解析*：令\(y=0\)，解方程\(x^2-2x-3=0\)，因式分解\((x-3)(x+1)=0\)，得交点\((-1,0)\)、\((3,0)\)。由图像开口向上，\(y<0\)时\(x\)在两交点之间，即\(-1<x<3\)。14.某商品的利润\(y\)（元）与售价\(x\)（元）满足二次函数\(y=-x^2+20x-75\)，求利润的最大值及对应的售价。*解析*：将函数化为顶点式，\(y=-(x^2-20x)-75=-(x-10)^2+25\)。因\(a=-1<0\)，顶点\((10,25)\)为最大值点，故当售价为\(10\)元时，利润最大为\(25\)元。思维拓展15.已知抛物线\(y=ax^2+bx+c\)过点\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)，与\(y\)轴交于\(C(0,3)\)，点\(P\)在抛物线上，且\(\trianglePAB\)的面积为\(6\)，求\(P\)点坐标。*解析*：先求解析式，设交点式\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\((0,3)\)得\(3=a(0-1)(0-3)\)，\(a=1\)，故\(y=x^2-4x+3\)。\(AB\)的长度为\(3-1=2\)，设\(P\)点纵坐标为\(h\)，则\(\trianglePAB\)面积为\(\frac{1}{2}\times2\times|h|=6\)，得\(|h|=6\)，即\(h=6\)或\(h=-6\)。当\(h=6\)时，\(x^2-4x+3=6\)，即\(x^2-4x-3=0\)，解得\(x=2\pm\sqrt{7}\)；当\(h=-6\)时，\(x^2-4x+3=-6\)，即\(x^2-4x+9=0\)，\(\Delta=16-36=-20<0\)，无实数解。故\(P\)点坐标为\((2+\sqrt{7},6)\)、\((2-\sqrt{7},6)\)。四、函数综合应用知识点梳理函数综合题常结合一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，融入几何图形（三角形、四边形、圆）的面积、存在性问题，或实际场景（运动、经济、几何变换）的分析。解题核心是数形结合：通过图像分析变量关系，结合代数运算（解方程、不等式、求最值）解决问题。练习题与解析16.如图，一次函数\(y=x+1\)与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)交于\(A\)、\(B\)两点，\(A\)点横坐标为\(2\)，求：（1）反比例函数解析式；（2）\(\triangleAOB\)的面积