2024-2025学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.如图,空间四边形OABC中,，，，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C2.设，则（）A.2 B. C. D.0【答案】C【解析】因为，令，得出，令，得出，则.故选：C.3.已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知随机变量，根据二项分布的期望公式，，可得.解得.由，，根据二项分布的概率公式，可得.故选：A.4.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.则可得由，可列出方程组.由可得，将其代入中，得到.去括号得，移项合并同类项得，解得.将代入，可得.将，代入，可得.故选：B.5.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.18 B.15 C.12 D.9【答案】C【解析】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种，则共有种.故选：C6.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，则在的投影向量为B.若空间向量，满足，则与夹角为锐角C.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面【答案】D【解析】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误；对于B，当夹角为0时，也满足，B错误；对于C，，则，C错误；对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确.故选：D7.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（）A.72 B.96 C.108 D.156【答案】A【解析】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况，剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况，则有种不同的安排方法.故选：A.8.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，则，，所以所求事件的概率.故选：C.二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）A.若与关于平面对称，则B.若，则A，B，C，D共面C.若，则A，B，C，D共面D.若三点共线，则【答案】BD【解析】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误；对于B，由共面向量定理易知得B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，，因为A，B，C共线，所以共线，所以，所以，故D正确．故选：BD．10.下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，，显然，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD.11.若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（）A.B.C.若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则D.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交【答案】BD【解析】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，易知，故A错误；由原则可知，故B正确；根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，，建立方程，整理可得，则，故C错误；易知，故D正确.故选：BD三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）12.在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______【答案】【解析】设棱长均为1,因为，所以，所以，所以.又.设异面直线与所成角为,则.故答案为:.13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______【答案】144【解析】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种．甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种．

此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种．所以不同的排列方式种数为种．

故答案为：144．14.已知两个随机事件，若，，，则______________.【答案】；【解析】由可得，故,故答案为：,四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分）15.2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？解：（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，所以不同的选择方法共有种；（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，所以其余2人观看影片的不同方法有种；（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，所以不同的选择方法有种.16.如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为是底面圆上的一条直径，所以⊥，因为⊥底面圆，，所以⊥底面圆，因为底面圆，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面；（2）因为⊥底面圆，圆，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角，故，又，所以为等边三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，故，，，，，设平面的法向量为，则，解得，令，得，故，设直线与平面所成角的大小为，则，直线与平面所成角的正弦值为.17.二项式展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求的值；（2）求展开式中各项的二项式系数和；（3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.解：（1）展开式前三项的二项式系数和为22，或（舍），故的值为6.（2）展开式中各项的二项式系数和为.（3）设展开式中常数项为第项，即，令，得，，由题可得，展开式中最大的二项式系数为，展开式中二项式系数最大的项为第4项，即，综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为.18.为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：编号位置①②③④山上5443山下4221（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；（2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.解：（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，得样本平均数，则山上试验田株古茶树产茶量估算为；（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，故方差，，故；（3）依题意，随机变量可以取，随机变量的分布列为987654随机变量的期望.19.如图,在四棱锥中,底面，，，，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点P到平面的距离．解：（1）因为底面，底面，所以，又因为平面，所以平面，即为平面的一个法向量，如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，可得，，，，，由为棱的中点，得，向量，，故，又平面，所以平面；（2）因为，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角余弦值为；（3）因为，所以点P到平面的距离，即点P到平面的距离为.江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1.如图,空间四边形OABC中,，，，且，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C2.设，则（）A.2 B. C. D.0【答案】C【解析】因为，令，得出，令，得出，则.故选：C.3.已知随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知随机变量，根据二项分布的期望公式，，可得.解得.由，，根据二项分布的概率公式，可得.故选：A.4.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】因为向量，，共面，所以存在实数，使得.则可得由，可列出方程组.由可得，将其代入中，得到.去括号得，移项合并同类项得，解得.将代入，可得.将，代入，可得.故选：B.5.在某次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如下图形式，已知每架无人机均可以发出红、黄、蓝3种颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.18 B.15 C.12 D.9【答案】C【解析】若发出2种光，则有种；若发出3种光，则有种，则共有种.故选：C6.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，则在的投影向量为B.若空间向量，满足，则与夹角为锐角C.若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则D.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面【答案】D【解析】对于A，在的投影向量与共线，则投影向量的横坐标为0，A错误；对于B，当夹角为0时，也满足，B错误；对于C，，则，C错误；对于D，在中，，则P，A，B，C四点共面，D正确.故选：D7.某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（）A.72 B.96 C.108 D.156【答案】A【解析】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况，剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况，则有种不同的安排方法.故选：A.8.已知一个盒子里有5个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，3个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，则，，所以所求事件的概率.故选：C.二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（）A.若与关于平面对称，则B.若，则A，B，C，D共面C.若，则A，B，C，D共面D.若三点共线，则【答案】BD【解析】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误；对于B，由共面向量定理易知得B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，，因为A，B，C共线，所以共线，所以，所以，故D正确．故选：BD．10.下列等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，，显然，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选：BCD.11.若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（）A.B.C.若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则D.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交【答案】BD【解析】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大，即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高，则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线，易知，故A错误；由原则可知，故B正确；根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：，，建立方程，整理可得，则，故C错误；易知，故D正确.故选：BD三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）12.在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______【答案】【解析】设棱长均为1,因为，所以，所以，所以.又.设异面直线与所成角为,则.故答案为:.13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为______【答案】144【解析】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种．甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种．

此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种．所以不同的排列方式种数为种．

故答案为：144．14.已知两个随机事件，若，，，则______________.【答案】；【解析】由可得，故,故答案为：,四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分）15.2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看．（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？解：（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同，所以不同的选择方法共有种；（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，所以其余2人观看影片的不同方法有种；（3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，所以不同的选择方法有种.16.如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.（1）证明：平面平面；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为是底面圆上的一条直径，所以⊥，因为⊥底面圆，，所以⊥底面圆，因为底面圆，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以平面⊥平面；（2）因为⊥底面圆，圆，所以⊥，⊥，所以为二面角的平面角，故，又，所以为等边三角形，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，故，，，，，设平面的法向量为，则，解得，令，得，故，设直线与平面所成角的大小为，则，直线与平面所成角的正弦值为.17.二项式展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求的值；（2）求展开式中各项的二项式系数和；（3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.解：（1）展开式