2026届高三一轮复习讲义(教师基础版)数学第一章1.4基本不等式

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.1.基本不等式：ab≤a(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，2.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤a+b22与ab≤a+b2(2)y=x+1x的最小值是2.(×(3)若x>0，y>0且x+y=xy，则xy的最小值为4.(√)(4)函数y=sinx+4sinx，x∈0，π2的最小值为4.2.若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值，则a等于(A.1+2 B.1+3C.3 D.4答案C解析当x>2时，x-2>0，f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2(x>2)，即x=3时，取等号，即当f(3.已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为()A.14 B.18 C.116答案A解析因为0<x<1，所以1-x>0，所以x(1-x)≤x+1-x2当且仅当x=1-x，即x=12时，等号成立故x(1-x)的最大值为144.(2025·滨州模拟)已知正数a，b满足a+b=1，则4a+1b的最小值为答案9解析由题意得a>0，b>0且a+b=1，所以4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4b当且仅当4ba=ab，即a=2b=所以4a+1b的最小值为谨防两个易误点(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则会造成错误.(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.题型一直接法求最值例1(1)(多选)(2025·广州模拟)下列代数式中最小值为2的是()A.ba+B.2x+2-xC.y=|sinx|+1D.x2+2答案BC解析选项A中，当ab<0时，函数y=ba+ab<0选项B中，2x+2-x≥22x·2-x=2，当且仅当x=0选项C中，在y=|sinx|+1|sinx中，|sinx|>0，所以y=|sinx|+1|sinx≥2|sinx|·1|sinx选项D中，x2+2+1x2+2≥2x2+2·1x2+2=2，(2)(2025·青岛统考)若1≤x≤4，则(6-x)(x+2)A.4 B.15 C.23 D.2答案A解析因为1≤x≤4，所以6-x>0，x+2>0，所以(6-x)(x+2)当且仅当6-x=x+2，即x=2时取等号，所以(6-x)(x思维升华对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式a+b2≥ab成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立跟踪训练1(1)函数y=3x4x2-3x+1(A.-3 B.34 C.3 D.答案C解析因为x>0，所以y=3x4x2-3x当且仅当4x=1x，即x=12时，等号成立，故原函数的最大值为(2)若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为()A.1 B.2 C.2 D.22答案D解析由xy=1得x2+2y2≥2x2·2当且仅当x2=2y2，即x2=2，y2=22时等号成立，x2+2y2取得最小值22题型二配凑法求最值例2(1)已知0<x<22，则x1-2x2的最大值为A.22 B.12 C.14答案D解析x1-2x2=x2(1-2x2)=1当且仅当2x2=1-2x2，即x=12时取等号(2)函数f(x)=4x+9x+1，x∈(-1，+∞)的最小值为(A.6 B.8 C.10 D.12答案B解析因为x∈(-1，+∞)，则x+1>0，则f(x)=4x+9x+1=4(x+1)+≥24(x+1)当且仅当4(x+1)=9x+1，x>-1故函数f(x)=4x+9x+1，x∈(-1，+∞)的最小值为延伸探究在例2(2)中，若把“x∈(-1，+∞)”改为“x∈(-∞，-1)”，求f(x)的最大值.解∵x∈(-∞，-1)，∴x+1<0，∴-(x+1)>0，∴f(x)=4x+9x+1=4(x+1)+=--4(x≤-2[-4(=-2×6-4=-16，当且仅当-4(x+1)=9-(x+1)，即x=-∴当x=-52时，f(x)max=-16与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f(x)=x+kx，k>0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，+∞)(1)当k∈[a，b]时，f(x)=x+kx≥2k，f(x)min=f(k)=k+kk=2(2)当k<a时，f(x)=x+kx在区间[a，b]上单调递增，f(x)min=f(a)=a+k(3)当k>b时，f(x)=x+kx在区间[a，b]上单调递减，f(x)min=f(b)=b+k因此，只有当k∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当k∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值.典例函数f(x)=x2+3x2+2的最小值是答案3解析由f(x)=x2+3x2+2=x2+2+令x2+2=t(t≥2)，则有f(t)=t+3t-2由对勾函数的性质知，f(t)在[2，+∞)上单调递增，所以当t=2时，f(t)min=32即当x=0时，f(x)min=32思维升华配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.跟踪训练2(1)(2024·哈尔滨模拟)已知x<0，y<0，且2x+y=-2，则4x+2y的最小值为()A.1 B.2 C.2 D.22答案A解析因为x<0，y<0，所以4x+2y=22x+2y≥222x·2y=222x+y=1，当且仅当22x=2y，即2x=y=-1时，等号成立(2)(2025·海口模拟)设x<2，则关于函数y=2x-1+2x-2，下列说法正确的是(A.最小值为7 B.最小值为-1C.最大值为7 D.最大值为-1答案D解析因为x<2，所以2-x>0，所以y=2x-1+2x-2=2(x-2)+2x-2因为2(2-x)+22-x≥22(2-当且仅当2(2-x)=22-x，即x=1故-2(2-x)+22-所以函数y=2x-1+2x-2有最大值为题型三常数代换法求最值例3(1)已知正数x，y满足x+8y=xy，则x+2y的最小值是()A.6 B.16 C.20 D.18答案D解析因为正数x，y满足x+8y=xy，即8x+1y则x+2y=(x+2y)8x+1y=10+16yx+当且仅当16yx=xy，即x=12，y(2)(2025·无锡模拟)已知x，y均为正实数，且1x+2+1y+3=16，则x+A.16 B.1 C.19 D.答案C解析因为x，y均为正实数，且1x+2+1y则x+y=(x+2)+(y+3)-5=61x+2+1y+3[(x+2)=62+y+3x+2+x+2y+3所以62+y≥62y+3即x+y≥19，当且仅当y即x=10，y=9所以x+y的最小值为19.思维升华常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.跟踪训练3(多选)已知a，b为正实数，且a>1，b>1，(a-1)(b-1)=1，则下列结论正确的是()A.1a+1B.ab的最大值为4C.2a+b的最小值为3+22D.1a-1+1答案ACD解析因为a>1，b>1，所以a-1>0，b-1>0.对于A，因为(a-1)(b-1)=1，所以ab=a+b，得1a+1b=1，对于B，因为ab=a+b≥2ab(当且仅当a=b=2时取等号)，所以ab≥2，ab≥4，所以ab的最小值为4，B错误；对于C，(2a+b)1a+1b=3+2ab+ba≥3+22ab·ba=3+22(当且仅当对于D，因为(a-1)(b-1)=1，所以1a-1+1b-1≥21(a-1)(b-1)=2(当且仅当a题型四构造不等式法求最值例4(多选)(2025·青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab=a+b+8，则下列结论正确的是()A.a+b≤8 B.ab≥16C.a2+b2≥32 D.a+3b≥4+63答案BCD解析对于选项A，由a+b+8=ab≤a+b22，当且仅当a=b时等号成立，不妨设a+则t2-4t-32≥0，解得t≥8或t≤-4，因为a>0，b>0，则a+b≥8，故A项错误；对于选项B，由ab-8=a+b≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，不妨设ab=s，则s2-2s-8≥0，解得s≥4或s≤-2，因为s>0，则s≥4，即ab≥16，故B项正确；对于选项C，a2+b2≥2ab，又由B项知ab≥16，所以a2+b2≥2ab≥32，当且仅当a=b时等号成立，故C项正确；对于选项D，由ab=a+b+8可得a(b-1)=b+8，则b-1>0，且a=b+8b-1，则a+3b=b+8b-1+3b=1+9b-1+3b=4+9b-1+3(b-1)≥4+227=4+63，当且仅当9b-1=3(b-1)时取等号，即b=3+1，a=33+1时思维升华若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值.跟踪训练4若实数x，y满足x2+y2-xy=1，则x2+y2的最大值为，x+y的最大值为.

答案22解析x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以x2+x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+y22，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=1时右边取等号，所以x+课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.27答案B解析因为m>0，n>0，由基本不等式m+n≥2mn得，m+n≥18，当且仅当m=n=9时，等号成立，所以m+n的最小值是18.2.(2025·滨州模拟)已知a2+b2=5，则4a2+1b2A.9 B.7 C.95 D.答案C解析因为a2+b2=5，所以4a2+1b2=4a2+1b2(a2+b2当且仅当4b2a2=a2b2且即b2=53，a2=103时，等号成立，所以4a2+3.函数f(x)=x2+x+1x-1(xA.23 B.3+23C.2+22 D.5答案B解析因为x>1，所以x-1>0，所以f(x)=x2+x+1x-1=(x-1)2+3(x-1)+3x-1当且仅当x-1=3x即x=3+1时取等号，所以函数f(x)=x2+x+1x最小值为3+23.4.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则xyz的最大值为(A.4 B.2 C.3 D.1答案D解析因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，所以xyz=xyx2+y2当且仅当xy=yx(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故xyz二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.下列说法正确的是()A.函数y=lnx+4lnxB.函数y=x+4x(x<0)的最大值是C.函数y=x2+10D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8答案BD解析A选项，由于lnx可能小于0，即y=lnx+4lnx的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故B选项，对于函数y=x+4x(x<0)x+4x=-(-x)+4-x≤-2(-x)·4-x=-4，当且仅当-C选项，y=x2+10x2+9=x2+9+1x2+9≥2x2+9·1x2+9D选项，由基本不等式得x2+y22≥x+y22，所以x2+y2≥2x+y22=2×226.(2024·重庆统考)已知x，y都为正数，且x+2y=4，则下列说法正确的是()A.2xy的最大值为4B.x2+4y2的最小值为12C.2y+1xD.x+2y的最大值为2答案ACD解析由题意知正数x，y满足x+2y=4.对于A，2xy=x·2y≤x+2y22=4，当且仅当x=2y=2对于B，x2+4y2=(x+2y)2+(x-2y)22≥12(x+2y对于C，2y+1x=14(x+2y)2y+1x=145+2xy+对于D，x+2y=x+2y+2x·2y≤4+x+2y=22，三、填空题(每小题5分，共10分)7.设x>2，则函数y=4x-1+4x-2的最小值为答案15解析因为x>2，所以x-2>0，所以y=4x-1+4x-2=4(x-2)+4x-2+7≥当且仅当4(x-2)=4x-2，即x=3所以函数y=4x-1+4x-2的最小值为8.已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是.

答案2解析因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，所以x=1-y则2x+y=2-2y23y+y≥223y·当且仅当23y=y3，即y=2时所以2x+y的最小值是22四、解答题(共28分)9.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x+y的最小值.(7分)解(1)因为x>0，y>0，根据基本不等式，30=x+2y+xy≥22xy+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)令xy=t(t>0)，则t2+22t-30≤0，解得-52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤