（人教A版）必修一高一数学上册期末专题强化练习01 基本不等式的应用技巧（解析版）

第页强化专题1基本不等式的应用技巧在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．【技巧目录】一、加项变换求最值二、平方后使用基本不等式求最值三、展开后求最值四、常数代换法求最值五、代换减元求最值六、换元法求值七、利用两次基本不等式求值八、建立求解目标不等式求最值【例题详解】一、加项变换例1求函数的最小值.【答案】5【分析】式子化为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当即时取等号，此时取得最小值5.例2已知关于x的不等式x＋eq\f(1,x－a)≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________．【答案】5【详解】∵x>a，∴x－a>0，∴x＋eq\f(1,x－a)＝(x－a)＋eq\f(1,x－a)＋a≥2＋a，当且仅当x＝a＋1时，等号成立，∴2＋a≥7，即a≥5.例3已知，则函数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵，,∴，当且仅当时，即时等号成立，因此，函数,的最大值为,故选：C．二、平方后使用基本不等式例4若x>0，y>0，且2x2＋eq\f(y2,3)＝8，则xeq\r(6＋2y2)的最大值为________．【答案】eq\f(9,2)eq\r(3)【详解】(xeq\r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2.当且仅当2x2＝1＋eq\f(y2,3)，即x＝eq\f(3,2)，y＝eq\f(\r(42),2)时，等号成立．故xeq\r(6＋2y2)的最大值为eq\f(9,2)eq\r(3).三、展开后求最值例5若a，b是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7B．8C．9D．10【答案】C【详解】∵a，b是正数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝1＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)＋4＝5＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)≥5＋2eq\r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝5＋4＝9，当且仅当b＝2a时取“＝”．四、常数代换法求最值例6若，都是正数，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．【详解】若，都是正数，且，，当且仅当时等号成立，故选：A.例7已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数，所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.例8已知，求的最小值．【答案】【分析】因为，所以，利用构造思想，用基本不等式可得出答案.【详解】因为，所以，，当且仅当“”时取等号，即且，即时取等号.所以的最小值为：.例9已知正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将变为，即可得，因此将变为，结合基本不等式即可求得答案.【详解】因为正实数，，故，所以，故，当且仅当时取得等号，故选：C五、代换减元求最值例10负实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为负实数、满足，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.故的最小值为.故选：A.例11若实数x，y满足xy＋3x＝3(0<x<eq\f(1,2))，则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值为________．【答案】8【详解】∵实数x，y满足xy＋3x＝3(0<x<eq\f(1,2))，∴x＝eq\f(3,y＋3)，∴0<eq\f(3,y＋3)<eq\f(1,2)，解得y>3.则eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y＋3＋eq\f(1,y－3)＝y－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝eq\f(3,7)时取等号．例12已知，则的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】依题意可得，又，即可得到，从而得到，利用基本不等式计算可得；【详解】因为，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值是；故选：B六、换元法求值例13若实数满足，则的最小值为__________.【答案】4【分析】由可得，令，则可得，代入化简后，利用基本不等式可求得结果【详解】，设，则，，，，等号在，即，或时成立.所以的最小值为4.故答案为：4例14已知实数，满足，则的最小值为__________．【答案】【分析】通过换元，设，，再根据题干中这个条件，即可得到，然后利用均值不等式即可得到答案.【详解】设，，，可得，则.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.七、利用两次基本不等式求值例15已知a，b∈R，且，则的最小值是_____．【答案】2【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.【详解】∵，∴，当且仅当a＝1＝b时取等号，其最小值是2，故答案为：2．例16若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为，，所以(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C八、建立求解目标不等式求最值例17已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．【答案】6eq\r(2)－1【详解】a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)≥2eq\r(2a＋2ba＋2b＋1)＝6eq\r(2)，当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号，即有3a＋4b的最小值为6eq\r(2)－1.例18已知a>0，b>0，且a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝5，则a＋b的取值范围是()A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2C．1<a＋b<4 D．a＋b>4【答案】A【详解】∵a＋b＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝5，∴a＋b＋eq\f(a＋b,ab)＝5.∵a>0，b>0，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，∴eq\f(1,ab)