第二章二次函数-点在二次函数图象上讲义北师大版数学九年级下册

第二章二次函数点在二次函数图象上讲义北师大版（2012）初中数学九年级下册一、知识点回顾1.1点在二次函数图象上的条件（教材原文）：

1.定义：若点(x0,y0)满足二次函数解析式y=ax教材示例：

判断点(1,3)是否在二次函数y=2x2−x+2二、重难点讲解2.1利用点的坐标求二次函数解析式

核心方法：已知图象上的点坐标，代入解析式建立方程组求解参数a、b、c。

示例1：

已知二次函数图象过点(1,4)、(2,9)和(0,3)，求解析式。a

3.解得a=2，b=−1，2.2求含参数的二次函数

关键点：通过已知点在图象上的条件，建立方程求参数。

示例2：

若点(2,5)在二次函数y=x2+kx+3的图象上，求k5三、易错点与解题方法3.1常见易错点

1.代入坐标时符号错误：

错误：将点(−1,4)代入时误写为a(−12)+b(−1)+c=4（正确应为a(−1)2+b(−1)+c3.2解题技巧与方法

1.分步代入法：

步骤1：将已知点坐标代入解析式；

步骤2：建立方程或方程组；

步骤3：解方程并验证解的合理性。

2.优先利用特殊点：

若已知抛物线与y轴交点(0,c四、巩固练习判断点(−1,6)已知二次函数图象过点(0,−1)、(若点(3,7)在二次函数y二次函数y=ax2+bx+2的图象过点答案与解析：

1.在图象上

解析：代入x=−1，y=3(−1)2+2(−1)+1=6。

2.解析式为y=x2+2x−1

解析：代入(0,−1a

解得a=3，一、选择1.(单选)若抛物线的图象经过，，，中的三个点，则关于该抛物线的叙述正确的是（

）．A.不经过点B.不经过点C.开口向下D.顶点为2.(单选)若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（

）A.B.C.D.3.(单选)若（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（

）A.B.C.D.4.(单选)若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（

）A.B.C.D.5.(单选)在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点，是该二次函数图象上的两点，其中，则下列结论正确的是（

）A.B.C.函数的最小值是D.函数的最小值是6.(单选)已知是二次函数，则的值为（

）A.B.0C.1D.1或7.(单选)已知是关于x的二次函数，那么m的值为（

）A.B.2C.D.08.(单选)若函数是关于x的二次函数，则（

）A.B.C.D.二、填空1.抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是

.2.已知函数是二次函数．(1)的值是

；(2)这个二次函数图象的对称轴是

，顶点坐标是

．3.已知是二次函数，则

．4.若函数是二次函数，则的值是

．5.已知函数是二次函数，则m等于

．6.已知是二次函数，求m＝

．7.如果是二次函数，则的值为

．8.若二次函数，则

．三、解答1.已知二次函数（为常数，）的图象经过点．(1)求的值．(2)判断二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由．2.如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点当点运动到何处时满足？求出此时点的坐标；（3）若时，二次函数的最大值为，求的值.3.已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（s，t）（其中s≠0）．（1）若抛物线经过（2，7）和（3，37）两点，且s=1．①求抛物线的解析式；②若n＞1，设点M（n，y1），N（n+1，y2）在抛物线上，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；（2）若a=2，c=2，直线y=2x+m与抛物线y=ax2+bx+c的交于点P和点Q，点P的横坐标为h，点Q的横坐标为h+3，求出b和h的函数关系式；（3）若点A在抛物线y=上，且2≤s＜3时，求a的取值范围．4.已知：二次函数（为常数）．(1)当时，二次函数的顶点坐标为

．(2)二次函数的图象经过点，求的值．(3)该抛物线在上最高点的纵坐标为，直接写出与的函数关系式．(4)点在二次函数上，点与点关于点对称，把线段绕点逆时针旋转得到线段，以、为边作正方形，设点的横坐标为直接写出点或在二次函数上时的值．5.如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点D为的中点，点P在抛物线上．(1)______；(2)若点P在第一象限，过点P作轴，垂足为与分别交于点是否存在这样的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；6.在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点为，与直线相交于点，点关于直线的对称点为．(1)若抛物线经过原点，求的值．(2)点的坐标为

．用含的代数式表示点到直线的距离为

．(3)将（，且）的函数图象记为图象，图象关于直线的对称图象记为图象．图象与图象组合成的图象记为图象．①当图象与轴恰好有三个交点时，求的值．②当为等腰直角三角形时，直接写出图象所对应的函数值小于时，自变量的取值范围．7.已知函数（，为实数）．(1)当，取何值时，函数是二次函数．

(2)若它是一个二次函数，假设，那么：①它一定经过哪个点？请说明理由．②若取该函数上横坐标满足（为整数）的所有点，组成新函数．当时，随的增大而增大，且时是函数最小值，求满足的取值范围．8.如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，是线段上一点（与，点不重合），抛物线经过点，，顶点为，抛物线经过点，，顶点为，，的延长线相交于点．(1)若，，求抛物线，的解析式．(2)若，，求的值．(3)是否存在这样的实数，无论取何值，直线与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由．9.如图，已知抛物线与轴相交于，，为抛物线上第四象限的点．(1)求该抛物线的函数关系式．(2)过点作轴于点，交于点，当线段得长度最大时，求点的坐标．(3)如图，当线段的长度最大时，作与，连接，在射线上有一点，满足，问在坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由．10.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点．(1)若，求函数的表达式．(2)若函数图象的顶点在轴上，求的值．(3)已知点和都在函数图象上，试比较，的大小．11.在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．(1)点的“可控变点”坐标为

．(2)若点在函数的图象上，其“可控变点”的纵坐标是，求“可控变点”的横坐标．(3)若