苏科版八年级数学上册第一章 三角形 复习题-含30°角的直角三角形的性质（含答案）

第一章《三角形》复习题---含30°角的直角三角形的性质【题型1利用含30°的直角三角形的性质求长度】1.如图，等边三角形ABC的边长为9，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则CD长为（

）A．2 B．3 C．4 D．52.如图，△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分线，点D在AB的垂直平分线上，若AD=6，则CD=．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D，AD=2，则BC的长是（）A．12 B．10 C．8 D．64.已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12，若点H在线段AD上运动，12AH+CH取最小值时，DH的值为【题型2利用含30°的直角三角形的性质求角度】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D是直线AB上的一点，且满足BD=12AB，则2.如图，在矩形ABCD中，ADAB=12，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D3.如图，在△ABC中，中线CM与高线CD三等分∠ACB，则∠B的度数为．4.已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则等腰三角形ABC【题型3利用含30°的直角三角形的性质证明】1.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接AD、BF，且BF=AF．(1)求证：AD∥BC；(2)求证：AD=2AE．2.如图，在△ABC中，CA=CB,∠A=30°，D是AC的中点，DE⊥AC交AB于点E．求证：BE=2AE．3.如图，在等边△ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．(1)求证：△ABD≌△BCE；(2)过点A作AG⊥BE，求线段AF与GF的数量关系．4.如图，在△ABC中，D是AC边的中点，点E在BC的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠A与∠ACE互补，∠E=30°．(1)求证：△ABC是等边三角形．(2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．【题型4利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】1.如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=5cm，∠B=60°，动点M、N分别从点B、C同时出发，其中点M以2cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点N以1 cm/s的速度沿CB向点B匀速运动，当M、N其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为tsA．1 B．1或52 C．1或2 D．2或2.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB于D．当∠BQD=30°时，AP的长为．3.如图∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t的取值范围是秒时，△ABC是锐角三角形．4.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，设点P的运动时间为ts．当PQ与△ABC的一条边垂直时，t=【题型5利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=16，点D是BC边上一个动点，连接AD，将△ABD绕着点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF长度的最小值为（

A．8 B．4 C．2 D．12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为（

A．43 B．32 C．83.如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB．将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（

）A．16 B．12 C．14.如图，OE是等边△AOB的中线，OB=8，C是直线OE上一动点，以AC为边作等边三角形ACD，连接ED，下列说法正确的是（A．ED的最小值是2 B．ED有最大值C．ED的最小值是4 D．ED没有最小值也没有最大值【题型6利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】1.如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，∠B=60°，点D在边BC上，CD=4，连接AD．将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，作EF⊥BC，垂足为F，则FD=

2.如图，RtΔABC中，∠C=90∘，当ΔABC沿折痕BE翻折时，点C恰好落在AB的中点D上.若BE=6，则AC的长是（A．6 B．8 C．9 D．103.如图，将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后，点C与E重合，BE交AD于点H，若∠CBD=30°，EH=2，则BC的长度为．4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，点D为AB边上一动点，点E在AC边上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为F，连接BF．当△BDF为直角三角形时，AD的长为

【题型7含30°的直角三角形的实际应用】1.小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接AO，CO，并分别延长至点B，点D，使OB=OA，OD=OC，连接(1)如图1，求证：AC=BD；(2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长CO至点D，使OC=OD，过点D作AC的平行线DE，延长AO至点F，连接EF，测得∠DEF=120°，∠OFE=90°，2.某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知∠A=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要元．3.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE分别垂直于横梁AC，若AB=8 m,∠DCA=30∘，则立柱DE

4.密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，监测人员上午6时在A处完成采样后，测得实验室P在A点北偏东60°方向．随后监测人员乘坐监测船继续向东行驶，上午9时到达B处，同时测得实验室P在B点北偏西30°方向，其中监测船的行驶速度为20km/h(1)在图中画出实验室P的位置；(2)已知A、B两个水质监测站的图上距离为3cm①请你利用刻度尺，度量监测船在B处时到实验室P的图上距离；②估计监测船在B处时到实验室P的实际距离，并说明理由．参考答案【题型1利用含30°的直角三角形的性质求长度】1.B【分析】过点D作DF∥AB，交BC于F，先证△CDF是等边三角形，再证△PDF≌△PEB，得CD=BE，设BE=x，则BE=CD=x,AD=9−x,AE=9+x，最后根据在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半，计算9−x=1【详解】解：如下图，过点D作DF∥AB，交BC于F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°，∵DF∥∴∠CDF=∠A=60°,∠DFC=∠ABC=60°,∠DFP=∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD=DF，∵点P为DE中点，∴PD=PE，在△PDF和△PEB中，∠DFP=∠EBP∠DPF=∠EPB∴△PDF≌△PEB，∴DF=BE，∴CD=BE，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠E=90°−∠A=30°，设BE=x，则BE=CD=x,AD=9−x,AE=9+x，∴9−x=1解得：x=3，∴CD=3，故选：B．2.3【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD=6，从而可得∠A=∠ABD，再结合三角形内角和定理求出∠A=∠ABD=∠CBD=30°，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD=6，∴∠A=∠ABD，∵△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°，∴CD=1故答案为：3．3.D【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据含30°角的直角三角形的性质求得BD=2AD=4，由等边对等角以及三角形内角和定理求得∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，进而求得∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，再根据等边对等角得到AD=CD=2，最后根据BC=BD+DC即可得解．【详解】解：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，又∠B=30°，AD=2，∴BD=2AD=2×2=4，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−30°−30°=120°，∵AD⊥AB，即∠BAD=90°，∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°−90°=30°，∴△ACD是等腰三角形，即AD=CD=2，∴BC=BD+DC=4+2=6，故选：D．4.4【分析】过点H作HE⊥AB于点E，连接CE，利用含30度的直角三角形的性质得到EH=12AH，可得12AH+CH=EH+CH≥CE，继而得出当C、H、E【详解】解：如图，过点H作HE⊥AB于点E，连接CE，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=1∴EH=1∴12当C、H、E三点依次在同直线上时，12此时，CE⊥AB，∠ACE=∠CAD=∠BCE=30°，∴AH=CH，DH=1∴DH=1故答案为：4．【题型2利用含30°的直角三角形的性质求角度】1.30°或60°【分析】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点D在线段AB上和点D在AB延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．【详解】解：当点D在线段AB上时，如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=12AB∵BD=1∴BC=BD，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC=60°；当点D在AB延长线上时，如图2所示，同理可得BD=BC，∴∠BCD=∠BDC∵∠ABC=60°，∠BCD+∠BDC=∠ABC，∴∠BDC=∠BCD=30°；综上，∠BDC=30°或60°，故答案为：30°或60°．2.30【分析】根据题意易得AB【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAB=90°，∵ADAB∴AB=2AD，∵将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB∴∠D∴∠DB∴∠DAB∴∠DAD故答案为30．3.30°【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出△ACD≌△MCD，确定AD=DM=12AM=12BM．过点M作【详解】解：解：根据题意得：CD⊥AB,AM=MB,∠∵∠ACD=∴△ACD≌△MCD．∴AD=DM=1过点M作MN⊥BC于点N，∵∠DCM=∴DM=NM．∴NM=1∴在Rt△MNB中，∠故答案为：30°．4.15°或45°或75°【分析】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解．作出图形，分①点A是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，从而得到AD=BD=CD，再利用等边对等角的性质可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点A是底角顶点，AD在△ABC外部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ACD=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是15°，③点A是底角顶点，AD在△ABC内部时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠C=30°，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可．【详解】解：①如图1，点A是顶点时．

∵AB=AC，∴BD=CD，∵12∴AD=BD=CD．∵在Rt△ABD中，AD=BD∴∠B=∠BAD=1②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=1③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时．

∵BC=2AD，∴AD=1∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=1综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°．【题型3利用含30°的直角三角形的性质证明】1.（1）证明；由旋转的性质可得BD=BA，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠BDA=60°，又∵BF=AF，∴BF=AF，∴DF垂直平分AB，∴∠AED=90°，∴AD=2AE．2.解：∵CA=CB,∠A=30°，∴∠B=∠A=30°，∠ACB=180°−30°−30°=120°，∵DE⊥AC交AB于点E．D是AC的中点，∴ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠ECA=∠A=30°，∴∠BCE=120°−30°=90°，在Rt△BCE中，∠B=30°则BE=2EC，∵AE=CE，∴BE=2AE．3.（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCE∴△ABD≌△BCESAS（2）解：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠AFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°，∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，∴∠FAG=30°，∴AF=2GF．4.（1）证明：∵EF⊥AB，∴∠BFE=90°，∴∠B+∠E=90°．∵∠E=30°，∴∠B=60°．∵∠ACB+∠ACE=180°，∠A+∠ACE=180°，∴∠A=∠ACB，∴AB=CB，∴△ABC是等边三角形．（2）解：AD=CE．理由：由（1）得△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．∵∠AFD=90°∴∠ADF=30°．∵∠CDE=∠ADF，∴∠CDE=30°，∴∠E=∠CDE，∴CE=CD．∵D是AC边的中点，∴AD=CD．∴AD=CE．【题型4利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题】1.B【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．分两种情况讨论△BMN为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可．【详解】解：∵点M以2cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点N以1 cm/s的速度沿CB向点B匀速运动，∴BM=2tcm，BN=BC−CN=当∠BMN=90°时，∵∠B=60°，∴∠BNM=30°，∴BN=2BM，∴5−t=2×2t，∴t=1；当∠BNM=90°时，∵∠B=60°，∴∠BMN=30°，∴BM=2BN，∴2t=2×5−t∴t=5∵当M、N其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，点M从B到A所需时间为6÷2=3s，点N从C到B所需时间为5÷1=5∴0≤t≤3；∵t=1和t=52均满足∴t的值为1或52故选B．2.2【分析】先证明CQ=2CP，由此构建方程求解，可得答案．【详解】解：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6−x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°∴PC=12QC解得x=2，∴AP=2．故答案为：2．3.1<t<4【分析】过B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，根据含30度角的直角三角形的性质求得AE,AF的长即可求解．【详解】解：如图，过B作BE⊥AN于E，BF⊥AM，BF交AN于F，则∠AEB=90°，∠ABF=90°，∵∠MAN=60°，∴∠ABE=30°，∠AFB=30°，∵AB=2，∴AE=12AB=1∴当运动时间t的取值范围是1<t<4秒时，△ABC是锐角三角形．故答案为：1<t<4．4.2或4或8【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可；【详解】解：由题意BQ=tcm，PB=①如图1中，当PQ⊥BC时，∵∠PQB=90°，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，∴6−t=2t，∴t=2．如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2PB，∴t=26−t∴t=4．③如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，∴t=212−t∴t=8，综上所述，满足条件的t的值为2或4或8．故答案为：2或4或8．【题型5利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题】1.B【分析】本题考查了直角三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质．延长EF，过点C作CG⊥EF于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据旋转得出∠AEF=∠B=30°，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，EF最小，根据直角三角形的性质求出结果即可．【详解】解：延长EF，过点C作CG⊥EF于点G，如图所示：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°−30°=60°，根据旋转可知：AB=AE=16，∠BAE=∠DAF=60°，∴∠BAC=∠BAE，∴点A、C、E在同一直线上，∵△BAD≌△EAF，∴∠AEF=∠B=30°，∴点F在直线EG上，∵垂线段最短，∴点F在点G处时，EF最小，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°∴AC=1∴CE=AE−AC=16−8=8，∵∠CGF=90°，∠CEG=30°，∴CG=1∴CF的最小值为4．故选：B．2.C【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接DF，过F作FG⊥BC交于G，由直角三角形的特征得AB=2AC=4，由线段垂直平分线的性质得AF=DF，BF=AB−AF=4−DF，当DF取得最小值时，BF取得最大值，当DF=FG时，DF取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键．【详解】解：如图，连接DF，过F作FG⊥BC交于G，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，∴AB=2AC=4，∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴BF=AB−AF=4−DF，当DF取得最小值时，BF取得最大值，∵DF≥FG，∴当DF=FG时，DF取得最小值，此时DF与FG重合，如图，∴DF=1∴BF=4−1解得：BF=8故选：C．3.C【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，则BG=CG=1由旋转性质得∠MBN=60°，BM=BN，∴∠MBH+∠HBN=60°，∵三角形ABC是等边三角形，CH是等边△ABC的高线，∴∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，BH=12AB=2∴∠HBN=∠MBC，BH=BG，在△MBG和△NBH中，BG=BH∠MBG=∠NBH∴△MBG≌△NBH(SAS∴MG=NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时HN最短，∵∠BCH=30°，CG=2，∴在Rt△CGM中，MG=∴线段HN长度的最小值是1，故选：C．4.A【分析】取OA中点K，连接CK，EK，证明△ACK≌△ADE，得出CK=DE，当CK⊥CE时，CK最小，故DE【详解】如图，取OA中点K，连接CK，∵OE是等边△AOB的中线，∴OA=AB，AK=AE，∵以AC为边作等边三角形ACD，∴∠CAD=∠OAB=60°，∴∠CAD−∠OAD=∠OAB−∠OAD，即∠OAC=∠BAD，∴△ACK≌△ADESAS∴CK=DE，∴当DE最小时，CK最小，当CK⊥CE时，CK最小，∴DEmin∵∠ADE=30°，∴CK=1∴DE故选：A．【题型6利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题】1.2【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．先证明△ABD是等边三角形，则可得∠ADB=60°，则∠ADC=120°，根据翻折的性质，可得∠FDE=60°，和DE的长．在Rt△EFD中，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”即可求出FD【详解】解：∵BC=9,CD=4，∴BD=9−4=5．∵△ABD中，AB=5,BD=5,∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=180°−∠ADB=120°．根据翻折的性质可得，∠ADE=∠ADC=120°,DE=DC=4，∴∠FDE=∠ADE−∠ADB=60°．又∵EF⊥BC，∴∠EFD=90°，∴∠FED=30°，∴FD=1故答案为：2．2.C【分析】先证明EA=EB，再证明∠EAB=∠EBA=∠EBC=30°，根据30°角所对应的直角边等于斜边的一半得出EC的长，之后进一步求解即可.【详解】∵∠BDE=∠C=90°，∴ED⊥AB，∵AD=DB,∴EA=EB=6，∴∠EAB=∠EBA=∠EBC，又∵∠BEC=∠EAB=∠EBA，∴∠BEC＋∠EBC=3∠EBC=90°，∴∠EBC=30°，∵BE=6，∴EC=12∴AC=EA＋EC=9.所以答案为C选项.3.6【分析】由翻折得到∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，利用长方形的性质得到∠ADB=∠CBD，推出BH=DH，证明△ABH≌△EDH，得到AH=EH=2，求出∠ABH=90°−30°−30°=30°，由此求出【详解】解：由翻折得∠EBD=∠CBD=30°，∠C=∠E=90°，在长方形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠EBD，∴BH=DH，∵∠A=∠E,∠AHB=∠EHD，∴△ABH≌∴AH=EH=2，∵∠ABH=90°−30°−30°=30°，∴BH=2AH=4，∴BC=AD=AH+DH=2+4=6，故答案为：6．4.3或6【分析】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质．分两种情况画图讨论：当∠BFD=90°时，点F在△ABC内，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，进而解答即可．【详解】解：∵∠ABC=60°，DE∥∴∠ADE=∠ABC=60°，由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠