2025届江西省华大联盟高三联考（三模）三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省华大联盟2025届高三联考（三模）三模数学试题一、单选题1．已知复数z满足z-1z=-1-i，则在复平面内zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为z-1z=-1-i，所以z=12+i=2-故选：D2．已知实数x,y∈(0,π)，则“x>y”是“sinx>sinA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取x=5π6,y=2故x>y推不出sinx>取x=π3,y=5π故sinx>siny故“x>y”是“sinx>sin故选：D.3．已知集合A=0,a,a2,B=a-1,3a-2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由A中元素的互异性可得a≠0,a≠a2，故a≠0且而a2-a+1=a-122+34故A∪B中至少有4元素，取a=2，此时A=0,2,4此时A∪B有4个元素，故A∪B中的元素个数至少为4个，故选：C.4．已知平面单位向量m,n满足m⊥m-2A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】A【解析】因为平面单位向量m,n满足则m⋅m-2则m故选：A5．从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（

）A．23 B．12 C．25【答案】B【解析】设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为PB|A故选：B6．已知α，β都是锐角，sin(α+β)=31010，tanα=2A．63 B．255 C．6【答案】D【解析】由tanα=2tanβ，得sin得sinαcosβ+sin(α-β)=105-1010=所以cos(α-β)=故选：D7．已知公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn．若满足a1=-5，且a4,aA．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】设公差为d,d≠0，由题意得a62=-5+5d2=-5+15d⋅-5+3d故Sn=na又n∈N*，故使得Sn>0故选：B8．已知双曲线x2-y28=1的左、右焦点分别为F1,F2，若直线A．±1 B．±2 C．±3 D【答案】D【解析】由题设有F1-3,0,因为直线y=833而0<833先考虑与右支交于两点，则t>0，由AF1//BF由8x2-故Δ=256t2-20故3×165t+tx2-x由对称性可得当直线与左支交于两点时t=-2，综上，t=±2，故选：D.二、多选题9．设函数f(x)=sin2x+2cosx，则函数A．最小正周期为2π B．最大值为3C．图象关于直线x=3π4对称 D【答案】AD【解析】对于A，f(x+2π2π是f(x)的周期，若存在0<T0则必有f(T0)=f(0)f(π+矛盾，则2π是f(x)的最小正周期，A对于B，f(x)≤1+2=3，当且仅当2x=π2+2显然取不到等号，B错误；对于C，f(3函数f(x)的图象关于直线x=3π4对于D，当x∈[0,π6)函数f(x)在区间[0,π6]上单调递增，故选：AD10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为A1D1A．存在P,M使PM//平面ABCD B．存在P,M使B1C．PM+PB1的最小值为3 D．PM+PN【答案】ABD【解析】以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z正方体棱长为2，则各点坐标：D10,0,2，B2,2,0，E设平面ABCD的法向量n=设D1P=λD1B，则P2λ,2λ,2-2λ，M1-μ,μ,2，则PM⋅n=2λ=0，且PM不在平面ABCD内，PM//平面ABCD，此时P所以存在P,M使PM//平面ABCD，A当点P位于D1B的中点，M在点F处时，B1证明：在△D1BC1中，点P是D1B的中点，M所以PM//BC1，因为因为PN//C1D1又PN∩PM=P，所以B1N⊥平面MNP，所以因为PM=1-μ-2λ,μ-2λ,2λ，所以PM=要求PM+PB1的最小值，即求1-μ-2λ因为μ,λ∈0,1，所以1-μ-2λ22-2λ则μ=12，当λ=16时，两式之和的值为16所以最小值不是3，所以C错误；连接AC,BD交于点Q，则Q为线段AC的中点，那么PN=PQ.因而选项D中所求的PM+PN问题转化为PM+PQ问题.因为PM+PQ≤MQ，M1-μ,μ,2所以MQ=μ,1-μ,-2，所以当μ=12时，MQ取最小值为此时M为EF中点，MQ,BD1⊂平面DB所以PM+PQ的最小值为32即PM+PN的最小值为322，D故选：ABD.11．设曲线C:(x2A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内B．曲线C关于直线y=±x对称C．若点(x0,y0D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1【答案】BCD【解析】对于A，因为曲线C:(x2-y对于B，对曲线上任意一点Px,y，则Q-y,-x也满足Ry,x也满足(x2-y故曲线C关于直线y=±x对称，故B正确；对于C，由曲线C:(x2故(x-y)2若x+y=0，则x=-y，故xy=0，故此时x=y=0，满足x-y<2若x+y≠0，则(x-y)2≤4，故若x-y=2，则x+y2=4xy即x-y2=0故x-y=2不成立，故x-y<2，故对于D，由C的分析可得x-y<2，故曲线C分别为y=x+2及y=x-2，故若直线l与曲线C没有交点，则l与渐近线平行或重合，故l的斜率为1，故D正确.故选：BCD.三、填空题12．在x-12x-13x-1……6x-1的展开式中，含【答案】-21【解析】x-12x-1含x项可以看出由6个因式中选一个因式提供x，其余的因式提供常数，故含x项的系数为-6-5-4-3-2-1=-21，故答案为：-21.13．若函数f(x)=a⋅2x+b⋅2-x的图象关于直线x【答案】4【解析】因为函数f(x)=a⋅2x+b⋅2所以f(1-x)=f(1+x)，所以f(0)=f(2)，所以a+b=4a+b所以3b4=3a，所以故答案为：4.14．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为【答案】14【解析】设A0A1为当前连续正面的次数为1，A2为当前连续正面的次数为A3为当前连续正面的次数为3设Ei为分别表示而A0到A3由题设有E3从A0开始，若抛出正面，则期望次数变为1+E1故E0=1同理E1=所以E1=1+1故E0-2=3故答案为：14.四、解答题15．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD=2PA=2DC=2,AD//BC,∠BCD=90°，且（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值．（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且∠BCD=90°，故BC⊥CD，故CD⊥AD，而CD⊥PD，AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，而PA⊂平面PAD，PA⊥CD，而PA⊥AB，AB,CD⊂平面ABCD，由梯形ABCD知AB,CD必定相交，故PA⊥平面ABCD，而PA⊂平面PAB，故平面PAB⊥平面ABCD.（2）解：连接BD，在平面PDC中过D作DH⊥PC，垂足为H，由（1）可得PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，故PA⊥AD，而PA=1,AD=2，故PD=5，而CD=1，故DH=在平面ABCD中过A作AG⊥BC，垂足为G，连接PG，取PG的中点为S，连接AS，因为CG⊂平面ABCD，故PA⊥CG，而PA∩AG=A,PA,AG⊂平面PAG，故GB⊥平面PAG，而AS⊂平面PAG，故GB⊥AS，因为AG⊥BC,CD⊥BC且AG,BC,CD⊂平面ABCD，故AG//CD，而AD//GC，故AG=CD=1，由而PG∩GB=G,PG,GB⊂平面PBC，故AS⊥平面PBC，故A到平面PBC的距离为AS，而AG⊂平面ABCD，故PA⊥AG，故△PAG为等腰直角三角形，故AE=1而AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面BCP，故AD//故D到平面BCP的距离即为A到平面PBC的距离为AS=2设二面角B-PC-D所成平面角为θ，则sinθ=而θ为钝角，故cosθ=-16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c+ccos（1）求A；（2）若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求1BD解：（1）在△ABC中，由b+c+ccos2A+2acos由正弦定理得sinB+2cosA(则sinB+2cosAsinB=0，而sin所以A=2π（2）由（1）知∠BAD=∠CAD=π3，设在△ABD,△ACD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=则BD=3c2sinθ在△ABC中，由余弦定理得16λ解得-1<λ<1，因此λ∈[32,1)令f(λ)=λ(1-λ2)，求导得f'(λ)=1-3则f(λ)max=f(3217．已知函数f(x)=e（1）讨论函数fx（2）若fx≥1-a解：（1）由题知函数fx的定义域为0,+f'x=aeax-1x，a>0时，y=aeax与y=-1x在0,+∞所以f'x=0有唯一解x所以，当x∈0,x0，f当x∈x0,+∞，f'x>0，f综上，a≤0时，函数fx的极值点个数为0a>0时，函数fx的极值点个数为（2）eax-ln设gx=ex+x,x∈R，eax+ax≥elnx所以a≥lnxxmax，令所以当x∈0,e时，h'当x∈e,+∞时，h'x所以实数a的取值范围为1e18．已知椭圆Γ:x2a2+y2b（1）求椭圆Γ的方程．（2）已知过点F的动直线l与椭圆Γ交于A，B两点，且A，C关于原点对称．是否存在直线l，使得四边形OFBC的面积为94？若存在，求出直线l解：（1）由题意知F(c,0),M(0,-b)，故|MF|=c因为椭圆的离心率为e=ca=故椭圆Γ的方程为x2（2）满足题意的直线l有两条．证明如下：由题意知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,联立方程x=my+1x24Δ=36m则y1又四边形OFBC的面积S==|OF|⋅即y1=2y2+代入②中，得到-4m化简得81m3-36m2令φ(m)=81m3-36令φ'(m)=0，有Δ<0恒成立，故φ'(m)>0，即又φ(0)=-48<0,φ(1)=73>0，由零点存在定理知φ(m)在(0,1)上有唯一零点．综上所述，满足题意的直线l有两条．19．对于项数为m的数列an，现定义一种新的排列方式“递增移位数列”，其排列规则如下：当k≤m时，将数列an的前k项移至末尾，并按照递增顺序排列，其余各项均依次前移k位；当k>m时，则将数列an的前kmodm项移至末尾，并按上述规则进行变换．若kmodm=0，则无需进行变换操作，称为k次递增移位变换．例如，数列1，2，3经过一次递增移位变换后得到数列2，3，1；经过两次递增移位变换后得到数列1，2，3（1）写出数列1，2，3，4，5，6经过2025次递增移位变换后的新数列．（2）对于数列1，2，3，…，n2①该数列经过k(k≤n)次递增移位变换后，求新数列的第k项bk②假设经过无限次递增移位变换后所出现的每一种排列都是等可能的，记事件“第一项与最后一项的项值之差为1”的概率为Pn，证明：P解：（1）数列1，2，3，4，5，6经过一次递增移位变换后得到数列，3，4，5，6，1；经过两次递增移位变换后得到数列4，5，6，1，2，3；经过三次递增移位变换后得到数列1，2，3，4，5，6；经过四次递增移位变换后得到数列5，6，1，2，3，4；经过五次递增移位变换后得到数列4，1，2，3，5，6；经过六次递增移位变换后得到数列1，2，3，4，5，6；经过七次递增移位变换后得到数列2,3,4,5,6,1⋯⋯从而得到规律，该数列的变化周期为6，故经过2025次递增移位变换后得到的新数列为原数列，即1，2，3，4，5，6．（2）①当k≤n时，总有1+2+⋯+k=k(k+1)即原数列经过k次递增移位变换后，共有k(k+1)2即此时新数列的第1项为k(k+1)2+1，第n2故第k项bk=②数列1,2,3,⋯,n2的所有排列方法数有当n=3时，原数列经过无限次递增移位变换后得到的数列共有9种情形，依次为：2,3,4,5,6,7,8,9,1；4,5,6,7,8,9,1,2,3；7,8,9,1,2,3,4,5,6；2,3,4,5,6,1,7,8,9；1,7,8,9,2,3,4,5,6；4,5,6,1,2,3,7,8,9；8,9,1,2,3,4,5,6,7；7,1,2,3,4,5,6,8,9；1,2,3,4,5,6,7,8,9.观察知，第一、二、三、七种情形符合题意，此时P3当n≥4时，对原数列作n+1次递增移位变换后，新数列的第一项为n2+3n2第n2项为n故有Pn≥综上所述，当n≥3时，Pn江西省华大联盟2025届高三联考（三模）三模数学试题一、单选题1．已知复数z满足z-1z=-1-i，则在复平面内zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为z-1z=-1-i，所以z=12+i=2-故选：D2．已知实数x,y∈(0,π)，则“x>y”是“sinx>sinA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取x=5π6,y=2故x>y推不出sinx>取x=π3,y=5π故sinx>siny故“x>y”是“sinx>sin故选：D.3．已知集合A=0,a,a2,B=a-1,3a-2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由A中元素的互异性可得a≠0,a≠a2，故a≠0且而a2-a+1=a-122+34故A∪B中至少有4元素，取a=2，此时A=0,2,4此时A∪B有4个元素，故A∪B中的元素个数至少为4个，故选：C.4．已知平面单位向量m,n满足m⊥m-2A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】A【解析】因为平面单位向量m,n满足则m⋅m-2则m故选：A5．从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（

）A．23 B．12 C．25【答案】B【解析】设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”，那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为PB|A故选：B6．已知α，β都是锐角，sin(α+β)=31010，tanα=2A．63 B．255 C．6【答案】D【解析】由tanα=2tanβ，得sin得sinαcosβ+sin(α-β)=105-1010=所以cos(α-β)=故选：D7．已知公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn．若满足a1=-5，且a4,aA．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】设公差为d,d≠0，由题意得a62=-5+5d2=-5+15d⋅-5+3d故Sn=na又n∈N*，故使得Sn>0故选：B8．已知双曲线x2-y28=1的左、右焦点分别为F1,F2，若直线A．±1 B．±2 C．±3 D【答案】D【解析】由题设有F1-3,0,因为直线y=833而0<833先考虑与右支交于两点，则t>0，由AF1//BF由8x2-故Δ=256t2-20故3×165t+tx2-x由对称性可得当直线与左支交于两点时t=-2，综上，t=±2，故选：D.二、多选题9．设函数f(x)=sin2x+2cosx，则函数A．最小正周期为2π B．最大值为3C．图象关于直线x=3π4对称 D【答案】AD【解析】对于A，f(x+2π2π是f(x)的周期，若存在0<T0则必有f(T0)=f(0)f(π+矛盾，则2π是f(x)的最小正周期，A对于B，f(x)≤1+2=3，当且仅当2x=π2+2显然取不到等号，B错误；对于C，f(3函数f(x)的图象关于直线x=3π4对于D，当x∈[0,π6)函数f(x)在区间[0,π6]上单调递增，故选：AD10．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为A1D1A．存在P,M使PM//平面ABCD B．存在P,M使B1C．PM+PB1的最小值为3 D．PM+PN【答案】ABD【解析】以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z正方体棱长为2，则各点坐标：D10,0,2，B2,2,0，E设平面ABCD的法向量n=设D1P=λD1B，则P2λ,2λ,2-2λ，M1-μ,μ,2，则PM⋅n=2λ=0，且PM不在平面ABCD内，PM//平面ABCD，此时P所以存在P,M使PM//平面ABCD，A当点P位于D1B的中点，M在点F处时，B1证明：在△D1BC1中，点P是D1B的中点，M所以PM//BC1，因为因为PN//C1D1又PN∩PM=P，所以B1N⊥平面MNP，所以因为PM=1-μ-2λ,μ-2λ,2λ，所以PM=要求PM+PB1的最小值，即求1-μ-2λ因为μ,λ∈0,1，所以1-μ-2λ22-2λ则μ=12，当λ=16时，两式之和的值为16所以最小值不是3，所以C错误；连接AC,BD交于点Q，则Q为线段AC的中点，那么PN=PQ.因而选项D中所求的PM+PN问题转化为PM+PQ问题.因为PM+PQ≤MQ，M1-μ,μ,2所以MQ=μ,1-μ,-2，所以当μ=12时，MQ取最小值为此时M为EF中点，MQ,BD1⊂平面DB所以PM+PQ的最小值为32即PM+PN的最小值为322，D故选：ABD.11．设曲线C:(x2A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内B．曲线C关于直线y=±x对称C．若点(x0,y0D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1【答案】BCD【解析】对于A，因为曲线C:(x2-y对于B，对曲线上任意一点Px,y，则Q-y,-x也满足Ry,x也满足(x2-y故曲线C关于直线y=±x对称，故B正确；对于C，由曲线C:(x2故(x-y)2若x+y=0，则x=-y，故xy=0，故此时x=y=0，满足x-y<2若x+y≠0，则(x-y)2≤4，故若x-y=2，则x+y2=4xy即x-y2=0故x-y=2不成立，故x-y<2，故对于D，由C的分析可得x-y<2，故曲线C分别为y=x+2及y=x-2，故若直线l与曲线C没有交点，则l与渐近线平行或重合，故l的斜率为1，故D正确.故选：BCD.三、填空题12．在x-12x-13x-1……6x-1的展开式中，含【答案】-21【解析】x-12x-1含x项可以看出由6个因式中选一个因式提供x，其余的因式提供常数，故含x项的系数为-6-5-4-3-2-1=-21，故答案为：-21.13．若函数f(x)=a⋅2x+b⋅2-x的图象关于直线x【答案】4【解析】因为函数f(x)=a⋅2x+b⋅2所以f(1-x)=f(1+x)，所以f(0)=f(2)，所以a+b=4a+b所以3b4=3a，所以故答案为：4.14．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为【答案】14【解析】设A0A1为当前连续正面的次数为1，A2为当前连续正面的次数为A3为当前连续正面的次数为3设Ei为分别表示而A0到A3由题设有E3从A0开始，若抛出正面，则期望次数变为1+E1故E0=1同理E1=所以E1=1+1故E0-2=3故答案为：14.四、解答题15．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD=2PA=2DC=2,AD//BC,∠BCD=90°，且（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值．（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且∠BCD=90°，故BC⊥CD，故CD⊥AD，而CD⊥PD，AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD，故CD⊥平面PAD，而PA⊂平面PAD，PA⊥CD，而PA⊥AB，AB,CD⊂平面ABCD，由梯形ABCD知AB,CD必定相交，故PA⊥平面ABCD，而PA⊂平面PAB，故平面PAB⊥平面ABCD.（2）解：连接BD，在平面PDC中过D作DH⊥PC，垂足为H，由（1）可得PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，故PA⊥AD，而PA=1,AD=2，故PD=5，而CD=1，故DH=在平面ABCD中过A作AG⊥BC，垂足为G，连接PG，取PG的中点为S，连接AS，因为CG⊂平面ABCD，故PA⊥CG，而PA∩AG=A,PA,AG⊂平面PAG，故GB⊥平面PAG，而AS⊂平面PAG，故GB⊥AS，因为AG⊥BC,CD⊥BC且AG,BC,CD⊂平面ABCD，故AG//CD，而AD//GC，故AG=CD=1，由而PG∩GB=G,PG,GB⊂平面PBC，故AS⊥平面PBC，故A到平面PBC的距离为AS，而AG⊂平面ABCD，故PA⊥AG，故△PAG为等腰直角三角形，故AE=1而AD//BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面BCP，故AD//故D到平面BCP的距离即为A到平面PBC的距离为AS=2设二面角B-PC-D所成平面角为θ，则sinθ=而θ为钝角，故cosθ=-16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c+ccos（1）求A；（2）若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求1BD解：（1）在△ABC中，由b+c+ccos2A+2acos由正弦定理得sinB+2cosA(则sinB+2cosAsinB=0，而sin所以A=2π（2）由（1）知∠BAD=∠CAD=π3，设在△ABD,△ACD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=则BD=3c2sinθ在△ABC中，由余弦定理得16λ解得-1<λ<1，因此λ∈[32,1)令f(λ)=λ(1-λ2)，求导得f'(λ)=1-3则f(λ)max=f(3217．已知函数f(x)=e（1）讨论函数fx（2）若fx≥1-a解：（1）由题知函数fx的定义域为0,+f'x=aeax-1x，a>0时，y=aeax与y=-1x在0,+∞所以f'x=0有唯一解x所以，当x∈0,x0，f当x∈x0,+∞，f'x>0，f综上，a≤0时，函数fx的极值点个数为0a>0时，函数fx的极值点个数为（2）eax-ln设gx=ex+x,x∈R，eax+ax≥elnx所以a≥lnxxmax，令所以当x∈0,e时，h'当x∈e,+∞时，h'x所以实数a的取值范围为1e18．已知椭圆Γ:x2a2+y2b（1）求椭圆Γ的方程．（2）已知过点F的动直线l与椭圆Γ交于A，B两点，且A，C关于原点对称．是否存在直线l，使得四边形OFBC的面积为94？若存在，求出直线l解：（1）由题意知F(c,0),M(0,-b)，故|MF|=c因为椭圆的离心率为e=ca=故椭圆Γ的方程为x2（2）满足题意的直线l有两条．证明如下：由题意知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,联立方程x=my+1x24Δ=36m则y1又四边形OFBC的面积S==|OF|⋅即y1=2y2+代入②中，得到-4m化简得81m3-36m2令φ(m)=81m3-36令φ'(m)=0，有Δ<0恒成立，故φ'(m)>0，即又φ(0)=-