振动力学 课件 全套1-6 -基本概念和学习目的 - 6.1.2-固有频率和振型函数

2025年9月16日振动力学1力学，一级学科，下设三个二级学科：一般力学（动力学与控制），固体力学，流体力学教学内容一般力学的对象主要是有限自由度系统的运动及其控制，有时它包含一个或多个无限自由度子系统。它包括运动稳定性理论、振动理论、动力系统理论、多体系统力学、机械动力学等。固体力学是研究可变形固体在外界因素作用下所产生的应力、应变、位移和破坏等的力学分支。固体力学在力学中形成较早，应用也较广。流体力学是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科。主要研究在各种力的作用下，流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。学科定位：力学是联系理论与工程实际的重要桥梁2025年9月16日振动力学2力学，一级学科，下设三个二级学科：一般力学（动力学与控制），固体力学，流体力学教学内容一般力学：理论力学，振动力学，非线性动力学固体力学：材料力学，弹性力学，塑性力学，非线性连续介质力学流体力学：流体力学，高等流体力学等力学专业基础课：振动力学是力学专业的重要专业基础课，由此开始进入动力学的研究范畴，在航空航天、机械、土木等许多工程领域有着重要的应用背景2025年9月16日振动力学3教学内容教学内容绪论单自由度系统自由振动单自由度系统受迫振动多自由度系统的振动振动问题的近似解法连续体系统的振动2025年9月16日振动力学4绪论基本概念与学习目的振动问题的提法力学模型振动及系统分类绪论2025年9月16日振动力学5-从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动基本概念与学习目的-振动是自然界最普遍的现象之一定义（1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动，（2）桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动，（3）飞机和轮船航行中的振动，（4）机床和刀具在加工时的振动-各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动-如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、速度、加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动

绪论2025年9月16日振动力学6-各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题振动力学-借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，为合理解决各种振动问题提供理论依据绪论2025年9月16日振动力学7学习目的-它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因1940年美国华盛顿州塔科马海峡大桥共振-许多情况下，振动是有害的例如：绪论主跨854.4m全长1810.56m宽11.9m中等风速19m/s下垮塌2025年9月16日振动力学82010年5月19号俄罗斯伏尔加河桥梁共振绪论2009年10月10日竣工通车。总造价8000万美元，大桥全长154米，前后建造花去了12年时间。2025年9月16日振动力学9绪论1972年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组点火试车发生设备损坏和火灾2025年9月16日振动力学10绪论樵歌.电站系统工程.19882025年9月16日振动力学11绪论点火试车发生设备损坏和火灾2025年9月16日振动力学12绪论南非Duvha电厂汽轮机事故我国秦岭发电厂5号机事故另两个汽轮机振动事故2025年9月16日振动力学13绪论美国第一颗人造卫星“探险者I号”1958年1月发射，鞭状天线耦合效应导致卫星失效航空航天F-15战机由于尾翼颤振解体运十颤振实验录像2025年9月16日振动力学14学习目的-它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因1940年美国的TacomaNarrows吊桥（塔科马海峡大桥）-许多情况下，振动是有害的例如：1972年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组美国第一颗人造卫星“探险者I号”，F-15战机颤振振动会影响精密仪器的功能，降低加工精度，加剧构件疲劳和磨损桥梁因振动而倒塌，飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故强烈的振动噪声而形成严重公害绪论2025年9月16日振动力学15学习振动力学的目的之一：掌握振动的基本理论和分析方法，用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响

绪论2025年9月16日振动力学16例如：-振动也有它积极的一方面，是可以利用的学习目的振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础绪论无线通信广播电视天线雷达手机通讯2025年9月16日振动力学17绪论工业用振动筛、振动沉桩、振动输送、地震仪学习振动力学的目的之二：运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置

振动筛振动沉桩振动输送机地震仪2025年9月16日振动力学18绪论上海交通大学工程力学系振动问题的提法2025年9月16日振动力学19振动问题的提法-通常的研究对象被称作系统系统（输入）激励（输出）响应它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等-外部激振力等因素称为激励（输入）-系统发生的振动称为响应（输出）绪论2025年9月16日振动力学20第一类：已知激励和系统，求响应第二类：已知激励和响应，求系统第三类：已知系统和响应，求激励系统（输入）激励（输出）响应振动问题按这三个环节可分为三类问题绪论2025年9月16日振动力学21第一类：已知激励和系统，求响应动力响应分析主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段，对具体设计方案进行动力响应验算，若不符合要求再作修改，直到达到要求而最终确定设计方案，这一过程就是所谓的振动设计

正问题系统（输入）激励（输出）响应√√?绪论2025年9月16日振动力学22第一类：已知激励和系统，求响应动力响应分析正问题系统（输入）激励（输出）响应√√?绪论结构抗震结构设计潜艇声学结构设计卫星载荷不能过大2025年9月16日振动力学23第二类：已知激励和响应，求系统系统识别，系统辨识求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和阻尼系数等）和系统关于振动的固有特性（如固有频率、主振型等）的认识以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动固有特性为任务的叫做模态参数辨识或者试验模态分析第一个逆问题系统（输入）激励（输出）响应√√?绪论2025年9月16日振动力学24绪论-在轨辨识时间：1994-12-26、1995-1-13、1995-3-14-激励形式：脉冲，随机-传感器：帆板加速度传感器，6个-辨识方法：数据下传地面，ERA-帆板姿态：1800，2700例子1：EngineeringTestSatellite-VI1994年8月发射升空，三轴稳定地球同步通讯实验卫星在轨模态辨识、姿态控制实验-姿态控制方法：十多种控制律，如PD、LQG、鲁棒等2025年9月16日振动力学25绪论例子2：TheInternationalSpaceStation-数据测量：加速度传感器，12个，100Hz采样，无线传输；应变测量装置，8个，50Hz采样，无线传输；摄影测量，5个98年1月构建。在轨模态试验，验证动力学模型。-激励方式：推进器瞬时点火，5次-辨识方法：ERA2025年9月16日振动力学26第三类：已知系统和响应，求激励环境预测例如：为避免产品公路运输中的损坏，需通过实地行车记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程中振动环境，以便为产品设计可靠的减震包装。第二个逆问题系统（输入）激励（输出）响应√√?绪论坦克瞄准系统设计需要考虑地面激励地震烈度估计已知遥测数据，反演导弹外部载荷2025年9月16日振动力学27系统（输入）激励（输出）响应√√?绪论第一类：已知激励和系统，求响应：动力响应分析，正问题

第二类：已知激励和响应，求系统：系统辨识，第一个逆问题

第三类：已知系统和响应，求激励：环境预测，第二个逆问题这三类问题基本囊括了现实振动中的所有问题振动力学CAI单自由度系统自由振动振动力学单自由度系统自由振动轿车隔振器机床旋转机械单自由度系统工程实例振动力学单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动工程实例卫星调姿引起的帆板振动土壤基础弹性垫锤头砧座框架砧座和基础土壤阻尼土壤刚度锻锤锻锤敲击后机器的振动振动力学教学内容单自由度系统自由振动无阻尼自由振动能量法瑞利法等效质量和等效刚度阻尼自由振动等效粘性阻尼振动力学无阻尼自由振动令x为位移，以质量块静平衡位置为原点，λ为静变形受到初始扰动时，由牛顿第二定律，得：静平衡位置：固有振动或自由振动微分方程：单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置0x静平衡位置弹簧原长位置m振动力学单自由度系统自由振动牛顿（SirIsaacNewton,1642-1727）英国自然哲学家、剑桥大学数学教授、英国皇家学会主席。他于1687年出版的论及物体运动规律和条件的《自然哲学的数学原理》一书，被认为是当时最伟大的科学巨著。他的关于力、质量和动量的定义以及三大运动定律的相继出现，构成了动力学理论的基石。在国际单位制中，力的单位牛顿（N）就是用他的名字命名的。振动力学固有振动或自由振动微分方程：单位：弧度/秒（rad/s）则有：通解：振幅：初相位：固有频率单自由度系统自由振动c,s:待定系数特征方程特征根s1和s2都满足特征方程，通解可写为：A1,A2:常数欧拉公式：令：mk/0=wc1,c2:新常数，由初始条件决定振动力学单自由度系统自由振动振动力学系统固有数值特征，与系统是否振动以及如何振动无关非系统固有数字特征，与系统所受激励和初始状态有关单自由度系统自由振动振动力学单自由度系统自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动零时刻初始条件：零初始条件下的自由振动：振动力学初始条件下的自由振动：无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能。单自由度系统自由振动振动力学初始条件下的自由振动：单自由度系统自由振动初始条件：固有频率从左到右：时间位置无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止。振动力学固有频率计算的另一种方式：静平衡位置处：可得：对于不易得到m

和k

的系统，若能测出静变形，则用该式计算较为方便。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置振动力学单自由度系统自由振动上海交通大学工程力学系无阻尼自由振动算例单自由度系统自由振动无阻尼自由振动：振动力学振动力学例：矿用提升机系统单自由度系统自由振动Wv绞车罐笼振动力学例：矿用提升机系统重物重量钢丝绳的弹簧刚度重物以的速度均匀下降求：绳的上端突然被卡住时：（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力单自由度系统自由振动Wv钢丝绳有可能断裂造成事故2012年甘肃白银矿车钢丝绳断裂造成20人死亡振动力学解：振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置则t=0

时，有：振动解：单自由度系统自由振动W静平衡位置kxWv振动力学振动解：绳中最大张力等于静张力与动张力之和：动张力几乎是静张力的一半由于为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度。单自由度系统自由振动Wv分析：振动力学例：重物落下与简支梁做完全非弹性碰撞梁长L，抗弯刚度EJ求：梁的自由振动频率和最大挠度单自由度系统自由振动mh0l/2l/2土壤基础弹性垫锤头砧座框架砧座和基础土壤阻尼土壤刚度锻锤振动力学解：由材料力学：自由振动频率：单自由度系统自由振动取平衡位置以梁承受重物静平衡位置为坐标原点静变形mh0l/2l/2x静平衡位置振动力学撞击时刻为零时刻，则t=0

时，有：自由振动振幅：梁的最大扰度：单自由度系统自由振动mh0l/2l/2x静平衡位置振动力学例：圆盘转动圆盘转动惯量I在圆盘静平衡位置任选一根半径作为角位移的起点位置扭振固有频率单自由度系统自由振动为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：汽轮机轴系扭振振动力学由上例可看出，除坐标不同外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置振动力学从上两例还可看出，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件。惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量；而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。单自由度系统自由振动0mx静平衡位置弹簧原长位置振动力学单自由度系统自由振动上海交通大学工程力学系无阻尼自由振动算例单自由度系统自由振动无阻尼自由振动：0mx直线振动角振动振动力学例：复摆单自由度系统自由振动a0C集装箱码头龙门吊海洋平台塔吊工厂行吊摆振振动力学例：复摆刚体质量m对悬点的转动惯量重心C

求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率单自由度系统自由振动a0C振动力学解：由牛顿定律：微振动：固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法若已测出物体的固有频率，则可求出，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：单自由度系统自由振动a0C振动力学单自由度系统自由振动例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角300质量m=1kg弹簧刚度k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零求：系统的运动方程m300重力加速度取9.8振动力学单自由度系统自由振动解：以静平衡位置为坐标原点建立坐标系振动固有频率：振动初始条件：考虑方向初始速度：运动方程：m300如果系统竖直放置，振动频率是否改变？振动力学CAI单自由度系统受迫振动2025年9月16日<<振动力学>>61教学内容单自由度系统受迫振动线性系统的受迫振动工程中的受迫振动问题任意周期激励的响应非周期激励的响应2025年9月16日<<振动力学>>62线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段

库伦摩擦系统受迫振动的近似分析简谐惯性力激励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2025年9月16日<<振动力学>>63线性系统的受迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧－质量系统设：外力幅值：外力激励频率振动微分方程：x为复数变量，分别与和相对应

实部和虚部分别与和相对应m单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动受力分析kcx0m达朗贝尔原理2025年9月16日<<振动力学>>64单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动达朗贝尔（JeanLeRond

Alembert,1717-1783）法国数学家和物理学家，他一出生就被母亲遗弃在巴黎圣让勒隆（SaintJeanLerond）教堂附近。1741年，他出版了著名的《动力学》一书，其中包含的一种方法就是后人熟知的达朗贝尔（D’Alembert）原理。达朗贝尔首次采用偏微分方程解决了弦的振动问题。他早期的辉煌成就使他成为法国科学院的终生秘书，该职位确保他成为法国最有影响力的科学家。2025年9月16日<<振动力学>>65显含时间t非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动非齐次微分方程2025年9月16日<<振动力学>>66振动微分方程：设：复频响应函数

：稳态响应的复振幅静变形单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动2025年9月16日<<振动力学>>67单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动引入：外部激励频率与系统固有频率之比振幅放大因子相位差模：幅角：同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性2025年9月16日<<振动力学>>68稳态响应的实振幅若：则：无阻尼情况：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动系统响应<<振动力学>>69（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关结论：单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动kcx0m简谐力激励的强迫振动<<振动力学>>70单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性上海交通大学工程力学系稳态响应的特性--幅频特性（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动kcx0m简谐力激励的强迫振动2025年9月16日<<振动力学>>72稳态响应的特性以s为横坐标画出曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性（1）当s<<1（）激振频率相对于系统固有频率很低结论：响应的振幅A

与静位移

B相当0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性2025年9月16日<<振动力学>>73稳态响应特性（2）当s>>1（）激振频率相对于系统固有频率很高结论：响应的振幅很小0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性2025年9月16日<<振动力学>>74稳态响应特性（3）在以上两个领域

s>>1，s<<1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值，曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著0123012345自由度系统受迫振动/稳态响应的特性单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性2025年9月16日<<振动力学>>75稳态响应特性结论：共振振幅无穷大（4）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1

附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性稳态响应特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左0123012345（6）当振幅无极值单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性幅频特性：外部作用力：系统固有频率：从左到右：（1）s<<1振幅与静变形相当（2）s>>1振幅很小（3）共振0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性<<振动力学>>78单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性上海交通大学工程力学系稳态响应的特性品质因子和相频特性kcx0m幅频特性：（1）s<<1振幅与静变形相当（2）s>>1振幅很小（3）共振0123012345单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/幅频特性2025年9月16日<<振动力学>>80稳态响应特性记：品质因子

共振峰两侧取与对应两点半功率带宽Q与有关系：半功率点证明：值较小时s1s2单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/品质因子和相频特性2025年9月16日<<振动力学>>81稳态响应特性品质因子半功率带宽Q与有关系：阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭半功率点s1s2单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/品质因子和相频特性2025年9月16日<<振动力学>>82稳态响应特性相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同（2）当s>>1（）位移与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/品质因子和相频特性2025年9月16日<<振动力学>>83相频特性：外部作用力：系统固有频率：从左到右：（1）s<<1位移与激振力同相（2）s>>1位移与激振力反相（3）位移与激振力相位差900单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性/品质因子和相频特性多自由度系统振动振动力学CAI2025年9月16日《振动力学》85kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动2025年9月16日《振动力学》86k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动2025年9月16日《振动力学》87m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动2025年9月16日《振动力学》88教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动2025年9月16日《振动力学》89作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动/动力学方程2025年9月16日《振动力学》90作用力方程几个例子例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》91解：取的静平衡位置

坐标原点：设某一瞬时：上分别有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1(t)P1(t)P2(t)x2(t)达朗贝尔惯性力多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》92建立方程：矩阵形式：力量纲坐标间的耦合项P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》93达朗贝尔（JeanLeRondAlembert,1717-1783）法国数学家和物理学家，他一出生就被母亲遗弃在巴黎圣让勒隆（SaintJeanLerond）教堂附近。1741年，他出版了著名的《动力学》一书，其中包含的一种方法就是后人熟知的达朗贝尔（D’Alembert）原理。达朗贝尔首次采用偏微分方程解决了弦的振动问题。他早期的辉煌成就使他成为法国科学院的终生秘书，该职位确保他成为法国最有影响力的科学家。多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》94例2：转动运动两圆盘转动惯量轴的三个段的扭转刚度试建立系统的运动微分方程外力矩多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》95解：建立坐标角位移设某一瞬时：角加速度受力分析：达朗贝尔惯性力偶多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》96建立方程：矩阵形式：坐标间的耦合项多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》97多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动/作用力方程2025年9月16日《振动力学》98小结：可统一表示为：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量质量矩阵刚度矩阵激励力向量若系统有n个自由度，则各项皆为

n

维矩阵或列向量多自由度系统振动/作用力方程上海交通大学工程力学系刚度矩阵和质量矩阵蔡国平多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵多自由度系统振动/作用力方程将质量、刚度、位移等都理解为广义的，作用力方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)作用力方程2025年9月16日《振动力学》101n个自由度系统:质量矩阵第

j

列刚度矩阵第j

列广义坐标列向量多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》102刚度矩阵和质量矩阵当M、K

确定后，系统动力方程可完全确定M、K

该如何确定？作用力方程：先讨论K加速度为零假设外力是以准静态方式施加于系统准静态外力列向量静力平衡多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》103作用力方程：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移

m1m2k3k1k2x1x2例如：F1F2即：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》104作用力方程：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移

代入：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》105所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K

的第j列（i=1~n）：在第i

个坐标上施加的力考虑：这样的外力列阵是否唯一？m1m2k3k1k2x1x2F1F2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》106所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K

的第j列（i=1~n）：在第i

个坐标上施加的力结论：刚度矩阵

K

中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》107结论：刚度矩阵

K

中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力第j个坐标产生单位位移刚度矩阵第j列系统刚度矩阵j=1~n确定多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》108作用力方程：讨论M√假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度

多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》109这组外力正是质量矩阵M

的第j列考虑：这样的外力列阵是否唯一？m1m2k3k1k2x1x2F1F2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵2025年9月16日《振动力学》110这组外力正是质量矩阵M

的第j列结论：质量矩阵

M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i

个坐标上所需施加的力第j个坐标单位加速度质量矩阵第j列系统质量矩阵j=1~n确定多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵小结：建立动力学方程的影响系数法多自由度系统作用力方程：质量矩阵

M

中的元素mij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i

个坐标上所需施加的力刚度矩阵

K

中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力刚度矩阵：质量矩阵：静态动态力的量纲上海交通大学工程力学系刚度矩阵和质量矩阵算例(I)蔡国平多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)刚度矩阵和质量矩阵建立动力学方程的影响系数法多自由度系统：质量矩阵

M

中的元素mij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i

个坐标上所需施加的力刚度矩阵

K

中的元素kij

是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第

i个坐标上所需施加的力刚度矩阵：质量矩阵：静态动态2025年9月16日《振动力学》114例：写出M

、

K

及运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态令使m1产生单位位移所需施加的力：

保持m2不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m1产生单位位移，m2

和

m3不动在三个质量上施加力能够使得系统刚度矩阵第一列多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》115m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)刚度矩阵：解：先只考虑静态令使m1产生单位位移所需施加的力：

保持m2不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m1产生单位位移，m2

和

m3不动多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》116m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态在三个质量上施加力能够使得系统刚度矩阵第二列令使m2产生单位位移所需施加的力：

保持m1不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m2产生单位位移，m1

和

m3不动多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》117m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)刚度矩阵：解：先只考虑静态令使m2产生单位位移所需施加的力：

保持m1不动所需施加的力：保持m3不动所需施加的力：只使m2产生单位位移，m1

和

m3不动多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》118m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态在三个质量上施加力能够使得系统刚度矩阵第三列令使m3产生单位位移所需施加的力：

保持m2不动所需施加的力：保持m1不动所需施加的力：只使m3产生单位位移，m1

和

m2不动多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》119m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)刚度矩阵：解：先只考虑静态令使m3产生单位位移所需施加的力：

保持m2不动所需施加的力：保持m1不动所需施加的力：只使m3产生单位位移，m1

和

m2不动多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》120m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考虑静态

刚度矩阵：令令令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)例：写出M

、

K

及运动微分方程2025年9月16日《振动力学》121只考虑动态m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零所需施加的力：所需施加的力：在三个质量上施加力能够使得系统质量矩阵第一列m1产生单位加速度瞬时，m2和m3尚没反应令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》122m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：只考虑动态只使m1产生单位加速度，m2和m3加速度为零所需施加的力：所需施加的力：m1产生单位加速度瞬时，m2和m3尚没反应令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》123同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》124同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》125有：有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：令令令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》126运动微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)外力列阵矩阵形式：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》127例：双混合摆质心绕通过自身质心的z轴的转动惯量求：以微小转角为坐标，写出在x-y平面内摆动的作用力方程两刚体质量h1C1C2h2lxy多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》128受力分析h1C1C2h2lxy问：刚体2的转角是相对于刚体1的、还是相对于参考基的？刚体上给定点的加速度：xyAC2C1多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》129解：先求质量影响系数令yh1C1C2h2lx下摆对A取矩：整体对B取矩：AB则需要在两杆上施加力矩为什么不考虑重力和向心力？实际铅垂xy多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》130AByh1C1C2h2lx下摆对A取矩：整体对B取矩：令则需要在两杆上施加力矩xy多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》131令令质量矩阵：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》132求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数令yh1C1C2h2lxAB则需要在两杆上施加力矩下摆对A取矩：整体对B取矩：xy多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》133令AByh1C1C2h2lx则需要在两杆上施加力矩下摆对A取矩：整体对B取矩：xy多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》134令刚度矩阵：令多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)2025年9月16日《振动力学》135运动微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(I)上海交通大学工程力学系刚度矩阵和质量矩阵算例(II)多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》137例：求：以微小转角为坐标，写出微摆动的运动学方程每杆质量m杆长度l水平弹簧刚度k弹簧距离固定端akaO1O2双刚体杆多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》138解：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》139刚度矩阵：aO1O2aO1O2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》140令：则需要在两杆上施加力矩令：则需要在两杆上施加力矩质量矩阵：aO1O2kaO1O2k多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》141运动学方程：kaO1O2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》142例：两自由度系统摆长

l，无质量，微摆动求：运动微分方程xm1k1k2多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》143解：刚度矩阵令：x方向力平衡A点力矩平衡m1k1k2刚度矩阵第一列：需要施加的力和矩Ax静态平衡受力：弹性力重力多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》144令：x方向力平衡A点力矩平衡刚度矩阵第二列：需要施加的力和矩m1k1k2Ax多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》145xm1k1k2刚度矩阵第一列：刚度矩阵第二列：系统刚度矩阵：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》146质量矩阵令：瞬时动态惯性力m1k1k2惯性力需要施加的力和矩质量块加速度达朗贝尔惯性力杆加速度分析ABA点加速度B为杆上定点加速度达朗贝尔惯性力多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》147求解质量矩阵惯性力m1k1k2惯性力A系统水平方向力平衡杆对A点力矩平衡多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》148令：m1k1k2m1k1k2惯性力惯性力AB达朗贝尔惯性力多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》149m1k1k2惯性力惯性力m1k1k2达朗贝尔惯性力水平方向力平衡：杆A点力矩平衡：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)2025年9月16日《振动力学》150质量矩阵：xm1k1k2刚度矩阵：运动微分方程：多自由度系统振动/刚度矩阵和质量矩阵算例(II)线性振动的近似计算方法振动力学CAI2025年9月16日《振动力学》152－在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大－本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算邓克利法，瑞利法，里兹法，传递矩阵法线性振动的近似计算方法2025年9月16日《振动力学》153邓克利法-由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的-便于作为系统基频的计算公式自由振动作用力方程：位移方程：D=FM系统动力矩阵：作用力方程特征值问题：位移方程的特征值问题：线性振动的近似计算方法/邓克利法F=K-12025年9月16日《振动力学》154特征值：位移方程的最大特征根对应第一阶固有频率位移方程的特征方程：例如：线性振动的近似计算方法/邓克利法（D=FM）2025年9月16日《振动力学》155当M

为对角阵时：特征方程又可写为：可得：物理意义：沿第i

个坐标施加单位力时所产生的第i

个坐标的位移线性振动的近似计算方法/邓克利法D=FM柔度系数，对角元特征根2025年9月16日《振动力学》156如果只保留第i

个质量，所得单自由度系统的固有频率：例如：两自由度系统（1）只保留m1

时柔度矩阵：（2）只保留m2时m1k1k2m2m1k1m2k1k2线性振动的近似计算方法/邓克利法2025年9月16日《振动力学》157如果只保留第i

个质量，所得单自由度系统的固有频率为：当第二阶及以上固有频率远大于基频时：邓克利法利用单自由度固有频率近似求解多自由度系统基频的方法线性振动的近似计算方法/邓克利法2025年9月16日《振动力学》158解释：因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法/邓克利法2025年9月16日《振动力学》159例：三自由度系统常规方法：邓克利法：当m1

单独存在时当m2

单独存在时当m3

单独存在时邓克利法公式：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法/邓克利法2025年9月16日《振动力学》160上海交通大学工程力学系瑞利法蔡国平振动力学线性振动的近似计算方法/瑞利法2025年9月16日《振动力学》161瑞利法线性振动的近似计算方法/瑞利法瑞利（JoinWilliamStrutt,LordRayleigh,1842-1919

）英国物理学家，曾任剑桥大学实验物理学教授，伦敦皇家学院自然哲学教授，英国皇家协会主席和剑桥大学名誉校长。瑞利对光学和声学的研究是广为人知的，即使在今天，其于1877年出版的《声的原理》（TheoryofSound）一书仍被认为是一流的著作。其提出的计算振动物体固有频率的近似方法被称为瑞利法。曾与WilliamRamsay合作发现元素氩(elementargon)，这一成就使其赢得1904年诺贝尔物理奖；他还发现了瑞利散射现象，该发现可以解释天空为什么是蓝色的；他也预测了面波的存在，这就是今天熟知的瑞利波。2025年9月16日《振动力学》162瑞利法-基于能量原理的一种近似方法-可用于计算系统的基频算出的近似值为实际基频的上限-配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围n

自由度保守系统：机械能守恒主振动：动能与势能：最大值：瑞利商线性振动的近似计算方法/瑞利法2025年9月16日《振动力学》163瑞利商可以证明，和分别为瑞利商的极小值和极大值线性振动的近似计算方法/瑞利法真实固有频率为真实振型：当非真实振型，展成n

个正则振型的线性组合：非真实固有频率2025年9月16日《振动力学》164分析：换为是最低阶固有频率

由瑞利商公式知，当确为第一阶振型时：因此，瑞利商的极小值为同理可证明，瑞利商的极大值为线性振动的近似计算方法/瑞利法2025年9月16日《振动力学》165如果接近第k阶真实振型比起

ak

，其它系数很小线性振动的近似计算方法/瑞利法代入瑞利商，得：2025年9月16日《振动力学》166线性振动的近似计算方法/瑞利法解释：例如k＝1约去a1分子上加减1项2025年9月16日《振动力学》167因此，若与的差异为一阶小量，则瑞利商与的差别为二阶小量对于基频的特殊情况，令k＝1，则由于瑞利商在基频处取极大值利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实振型，算出的固有频率愈准确线性振动的近似计算方法/瑞利法2025年9月16日《振动力学》168解释：因为利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实振型，算出的固有频率愈准确例如k＝1瑞利商：所以得证!线性振动的近似计算方法/瑞利法2025年9月16日《振动力学》169例：三自由度系统邓克利法，基频：在2m上施加力所产生的“静变形曲线”作为近似第一阶主振型：瑞利商公式：与精确值相比，相对误差1.34%mmkk2m2k线性振动的近似计算方法/瑞利法常规方法：连续系统的振动振动力学CAI2025年9月16日《振动力学》171－实际振动系统都是连续体，具有连续分布的质量与弹性，又称连续系统或分布参数系统－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设振型法模态综合法有限元法振动力学

CAI连续系统的振动2025年9月16日《振动力学》173（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律假设（2）材料均匀连续；各向同性（3）振动为微振2025年9月16日《振动力学》174一维波动方程动力学方程固有频率和振型函数主振型的正交性杆的纵向强迫振动连续系统的振